分析常微方程数值解法PPT讲稿.ppt

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1、分析常微方程数值解法分析常微方程数值解法第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-1第1页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-2第八章目录第八章目录1欧拉（欧拉（Euler）方法）方法1.1Euler法及其简单改进法及其简单改进1.2改进的改进的Euler法法2龙格库塔（龙格库塔（Runge-kutta）方法）方法2.1龙格龙格-库塔方法的基本思想库塔方法的基本思想2.2二阶龙格二阶龙格-库塔公式库塔公式2.3高阶高阶R-K公式公式2.4变步长变步长R-K法法3线性多步法线性多步法4一阶方程组与高阶方程初值问题一阶方程组与高阶方程初

2、值问题5收敛性与稳定性收敛性与稳定性第2页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-3第八章第八章序序许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的动，工程问题中的电

3、路分析等，都可归结为常微分方程的初值问题。初值问题。所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始点为已知的一类问题，一般形式为：点为已知的一类问题，一般形式为：我们先介绍我们先介绍我们先介绍我们先介绍简单的一阶问题：简单的一阶问题：简单的一阶问题：简单的一阶问题：第3页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-4第八章第八章序序由由常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程的理论可知：上述问题的解唯一存在。的理论可知：上述问题的解唯一存在。的理论可知：上述问题的解唯一存在。的理论可知：上述问题的解唯一存

4、在。常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程求解求什么？应求一满足初值问题（求解求什么？应求一满足初值问题（求解求什么？应求一满足初值问题（求解求什么？应求一满足初值问题（8181）的解函数的解函数的解函数的解函数y=y y(x x)，如对下列微分方程：，如对下列微分方程：，如对下列微分方程：，如对下列微分方程：高等数学中，高等数学中，高等数学中，高等数学中，微分方程求解，如对一阶微分方程：微分方程求解，如对一阶微分方程：微分方程求解，如对一阶微分方程：微分方程求解，如对一阶微分方程：y y =f(x,y)=f(x,y)是求解解函数是求解解函数是求解解函数是求解解函数y y=y y(x)，使满

5、足上述方程。但能够，使满足上述方程。但能够，使满足上述方程。但能够，使满足上述方程。但能够求出准确的解析函数求出准确的解析函数求出准确的解析函数求出准确的解析函数y(x)y(x)的微分方程是很少的，高数的微分方程是很少的，高数的微分方程是很少的，高数的微分方程是很少的，高数中研究微分方程的求解，是中研究微分方程的求解，是分门别类讨论分门别类讨论，对不同类型的，对不同类型的，对不同类型的，对不同类型的微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，首首先

6、必须认清类型先必须认清类型先必须认清类型先必须认清类型。第4页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-5微分方程微分方程 数值解数值解 而而而而常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程 初值问题的数值解法，是要寻求解函数初值问题的数值解法，是要寻求解函数初值问题的数值解法，是要寻求解函数初值问题的数值解法，是要寻求解函数y y(x x)在一系列点在一系列点y(xy(xi i)（离散点）（离散点）:上上上上 y(x y(xi)的的的的近似值近似值近似值近似值yi（i=i=1,2,n1,2,n），并且还可由这些（），并且还可由这些（），并且还可由这些

7、（），并且还可由这些（x xi,yi i)（i=i=1,2,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点相）构造插值函数作为近似函数。上述离散点相邻两点间的距离邻两点间的距离邻两点间的距离邻两点间的距离h hi=x=xi i-1-1-x xi i 称为步长，若称为步长，若称为步长，若称为步长，若h hi 都相等为一定数都相等为一定数都相等为一定数都相等为一定数h,h,则称为定步长，否则为变步长。则称为定步长，否则为变步长。则称为定步长，否则为变步长。则称为定步长，否则为变步长。由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很由于在实际问题和科学研究中遇到

