4.2证明(2)2.ppt

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1、自学指导，整体感知（1）.三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和的关系是（）A.大于 B.小于 C.等于 D.不确定（2）.在命题的证明中，不可以作为推理依据 是（）A.定义 B.公理 C.推论 D.猜想（3）.证明的思路有那些？CD由因导果 执果索因用3分钟时间，看课本P76页-P80页，边看边做，并完成下列问题：S。K。L证明几何命题时证明几何命题时,表述要按照一定的格式表述要按照一定的格式,一般为一般为:(1)按题意画出图形按题意画出图形;(2)分清命题的条件和结论分清命题的条件和结论,结合图形结合图形,在在“已知已知”中写出条件中写出条件,在在“求求证”中写出中写出结论(3)在在“证明

2、证明”中写出推理过程中写出推理过程.1.要严格按规定的格式书写要严格按规定的格式书写;2.如果给出的几何命题已包括了相应的如果给出的几何命题已包括了相应的图形图形.已知及求证已知及求证,则可在表述时直接写则可在表述时直接写出证明的推理过程出证明的推理过程.注意注意:证明过程中的每证明过程中的每一步推理都要有依据一步推理都要有依据,依据作为推理的理由依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括可以写在每一步后的括号内号内.你会判定两个三角形全等吗你会判定两个三角形全等吗?有哪些方法有哪些方法?(1)SSS(2)SAS(3)ASA(4)AAS(5)HL(用于两个直角三角形全等的判定用于两个直角三角形全

3、等的判定)例例5 已知已知:如图如图,AD是是ABC的高的高,E是是AD上上一点一点.AD=BD,DE=DC,求证求证:1=C.BCDE1A想一想想一想:(1)由已知由已知AD是是ABC的高的高,可以得到什么可以得到什么?(2)由已知由已知AD=BD,DE=DC,BDE=Rt=ADC,可以可以得到什么结论得到什么结论?(3)据此据此,你能得到你能得到1=C吗吗?探寻规律探寻规律例例5 已知已知:如图如图,AD是是ABC的高的高,E是是AD上上一点一点.AD=BD,DE=DC,求证求证:1=C.证明证明:AD是是ABC的高的高,E是是AD上一点上一点(已知已知)BDE=Rt=ADC又又BD=AD

4、(已知已知)DE=DC(已知已知)BDEADC1=C(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)(SAS)BCDE1A小收获小收获:思路思路1 要证明一个结论要证明一个结论,可以从可以从已知已知出发出发,推出可能的结果推出可能的结果,并与证明的并与证明的结论比较结论比较,直至推出直至推出要证明的结论要证明的结论.这这就是常说的就是常说的“由因导果由因导果”。方法：方法：要证明相等的线段或角如果在两个三角要证明相等的线段或角如果在两个三角形中，通常利用三角形全等来达到目的。形中，通常利用三角形全等来达到目的。从已知出发分析从已知出发分析已知已知:如图如图,在在ABC中中,D,E分别是分别是A

5、B,AC上的点上的点,1=2.求证求证:B=ADE）（ABCDE121.已知已知:如图如图,ADBC,B=D.求证求证:AB=CD.ABCD2.已知已知:如图如图,在在ABC中中,D,E分别是分别是AB,AC上的点上的点,1=2.求证求证:B=ADE）（ABCDE123.已知已知:如图如图,在四边形在四边形ABC中中,AD=BC,AB=CD.求证求证:ABCD,ADBC.ABCD关于辅助线：关于辅助线：n辅助线是为了证明需要在原图上添画的辅助线是为了证明需要在原图上添画的线线.（辅助线通常画成虚线）（辅助线通常画成虚线）n它的作用是把分散的条件集中，把隐含它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条

6、件显现出来，起到牵线搭桥的作用的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.n添加辅助线，可构造新图形，形成新关添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定律，要根据需要而定,平时做题时要注平时做题时要注意总结意总结.实验实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图两角相向对折，使其顶点与已折

7、角的顶点相嵌合（图2）、）、（图（图3），最后得到（图），最后得到（图4）所示的结果。）所示的结果。ACB图1BAC图2BAC图3BAC图4例例3求证：三角形三个内角的和等于求证：三角形三个内角的和等于180.已知已知:A、B、C是是 ABC的的三个外角三个外角求证求证:+180ACB言必有“据”112ABD23C12实验实验2：将纸片三将纸片三角形顶角剪下，随意将角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。它们拼凑在一起。你你有没有其有没有其他的证法？他的证法？BAC+B+CBAC+B+CBAC+BAD+CAEBAC+BAD+CAEDAEDAE180180（平角的定（平角的定义）ACBDE证明过点证

8、明过点A作作DEBC.则则CCAE，BBAD（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）已知：如图，已知：如图，ABC.求证：求证：+180180ABC12DE证明证明:作作BC的延长线的延长线CD，过点过点C作射线作射线CE/AB，则 1 1（两直（两直线平行，内平行，内错角相等）角相等）2 2（两直（两直线平行，同位角相等）平行，同位角相等）1+2+1+2+180180 +180180ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM三角形内角和定理w三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.wABC中,A+B+C=1800.wA+B+C=1800

9、的几种变形:wA=1800(B+C).wB=1800(A+C).wC=1800(A+B).wA+B=1800-C.wB+C=1800-A.wA+C=1800-B.w这里的结论,以后可以直接运用.三种语言三种语言ABC例例4.已知：AD是BAC 的的平分线，平分线，BC垂垂直直AD于点于点O，AC垂直垂直DC于点于点C。求证求证（1）三角形）三角形ABC是等腰三角形；是等腰三角形；（2）D=BABCDOBDCAO证明：（证明：（1）AD是是BAC的平分线（已知）的平分线（已知）BAOCAO（角平分线的定义）（角平分线的定义）.BCAD（已知），（已知），AOBAOCRt(垂线的定义垂线的定义).

