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1、第七讲第七讲 二次型二次型本讲稿第一页，共三十五页知识脉络图解知识脉络图解二次型的定义二次型的矩阵表示合同矩阵正定二次型与正定矩阵用可逆线性变换化二次型为标准型实对称矩阵合同于对角矩阵配方法配方法初等变换法顺序主子式法实对称矩阵正交相似于对角矩阵用正交变换化实二次型为标准型特征值法本讲稿第二页，共三十五页重点、难点解读重点、难点解读 本章通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来，从而一本章通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来，从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究，另一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究，另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决，故方

2、面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决，故正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础，应熟练掌握。正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础，应熟练掌握。本章重点之一是化二次型为标准型或对称矩阵合同于对角矩阵。本章重点之一是化二次型为标准型或对称矩阵合同于对角矩阵。应掌握配方法、初等变换法和正交变换法化二次型为标准型，尤其应掌握配方法、初等变换法和正交变换法化二次型为标准型，尤其是用正交变换法化二次型为标准型更应熟练掌握。是用正交变换法化二次型为标准型更应熟练掌握。正定二次型与正定矩阵的判定与证明是本章的另一个重正定二次型与正定矩阵的判定与证明是本章的另一个重点。对具体的实二次型或实对称矩阵

3、，一般用全部顺序主子式点。对具体的实二次型或实对称矩阵，一般用全部顺序主子式大于零的充分必要条件来判定；而对于抽象的实二次型或实对大于零的充分必要条件来判定；而对于抽象的实二次型或实对称矩阵，往往采用定义及特征值等判定其正定性。称矩阵，往往采用定义及特征值等判定其正定性。本讲稿第三页，共三十五页一、二次型的基本概念一、二次型的基本概念形如形如称称 为标准形。为标准形。称为数域称为数域 上的一个上的一个 元二次型。元二次型。的秩称为的秩称为 的秩。的秩。称称 为规范形。为规范形。其中其中 及及 ，分别称为，分别称为 的正惯性的正惯性指数和负惯性指数，两者之差指数和负惯性指数，两者之差 称为称为

4、的符号差。的符号差。本讲稿第四页，共三十五页 例例1 设设 为为 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，是是 中元素中元素 的代数余子式，二次型的代数余子式，二次型 （1）记）记 ，把，把 写成矩阵形式，写成矩阵形式，并证明二次型并证明二次型 的矩阵为的矩阵为 。（2）二次型）二次型 与与 的规范形是否相同？说的规范形是否相同？说明理由。明理由。解解 （1）二次型）二次型 的矩阵形式为的矩阵形式为本讲稿第五页，共三十五页因为因为 ，故，故 可逆，且可逆，且 ，由，由 的对称的对称知知 。故故 也是实对称矩阵，因此二次型也是实对称矩阵，因此二次型 的矩阵为的矩阵为 。（2）因为）因为 ，所以，所以 与与

5、合同。合同。于是于是 与与 有相同的规范形。有相同的规范形。二、用可逆线性变换化二次型为标准形二、用可逆线性变换化二次型为标准形 1、线性变换的概念、线性变换的概念关系式关系式称为由称为由 到到 的一个线性变换。的一个线性变换。本讲稿第六页，共三十五页用矩阵形式可写为用矩阵形式可写为其中其中当当 时，称线性变换是可逆的（或满秩的）。时，称线性变换是可逆的（或满秩的）。2、用可逆的线性变换化简二次型的结论、用可逆的线性变换化简二次型的结论 （1）数域）数域F 上的秩为上的秩为 的任意二次型的任意二次型都可经过都可经过F 上的可逆线性变换上的可逆线性变换 化成标准形化成标准形其中其中 中有中有 个

6、元素非零。个元素非零。（2）秩为）秩为 的实二次型的实二次型 都可经过都可经过实的可逆线性变换实的可逆线性变换 化为唯一的规范形化为唯一的规范形 3、用可逆线性变换化二次型为标准形的方法、用可逆线性变换化二次型为标准形的方法 方法方法1 配方法配方法本讲稿第七页，共三十五页 用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，其要点是利用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非平方项，并构造用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非平方项，并构造新平方项。新平方项。方法方法2 初等变换法初等变换法 用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：用初等