8、的微分方程往往很由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很复杂，复杂，复杂，复杂，绝大多数很难，甚至不可能求出解析绝大多数很难，甚至不可能求出解析函数函数y y(x)，因，因，因，因此只能考虑求其数值解。此只能考虑求其数值解。此只能考虑求其数值解。此只能考虑求其数值解。本章重点讨论如下本章重点讨论如下本章重点讨论如下本章重点讨论如下一阶微分方程：一阶微分方程：一阶微分方程：一阶微分方程：在此基础上介绍一阶微分方程组与在此基础上介绍一阶微分方程组与在此基础上介绍一阶微分方程组与在此基础上介绍一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法。高阶微分方程的数值解法。高阶微分方程的数值解法。高阶微分方程的

9、数值解法。第5页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-61欧拉（欧拉（Euler）法）法 以以Euler法及其改进方法为例法及其改进方法为例,说明说明常微分方程常微分方程初值问题数值解法的一般概初值问题数值解法的一般概念，念，Euler法很简单，准确度也不高，法很简单，准确度也不高，介绍此方法的目的，是由于对它的分析介绍此方法的目的，是由于对它的分析讨论能够比较清楚地显示出方法的一些讨论能够比较清楚地显示出方法的一些特点，而这些特点及基本方法反映了其特点，而这些特点及基本方法反映了其它方法的特点。它方法的特点。Euler法用于求法用于求解一阶微

10、分方解一阶微分方程初值问题：程初值问题：第6页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-71.1Euler法及其简单改进法及其简单改进EulerEuler公公式为：式为：式为：式为：由由由由x x0 0出发出发出发出发x x1 1,x x2 2,x xN N，而利用此式可算出对应的，而利用此式可算出对应的，而利用此式可算出对应的，而利用此式可算出对应的 y y1 1,y2 2,y yN N，式（，式（，式（，式（8-28-2）称为）称为）称为）称为差分方程差分方程差分方程差分方程（序列（序列（序列（序列 y yn n 满足的方满足的方满足的方满足的

11、方 程）。程）。程）。程）。下面是下面是下面是下面是EulerEuler公式的推导公式的推导公式的推导公式的推导：一、从几何意义出发：、从几何意义出发：、从几何意义出发：、从几何意义出发：y y =f(x x,y)的解函数的解函数的解函数的解函数y=y=y y(x x)在在在在xoyxoy平平面上是一族解曲线，面上是一族解曲线，而初值问题则是其中一条积分曲线，而初值问题则是其中一条积分曲线，假定假定假定假定y=y(x x)的曲线如图的曲线如图的曲线如图的曲线如图8-18-1从给定的点从给定的点从给定的点从给定的点P P0(x0 0,y0)出发，以出发，以出发，以出发，以P P0 0为切为切为切

12、为切点，作切线，切线斜率为曲线点，作切线，切线斜率为曲线点，作切线，切线斜率为曲线点，作切线，切线斜率为曲线y y(x)的切线斜率的切线斜率的切线斜率的切线斜率y y =f f(x x0 0,y y0)，因此可，因此可，因此可，因此可 得切线：（点斜式）得切线：（点斜式）得切线：（点斜式）得切线：（点斜式）P1 P2y(x)P0 x2x1x0第7页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-8Euler公式的推导公式的推导(续续1）几何意义几何意义几何意义几何意义：用折线近似解曲线：用折线近似解曲线y y=y y(x x)，折线不会偏离太远，折线不会

13、偏离太远，因为每项以，因为每项以，因为每项以，因为每项以f f(x x,y)（斜率）修正。（斜率）修正。（斜率）修正。（斜率）修正。切线与切线与切线与切线与x x=x x1 1交于交于交于交于P1 1(x1 1,y y1 1)，在，在，在，在 x x0 0,x x1 1上以切线上以切线近似曲线，近似曲线，近似曲线，近似曲线，第8页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-9Euler公式公式的推导（续的推导（续2）二二二二、利用、利用、利用、利用TaylorTaylor级数：将级数：将y y(x x)在在在在xn n处展开：处展开：处展开：处展开：

