北科大《材料力学》考点强化教程07.ppt

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1、一、薄壁筒扭转时的剪应力一、薄壁筒扭转时的剪应力设有等厚度薄壁圆筒，3-3 3-3 纯剪切纯剪切平均半径为：厚度为：长为：实验现象：实验现象：1、圆周线的大小,形状不变,相邻圆周线之间的距离也保持不变；2、变形后，纵向平行线仍然保持平行；3、由于所有的纵向平行线都同时转动了一个相同的角度，所以变形前由纵向平行线与圆周线形成的矩形在变形后变成平行四边形；分析：分析：1、相邻圆周线之间的距离也保持不变；横截面上无正应力2、圆周线的大小不变；4、圆周线的形状不变；在通过轴线的纵向截面上无正应力横截面上的剪应力沿圆周的切线方向3、所有的纵向线都转动了一个角度横截面上有剪应力5、所有的纵向线都转动了一个

2、相同的角度剪应力沿着圆周方向均匀分布6、薄壁圆筒壁厚很小剪应力沿着壁厚方向均匀分布二、剪应力互等定理ydydxzxoadcb剪剪应应力力互互等等定定理理：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对出现，且大小相等方向或指向、或背离两面的交线。三、剪应变、剪切虎克定律剪应变剪应变 ：在剪应力作用下，两直角边的夹角发生改变，用 表示。减小为正。（圆轴表面纵向平行线的转角圆轴表面纵向平行线的转角)ydydxzxoadcb弹性范围内：剪切虎克定律：剪切虎克定律：剪切弹性模量 (量纲同E 力/长度2)3-3 3-3 圆轴扭转时截面上的应力分析圆轴扭转时截面上的应力分析1.1.1.1.实验现象实验现象实验现象实

3、验现象123x44123xTkTk41、圆周线的大小,形状不变,相邻圆周线之间的距离也保持不变；2、变形后，纵向平行线仍然保持平行；3、由于所有的纵向平行线都同时转动了一个相同的角度，所以变形前由纵向平行线与圆周线形成的矩形在变形后变成平行四边形；1、相邻圆周线之间的距离也保持不变；横截面上无正应力2、圆周线的大小不变；4、圆周线的形状不变；在通过轴线的纵向截面上无正应力横截面上的剪应力沿圆周的切线方向3、所有的纵向线都转动了一个角度横截面上有剪应力剪应力沿着圆周方向均匀分布6、薄壁圆筒壁厚很小剪应力沿着壁厚方向均匀分布分析：分析：5、所有的纵向线都转动了一个相同的角度2 2）剪应力方向是沿周

4、边切线方向；）剪应力方向是沿周边切线方向；1 1）横截面只有剪应力，无正应力；）横截面只有剪应力，无正应力；由由实验现象，可得到关于圆轴扭转横截面上的应力分布结论为：实验现象，可得到关于圆轴扭转横截面上的应力分布结论为：3 3）剪应力沿着圆周方向均匀分布；）剪应力沿着圆周方向均匀分布；4 4）刚性平截面假定）刚性平截面假定圆轴发生扭转变形时，原为平面的横截面变形后仍保持圆轴发生扭转变形时，原为平面的横截面变形后仍保持为一个平面，其形状和大小保持不变，半径仍保持为一为一个平面，其形状和大小保持不变，半径仍保持为一条直线，而且相邻横截面之间的距离保持不变；每个横条直线，而且相邻横截面之间的距离保持

5、不变；每个横截面如同刚性平面一样只是绕着轴线转动一个角度。截面如同刚性平面一样只是绕着轴线转动一个角度。2.2.剪应力沿半径方向的分布：剪应力沿半径方向的分布：几何关系：（确定剪应变的分布）odxoTnTn143223令 扭转角沿杆长的变化率 几何方程 (1)ooR1243mlndxpmn32结结结结论论论论：剪剪剪剪应应应应变变变变与与与与该该该该点点点点到到到到0-00-00-00-0轴轴轴轴的的的的距距距距离离离离成成成成正正正正比比比比，杆轴上杆轴上杆轴上杆轴上 剪应变为零，表面应变最大。剪应变为零，表面应变最大。剪应变为零，表面应变最大。剪应变为零，表面应变最大。讨论距讨论距0-00

6、-0轴为轴为 的的lmnp面面圆轴发生扭转变形时在圆周表面上产生的剪应变圆轴发生扭转变形时在距离圆轴为 处产生的剪应变物理关系：(剪切虎克定律)t tG=(2)（1）代入（2）：(3)已经给出了剪应力沿半径方向的分布规律：1）线形分布2）与该点到圆心的距离成正比3）在圆心上等于0，在距离圆心最远的圆周上各点最大平衡条件：（根据剪应力与扭矩的关系）odA(4)扭扭矩矩T Tn n以以剪剪应应力力的的形形式分布在整个截面式分布在整个截面(3)代入(4)得：(5)横截面对圆心横截面对圆心O的极惯性矩的极惯性矩(5)代入(3)：圆轴扭转横截面剪应力计算公式该点所在横截面上的扭矩；该点所在横截面对圆心的

7、极惯性矩；该点到圆心的距离；适用范围：适用范围：1、圆形截面轴2、线弹性范围内2、空心圆截面DDDDd d d d1、实心圆截面DDDD极惯性矩的求解：极惯性矩的求解：剪应力分布：剪应力分布：3-4 3-4 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算1.1.1.1.最大剪应力：最大剪应力：最大剪应力：最大剪应力：实心圆截面：空心圆截面：在给定的截面上：在给定的截面上：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：发生在截面边缘发生在扭矩最大的截面边缘抗扭截面系数 量纲长度3对于变截面圆轴：对于变截面圆轴：发生在某一个截面的边缘上抗扭截面系数2.2.剪应力强度条件：剪应力强度条件：c.c.确定容许荷载确定容许荷载应用：应用：a.a.强度校核强度校核,b.b.截面设计截面设计例：由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,材料为45钢。使用时最大扭矩T=1.5KN,，试校核AB轴的强度。解：轴的最大剪应力为AB轴满足强度条件。AB例：如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径，并比较二者的重量。解：按题目要求，实心轴的最大剪应力也为51MPa,即在两轴材料、长度相同的情况下，重量之比即为面积之比：可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%，其减轻重量、节约材料时非常明显的。习题习题材料力学材料力学P93-3-5P953-9