10、又又AOAO（公共边），（公共边），ABOACO（ASA）.ABAC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）.ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）是等腰三角形（等腰三角形的定义）例例4 已知：如图，已知：如图，AD是是BAC的平分的平分线，线，BCAD于点于点O，ACDC于点于点C，求证：（求证：（1）ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)D=B.（2）ACDC（已知），（已知），D+CAD90（直角三角形的两个锐角互余）（直角三角形的两个锐角互余）.BCAD（已知），（已知），B+BAD90（直角三角形的两个锐角互余）（直角三角形的两个锐角互余）.BADCAD（角平分线的定义

11、），（角平分线的定义），BD（等角的余角相等）（等角的余角相等）.例例6 已知已知:如图如图,AD是三角形纸片是三角形纸片ABC的高的高.将纸片沿直线将纸片沿直线EF折叠折叠,使点使点A和点和点D重合重合.求证求证:EFBC.ABCDEF知识加油站知识加油站:(1)由将纸片沿直线由将纸片沿直线EF折叠折叠,使点使点A和点和点D重合可知重合可知,点点A和和点点D关于直线关于直线EF_(2)对称轴是对称轴是_(3)由此可得由此可得,EF与与AD有怎样有怎样的位置关系的位置关系?_轴对称轴对称直线直线EFEFAD例例6 已知已知:如图如图,AD是三角形纸片是三角形纸片ABC的高的高.将纸片沿直线将纸

12、片沿直线EF折叠折叠,使点使点A和点和点D重合重合.求证求证:EFBC.ABCDEFBCAD()已知已知EFAD只需证只需证要证要证EFBCEFEF是是ADAD的对称轴的对称轴点点A A与点与点D D重合重合(已知已知)探讨证明的思路探讨证明的思路:例例6 已知已知:如图如图,AD是三角形纸片是三角形纸片ABC的高的高.将纸片沿直线将纸片沿直线EF折叠折叠,使点使点A和点和点D重合重合.求证求证:EFBC.ABCDEF证明证明:因为将纸片沿直线因为将纸片沿直线EF折叠折叠时时,点点A与点与点D重合重合,所以所以EF是线段是线段AD的对称轴的对称轴,EFADEFAD(对称轴垂直平分连结两个对称点

13、之间的线段对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段)ADAD是是ABCABC的高的高(已知已知)BCADBCAD(三角形的高的定义三角形的高的定义)(在同一平面内在同一平面内,垂直于同一条直线的垂直于同一条直线的两条直线平行两条直线平行)EFBC又有了收获又有了收获:思路思路2 从要证明的从要证明的结论结论出发出发,探索要使结探索要使结论成立论成立,需要什么条件需要什么条件,并与已知对照并与已知对照,充分利用已知条件充分利用已知条件,直至找到需要直至找到需要,并并且这个最后的需要是且这个最后的需要是已知的条件已知的条件,从而从而达到证明的目的达到证明的目的.这就是常说的这就是常说的“执果索因执果

14、索因”。求证：三角形三个内角的和等于180度。已知：A，B，C是是三角形三角形ABC的三个内角。的三个内角。求证：求证：A+B+C=180ABCDE你还有其它方法吗？你还有其它方法吗？三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 你听说过费马点吗你听说过费马点吗?如图如图,P,P为为ABCABC所在平面上的一点所在平面上的一点.如果如果APB=BPC=CPA=120APB=BPC=CPA=120,则点则点P P就是就是费马点费马点.费马点有许多有费马点有许多有趣并且有意义的性质趣并且有意义的性质,例如例如,平面内一点平面内一点P P到到ABCABC三

15、顶点的距离三顶点的距离之和为之和为PA+PB+PC,PA+PB+PC,当点当点P P为费马点时为费马点时,距离之和最小距离之和最小.假设假设A,B,CA,B,C表示三个村庄表示三个村庄,要选一处建车站要选一处建车站,使车站到三个村庄的公路路程使车站到三个村庄的公路路程的和最短的和最短.若不考虑其他因素若不考虑其他因素,那么车站应建在费马点上那么车站应建在费马点上.请按下列步骤对费马点进行探究请按下列步骤对费马点进行探究:(1)(1)查找有关资料查找有关资料,了解费马点被发现了解费马点被发现的历史背景的历史背景;(2)(2)在特殊三角形中寻找并验证费马点在特殊三角形中寻找并验证费马点.例如例如,

16、当当ABCABC是等边三是等边三角形角形,等腰三角形或直角三角形时等腰三角形或直角三角形时,费马点有哪些性质费马点有哪些性质?(3)(3)把你的探究结果写成一篇小论文把你的探究结果写成一篇小论文,并通过与同学交流来修改并通过与同学交流来修改完善你的小论文完善你的小论文.(.(课本第课本第8282页页)ABCP4章章 命题命题与证与证明明定义定义与命与命题题证证明明定定义义命命题题命题形式真假格式反证法思路学有所成学有所成学有所成学有所成本节课你学到什么本节课你学到什么？（1）.三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和的关系是（）A.大于 B.小于 C.等于 D.不确定（2）.在命题的证明中，不可以作为推理依据 是（）A.定义 B.公理 C.推论 D.猜想（3）.证明的思路有那些？CD由因导果 执果索因学有所成学有所成学有所成学有所成 布置作业布置作业:(1)(1)课本课本8181页第页第1,3,4,51,3,4,5题题;第第6 6题选做题选做.(2)(2)见作业本见作业本