14、第9页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-10Euler公式的推导（续公式的推导（续3）公式（公式（8-3）称为后退）称为后退EulerEuler公式公式所谓局部载断误差是指以所谓局部载断误差是指以y yn代替代替代替代替y(x xn n)而得到而得到而得到而得到y y(xn+1+1)的近的近的近的近似值似值似值似值y yn n+1+1的误差（只估计这一步的误差）。的误差（只估计这一步的误差）。的误差（只估计这一步的误差）。的误差（只估计这一步的误差）。三、利用数值微分公式：利用两点公式三、利用数值微分公式：利用两点公式并且并且Euler公式

15、的公式的局部截断误差为局部截断误差为:后退后退后退后退EulerEuler公式的公式的公式的公式的局部截断误差为局部截断误差为局部截断误差为局部截断误差为:第10页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-11Euler公式的推导（续公式的推导（续4）第11页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-12Euler公式的推导（续公式的推导（续5）四四四四、利用数值积分公式：在利用数值积分公式：在x xn n,xn n+1 上对上对上对上对y y (x)=)=f(x,y y(x x)积分积分积分积分 对右

16、端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种不同的求解不同的求解不同的求解不同的求解dEdE初值问题的计算公式。初值问题的计算公式。初值问题的计算公式。初值问题的计算公式。如，以矩形面积代替曲边梯形面积如，以矩形面积代替曲边梯形面积如，以矩形面积代替曲边梯形面积如，以矩形面积代替曲边梯形面积 1 1）以左矩形面积代替曲边梯形面积如图以左矩形面积代替曲边梯形面积如图以左矩形面积代替曲边梯形面积如图以左矩形面积代替曲边梯形面积如图8-28-2，亦即以，亦即

17、以，亦即以，亦即以 yf(x,y)xnxxn+1图8-2 第12页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-13yf(x,y)xnxxn+1图8-3yf(x,y)xnxxn+1图8-43 3）以梯形公式（面积）代替曲边形如图）以梯形公式（面积）代替曲边形如图）以梯形公式（面积）代替曲边形如图）以梯形公式（面积）代替曲边形如图8-48-4则有则有则有则有式（式（8-5）称为求）称为求dEdE初值问题的梯形公式，梯形公式看作初值问题的梯形公式，梯形公式看作是以（是以（是以（是以（xn n,y yn n）(xn n+1,y yn n+1)构造的插值多项式

18、代替被积函数构造的插值多项式代替被积函数构造的插值多项式代替被积函数构造的插值多项式代替被积函数得到的，而得到的，而得到的，而得到的，而Euler公式公式公式公式则是以左端点函数值近似被积函数则是以左端点函数值近似被积函数则是以左端点函数值近似被积函数则是以左端点函数值近似被积函数而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造另一些精度更高的解微分方程的数值公式，梯形公式比另一些精度更高的解微分方程的数值公式，梯形公式比另一些精度更高的解微分

19、方程的数值公式，梯形公式比另一些精度更高的解微分方程的数值公式，梯形公式比EulerEuler公式公式公式公式更准确一些，误差更小。更准确一些，误差更小。更准确一些，误差更小。更准确一些，误差更小。Euler公式的推导（续公式的推导（续6）2）以右矩形面积代替曲边梯形：如图以右矩形面积代替曲边梯形：如图8-3亦即以亦即以 第13页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-14Euler公式注释公式注释注注注注1 1：EulerEuler公式为显式，右矩形，梯形公式为隐式；公式为显式，右矩形，梯形公式为隐式；公式为显式，右矩形，梯形公式为隐式；公式为

20、显式，右矩形，梯形公式为隐式；注注注注2 2：EulerEuler公式，梯形，右矩形公式为单步法，计算公式，梯形，右矩形公式为单步法，计算公式，梯形，右矩形公式为单步法，计算公式，梯形，右矩形公式为单步法，计算y yn n+1+1只用只用只用只用y yn n，而中点法公式为多步法（还可如上二所述，构造，而中点法公式为多步法（还可如上二所述，构造，而中点法公式为多步法（还可如上二所述，构造，而中点法公式为多步法（还可如上二所述，构造多步法）即必须已知多步法）即必须已知多步法）即必须已知多步法）即必须已知y yn n-1，y yn n才才才才 能计算能计算能计算能计算yn n+1+1，（求，（求，

21、（求，（求y y00,y y1 1不能不能不能不能用此公式。用此公式。y0,y y1称为多步法的开始值，称为多步法的开始值，称为多步法的开始值，称为多步法的开始值，y y0 0给定，给定，给定，给定，而而而而y1 1必须必须必须必须由其它公式算出，然后才能用中点法）；由其它公式算出，然后才能用中点法）；由其它公式算出，然后才能用中点法）；由其它公式算出，然后才能用中点法）；注注注注3 3：前面已有前面已有前面已有前面已有EulerEuler法法法法的局部截断误差：的局部截断误差：的局部截断误差：的局部截断误差：后退后退EulerEuler法的局部截断误差：法的局部截断误差：法的局部截断误差：法

22、的局部截断误差：误差阶误差阶误差阶误差阶：如果局部截断误差如果局部截断误差如果局部截断误差如果局部截断误差 则称方法为则称方法为则称方法为则称方法为P阶的。阶的。阶的。阶的。第14页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-15 显然，步长显然，步长显然，步长显然，步长h h越小，阶数越小，阶数越小，阶数越小，阶数P P越高，局部截断误差越小，当越高，局部截断误差越小，当越高，局部截断误差越小，当越高，局部截断误差越小，当然计算精度越高；然计算精度越高；然计算精度越高；然计算精度越高；注注注注4 4：梯形法是几阶？梯形法精度比梯形法是几阶？梯形法精

23、度比梯形法是几阶？梯形法精度比梯形法是几阶？梯形法精度比Euler法高，阶数肯定法高，阶数肯定法高，阶数肯定法高，阶数肯定比比比比EulerEuler法高，其实我们可以利用数值积分公式的误差估法高，其实我们可以利用数值积分公式的误差估计式，因为我们是用梯形数值积计式，因为我们是用梯形数值积计式，因为我们是用梯形数值积计式，因为我们是用梯形数值积 分公式计算分公式计算分公式计算分公式计算 因此由积分中梯形公式的误差知此因此由积分中梯形公式的误差知此因此由积分中梯形公式的误差知此因此由积分中梯形公式的误差知此时的局部截断误差为：时的局部截断误差为：时的局部截断误差为：时的局部截断误差为：梯形法为梯

24、形法为2阶方法阶方法！Euler法，后退法，后退法，后退法，后退EulerEuler法为法为1阶方法阶方法，而中点法为而中点法为2阶阶，Euler公式注释（续）公式注释（续）第15页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-16关于关于Euler法的整体截断误差注释法的整体截断误差注释注注注注5 5：关于关于关于关于Euler法法法法的整体截断误差：的整体截断误差：EulerEuler方法的局部截断误差公式为：方法的局部截断误差公式为：方法的局部截断误差公式为：方法的局部截断误差公式为：实际计算时，实际计算时，实际计算时，实际计算时，y yn n是

25、是y y(x xn n)的近似值，因此，计算过程的近似值，因此，计算过程的近似值，因此，计算过程的近似值，因此，计算过程中除每步所产生的局部截断中除每步所产生的局部截断中除每步所产生的局部截断中除每步所产生的局部截断误差外，还有因前面的计算不准确而引起的误差。在不考误差外，还有因前面的计算不准确而引起的误差。在不考误差外，还有因前面的计算不准确而引起的误差。在不考误差外，还有因前面的计算不准确而引起的误差。在不考虑舍入误差的情况下，称虑舍入误差的情况下，称虑舍入误差的情况下，称虑舍入误差的情况下，称y(x xn n+1+1)与与与与yn n+1+1之差为整体截断误差之差为整体截断误差之差为整体

26、截断误差之差为整体截断误差，记为：，记为：，记为：，记为：下面讨论下面讨论下面讨论下面讨论EulerEuler方法的整体截断误差。方法的整体截断误差。方法的整体截断误差。方法的整体截断误差。为简便起见，假定函数为简便起见，假定函数为简便起见，假定函数为简便起见，假定函数f(x,y)充分光滑，问题（充分光滑，问题（充分光滑，问题（充分光滑，问题（8-18-1）解）解）解）解y y(x x)在在在在 a a,b上二阶连续可微，于是由式（上二阶连续可微，于是由式（8-6），局部截断），局部截断误差有界，即存在误差有界，即存在误差有界，即存在误差有界，即存在MM00，使得对任意使得对任意使得对任意使得

27、对任意x x a a,b，都有，都有|y y(x)|MM，从而有：，从而有：，从而有：，从而有：（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第16页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-17式（式（8-7）表明，）表明，EulerEuler方法的整体截断误差与方法的整体截断误差与h同阶，当同阶，当同阶，当同阶，当h0时，时，e en n0 0。关于关于Euler法的整体截断误差注释（续）法的整体截断误差注释（续）反复递推得：反复递推得：反复递推得：反复递推得：第17页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方

28、程数值解法8-18结结论论 对于实际问题来说，由于对于实际问题来说，由于对于实际问题来说，由于对于实际问题来说，由于L，M 难以估计，因此（难以估计，因此（难以估计，因此（难以估计，因此（8-68-6）很难应用，而且上述推导过程中一再放大了误差上限，这很难应用，而且上述推导过程中一再放大了误差上限，这很难应用，而且上述推导过程中一再放大了误差上限，这很难应用，而且上述推导过程中一再放大了误差上限，这样的估计往往也很保守，远远大于实际的误差，但是，从样的估计往往也很保守，远远大于实际的误差，但是，从样的估计往往也很保守，远远大于实际的误差，但是，从样的估计往往也很保守，远远大于实际的误差，但是，

29、从估计式（估计式（估计式（估计式（8-78-7）却可以得到下面很有用处的结论。）却可以得到下面很有用处的结论。）却可以得到下面很有用处的结论。）却可以得到下面很有用处的结论。1）当当当当h0 0时，时，时，时，e en0 0即，即，即，即，亦即数值解亦即数值解亦即数值解亦即数值解y yn，一致收敛于初值问题（一致收敛于初值问题（一致收敛于初值问题（一致收敛于初值问题（8-18-1）的真解）的真解）的真解）的真解y y(x xn n)，并且，并且，并且，并且，EulerEuler法的整体截断误差的阶为法的整体截断误差的阶为法的整体截断误差的阶为法的整体截断误差的阶为O O(h h)与与与与h同阶

30、，比局同阶，比局同阶，比局同阶，比局部截断误差低一阶。部截断误差低一阶。部截断误差低一阶。部截断误差低一阶。2）舍入误差舍入误差舍入误差舍入误差局部截断误差局部截断误差局部截断误差局部截断误差 对实际计算结果有影响，并且随对实际计算结果有影响，并且随对实际计算结果有影响，并且随对实际计算结果有影响，并且随h减少减少减少减少 而减少或增大。而减少或增大。而减少或增大。而减少或增大。第18页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-193）计算结果与解法的阶数计算结果与解法的阶数p，真解的导数，真解的导数y(p+1)有关，有关，p越大，越大，h p+1

31、越小，越小，|y(p+1)()|的上限越大，的上限越大，M 也越大，也越大，因此为保证精度当然应选阶数因此为保证精度当然应选阶数p较高的方法。但如较高的方法。但如果果M 很大，当很大，当f(x,y)是分段连续的函数时，则应采用是分段连续的函数时，则应采用低阶的方法如用低阶的方法如用Euler法。法。结结论（续）论（续）4）计算结果还与开始值的精度有关，为使这种误差计算结果还与开始值的精度有关，为使这种误差的影响不致于超过局部的影响不致于超过局部截断误差，对多步法，应采截断误差，对多步法，应采用跟多步法同阶的方法计算开始值。用跟多步法同阶的方法计算开始值。第19页，共81页，编辑于2022年，星

32、期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-201.2改进的改进的Euler法法梯形公式为二阶方法，但却是隐式格式，即若利用梯梯形公式为二阶方法，但却是隐式格式，即若利用梯梯形公式为二阶方法，但却是隐式格式，即若利用梯梯形公式为二阶方法，但却是隐式格式，即若利用梯形公式求形公式求y yn+1+1，就要求解方程（，就要求解方程（8-5）式，计算量较大，通）式，计算量较大，通常在实际计算时，将常在实际计算时，将常在实际计算时，将常在实际计算时，将EulerEuler法法法法与与与与梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式合起来使用，即合起来使用，即合起来使用，即合起来使用，即先使用先使用Eul

33、erEuler公式公式公式公式,由（由（由（由（x xn n,y yn n）算出）算出y yn n+1+1，记为，记为yn n+1+1(0)(0)，称为，称为，称为，称为预测值预测值预测值预测值，然后用，然后用，然后用，然后用梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式去提高精度，将去提高精度，将去提高精度，将去提高精度，将y yn n+1+1(0)校正为较校正为较校正为较校正为较准确的值：准确的值：由于函数由于函数由于函数由于函数f f(x x,y y)满足满足满足满足LipschitzLipschitz条件，容易得出条件，容易得出:第20页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值

34、解法常微分方程数值解法8-21改进的改进的Euler法法(续）续）第21页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-22预测预测校正型公式校正型公式 实际经验表明，式（实际经验表明，式（实际经验表明，式（实际经验表明，式（8-88-8）的迭代效果主要体现在第一次，）的迭代效果主要体现在第一次，）的迭代效果主要体现在第一次，）的迭代效果主要体现在第一次，由此构成如下的预测由此构成如下的预测由此构成如下的预测由此构成如下的预测校正型公式校正型公式校正型公式校正型公式:此式称为改进的此式称为改进的此式称为改进的此式称为改进的EulerEuler公式，为上

35、机计算编程方便，常将式公式，为上机计算编程方便，常将式（8-9）改写为）改写为:下面分析改进的下面分析改进的下面分析改进的下面分析改进的Euler公式的局部截断误差：公式的局部截断误差：公式的局部截断误差：公式的局部截断误差：第22页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-23改进的改进的Euler公式的局部截断误差分析公式的局部截断误差分析假定假定y yn n=y y(xn)，y y(x xn n+1+1)的的的的TaylorTaylor展式为展式为:对于改进的对于改进的对于改进的对于改进的EulerEuler公式，由于公式，由于公式，由于公式

36、，由于这说明改进的这说明改进的这说明改进的这说明改进的EulerEuler法的局部截断误差法的局部截断误差法的局部截断误差法的局部截断误差为为为为O O(h h3 3)，比，比，比，比EulerEuler公式高一阶，是二阶方法。公式高一阶，是二阶方法。公式高一阶，是二阶方法。公式高一阶，是二阶方法。第23页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-24改进的改进的Euler公式举例公式举例例例1这些结果在表这些结果在表这些结果在表这些结果在表8-18-1中，可见计算结果的精度，中，可见计算结果的精度，中，可见计算结果的精度，中，可见计算结果的精度，

37、Euler法法法法与与后退后退后退后退Euler法法差不多，与准确值相比较差不多，与准确值相比较差不多，与准确值相比较差不多，与准确值相比较EulerEuler法法偏小，而偏小，而偏小，而偏小，而后后退退退退EulerEuler法法法法偏大；偏大；中点法中点法中点法中点法与与与与梯形法梯形法梯形法梯形法精度同为精度同为2阶，但梯形法阶，但梯形法更好一些，这跟它们局部截断误差的符号，阶数和系更好一些，这跟它们局部截断误差的符号，阶数和系更好一些，这跟它们局部截断误差的符号，阶数和系更好一些，这跟它们局部截断误差的符号，阶数和系数的大小是完全一致的。数的大小是完全一致的。数的大小是完全一致的。数的

38、大小是完全一致的。表见下屏：表见下屏：表见下屏：表见下屏：第24页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-25表格表格8-1表表表表8-18-1 y y =y y,y(0)=1(0)=1的数值解的数值解的数值解的数值解(h=0.1)=0.1)x x精精精精 确确确确 解解解解欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法后退欧拉后退欧拉后退欧拉后退欧拉中点法中点法中点法中点法梯形法梯形法梯形法梯形法.1.1.904837.904837.900000.900000.909091.909091.900000.900000.904762.904762.2.2.808731.

39、808731.810000.810000.826446.826446.820000.820000.818594.818594.3 3.740818.740818.729000.729000.751315.751315.736000.736000.740633.740633.4.4.670320.670320.656100.656100.683013.683013.627800.627800.670096.670096.5.5.060531.060531.590490.590490.620921.620921.601440.601440.606278.606278.6.6.548812.5488

40、12.531441.531441.654474.654474.552512.552512.548537.548537.7.7.496585.496585.478298.478298.5131458.5131458.490938.490938.496295.496295.8.8.449329.449329.430467.430467.466507.466507.454324.454324.449029.449029.9.9.406570.406570.387421.387421.424098.424098.400073.400073.406264.4062641 1.367879.367879.

41、348679.348679.385543.385543.374310.374310.367573.367573第25页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-26表格表格8-2而而而而表表表表8-28-2是分别取了不同的是分别取了不同的是分别取了不同的是分别取了不同的h h=0.1,=0.1,h h=0.01，h h=0.001,=0.001,h=0.0001=0.0001，还是利用这些公式，经过若干步的计算（，还是利用这些公式，经过若干步的计算（，还是利用这些公式，经过若干步的计算（，还是利用这些公式，经过若干步的计算（h h越越越越小，计算量

42、越大）算到小，计算量越大）算到小，计算量越大）算到小，计算量越大）算到y y(1)的近似值，的近似值，可见可见可见可见：随着随着随着随着h h的减小，的减小，的减小，的减小，y y(1)(1)的近似值的精度在提高，的近似值的精度在提高，的近似值的精度在提高，的近似值的精度在提高，0.010.01比比比比0.0010.001差，即差，即差，即差，即0.0010.001比比比比0.010.01时的时的时的时的y y(1)(1)准确。准确。准确。准确。Y=-y,y(0)=1的解y(1)的近似值(y(1)=0.367879)h欧拉法后退欧拉法中点法梯形法0.1.348678.385543.374310

43、.3675730.01.366033.369711.367944.3678770.001.367700.368052.367879.3678760.0001.367800.367800.367881.368020（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第26页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-27表表8-2计算结果说明（续）计算结果说明（续）但但h太小，到太小，到h=0.0001时却又变得误差大了，这与前时却又变得误差大了，这与前面所说面所说h越小，越小，p阶越高，应该局部截断误差越小，因而阶越高，应该局部截断误差越小，因而计算精度

44、更高矛盾了，为什么会产生这种情况呢？计算精度更高矛盾了，为什么会产生这种情况呢？这是由于这是由于h太小而引起计算量大因而造成了舍入误差太小而引起计算量大因而造成了舍入误差和截断误差的积累，这种情况由于初值问题不同可能会和截断误差的积累，这种情况由于初值问题不同可能会影响更大，偏离更严重，影响更大，偏离更严重，如下面的例如下面的例2。这种问题实际。这种问题实际上是稳定性问题，我们将会讨论方法的稳定性，由此得上是稳定性问题，我们将会讨论方法的稳定性，由此得出对出对h有一定的要求的稳定性制区域。有一定的要求的稳定性制区域。第27页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微

45、分方程数值解法8-28例例2求解初值问题求解初值问题求解初值问题求解初值问题y y=-20=-20y y，y(0)=1，计算，计算y(1)(1)的近似值。的近似值。的近似值。的近似值。解解解解：类似于例类似于例类似于例类似于例1 1，用欧拉法、后退欧拉法、中点法、梯形法求，用欧拉法、后退欧拉法、中点法、梯形法求，用欧拉法、后退欧拉法、中点法、梯形法求，用欧拉法、后退欧拉法、中点法、梯形法求解，得到如下解，得到如下解，得到如下解，得到如下表表表表8.38.3。表表表表8.38.3 y y =20,20,y y(0)=1 1的解的解的解的解y(1)y(1)的近似值的近似值的近似值的近似值(y y(

46、1)=0.206116E 8)h欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法后退欧拉法后退欧拉法后退欧拉法后退欧拉法中点法中点法中点法中点法梯形法梯形法梯形法梯形法.1.11 1.169351E-4.169351E-4.514229E+6.514229E+60 0.01.01.203704E-9.203704E-9.120746E-7.120746E-7.413244E+7.413244E+7.192743E-8.192743E-8.001.001.168300E-8.168300E-8.251090E-8.251090E-8.484136E+5.484136E+5.205979E-8.205979E-8.000

47、1.0001.202081E-8.202081E-8.210331E-8.210331E-8.475130+3.475130+3.206103E-8.206103E-8由由由由表表表表8.38.3可见，尽管可见，尽管可见，尽管可见，尽管中点法中点法的阶数与的阶数与的阶数与的阶数与梯形法梯形法相同，比相同，比欧拉法欧拉法和和和和后退欧拉法后退欧拉法后退欧拉法后退欧拉法的阶数高，计算结果的精度却很糟的阶数高，计算结果的精度却很糟的阶数高，计算结果的精度却很糟的阶数高，计算结果的精度却很糟糕。此外，尽管糕。此外，尽管糕。此外，尽管糕。此外，尽管欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法与与与与后退欧拉法后退欧拉法的阶

48、数相同，但的阶数相同，但欧欧拉法拉法计算结果的精度，当计算结果的精度，当计算结果的精度，当计算结果的精度，当h=0.1=0.1时却比时却比时却比时却比后退欧拉法后退欧拉法差。差。差。差。第28页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-292龙格龙格-库塔（库塔（Runge-kutta）方法）方法2.12.1龙格龙格龙格龙格-库塔方法的基本思想库塔方法的基本思想库塔方法的基本思想库塔方法的基本思想：因此只要对平均斜率因此只要对平均斜率因此只要对平均斜率因此只要对平均斜率k k*提供一种算法，由（提供一种算法，由（提供一种算法，由（提供一种算法，由（

49、8-118-11）式）式）式）式便相应地得到一种微分方程的数值计算公式。便相应地得到一种微分方程的数值计算公式。便相应地得到一种微分方程的数值计算公式。便相应地得到一种微分方程的数值计算公式。（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第29页，共81页，编辑于2022年，星期五第八章第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法8-30龙格龙格-库塔方法的基本思想库塔方法的基本思想(续）续）改进欧拉公式比欧拉公式精度高的原因，也就在于确改进欧拉公式比欧拉公式精度高的原因，也就在于确改进欧拉公式比欧拉公式精度高的原因，也就在于确改进欧拉公式比欧拉公式精度高的原因，也就在于确定平均斜率时，多取了

50、一个点的斜率值。因此它启发我们，定平均斜率时，多取了一个点的斜率值。因此它启发我们，如果设法在如果设法在x xi i,xi i+1 上多预报几个点的斜率值，然后将它们上多预报几个点的斜率值，然后将它们上多预报几个点的斜率值，然后将它们上多预报几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为加权平均作为k*的近似值，则有可能构造出更高精度的计的近似值，则有可能构造出更高精度的计算公式，这是算公式，这是算公式，这是算公式，这是龙格龙格-库塔库塔方法的基本思想。方法的基本思想。方法的基本思想。方法的基本思想。用这个观点来研究欧拉公式与改进欧拉公式，可以发现用这个观点来研究欧拉公式与改进欧拉公式，可以发现用这个