7、变换法化二次型为标准形的步骤如下：第一步：写出二次型的矩阵第一步：写出二次型的矩阵 ，并构造，并构造 矩阵矩阵 第二步：进行初等变换第二步：进行初等变换 第三步：可逆线性变换第三步：可逆线性变换 化二次型为标准形化二次型为标准形本讲稿第八页，共三十五页 例例1 化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换：化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换：解解 （1）方法）方法1 用配方法用配方法令令即即本讲稿第九页，共三十五页方法方法2 用初等变换法用初等变换法二次型二次型 的矩阵为的矩阵为 。由于。由于故可逆线性变换为故可逆线性变换为本讲稿第十页，共三十五页 （2）方法）方法1 用配方法。

8、由于所给二次型没有平方项，故令用配方法。由于所给二次型没有平方项，故令令令即即所用的可逆线性变换为所用的可逆线性变换为本讲稿第十一页，共三十五页方法方法2 用初等变换法用初等变换法二次型二次型 的矩阵为的矩阵为 。由于。由于本讲稿第十二页，共三十五页故可逆线性变换为故可逆线性变换为三、矩阵合同的判定与求法三、矩阵合同的判定与求法 1、合同矩阵的概念、合同矩阵的概念 设设A,B 是数域是数域F 上的上的 阶矩阵，如果存在数域阶矩阵，如果存在数域F 上的上的可逆可逆 阶矩阵阶矩阵C，使，使则称则称A与与B 合同。合同。本讲稿第十三页，共三十五页 2、合同矩阵的性质、合同矩阵的性质（1）矩阵的合同关

9、系为等价关系。）矩阵的合同关系为等价关系。（2）若）若A与与B 合同，则合同，则A的秩与的秩与B 的秩相等。的秩相等。（3）若）若A与与B 合同，且合同，且A对称，则对称，则B 也对称。也对称。3、合同矩阵的有关结论、合同矩阵的有关结论 （1）经过可逆的线性变换）经过可逆的线性变换 ，二次型，二次型 的的矩阵与二次型矩阵与二次型 的矩阵是合同的，即的矩阵是合同的，即 （2）数域）数域F上秩为上秩为 的任何一个的任何一个 阶对称矩阵阶对称矩阵A都合同都合同于一个秩为于一个秩为 的对角矩阵的对角矩阵D，即存在可逆矩阵，即存在可逆矩阵C，使，使这里这里D的对角元素中有的对角元素中有 个非零。个非零。

10、（3）秩为）秩为 的的 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A在实数域上合同于唯一在实数域上合同于唯一的的 阶对角矩阵阶对角矩阵本讲稿第十四页，共三十五页即存在即存在 阶实可逆矩阵阶实可逆矩阵C，使，使 4、矩阵合同的充分必要条件、矩阵合同的充分必要条件 两个两个 阶实对称矩阵在实数域上合同的充分必要条阶实对称矩阵在实数域上合同的充分必要条件是，二者有相同的秩与符号差（即对应二次型的符号件是，二者有相同的秩与符号差（即对应二次型的符号差）。差）。本讲稿第十五页，共三十五页 例例1 设矩阵设矩阵 有一个特征值为有一个特征值为3，求，求并求可逆矩阵并求可逆矩阵P，使，使 为对角矩阵。为对角矩阵。解解 因为因为

11、3是是A的特征值，所以的特征值，所以从而从而 ，此时，此时本讲稿第十六页，共三十五页 由于由于 ，且，且 ，可见为使，可见为使 为对角矩阵，实质上是使为对角矩阵，实质上是使合同于对角矩阵。合同于对角矩阵。的特征值为的特征值为 ，对应的特征向量分别，对应的特征向量分别为为本讲稿第十七页，共三十五页它们已两两正交，单位化得它们已两两正交，单位化得取取则则本讲稿第十八页，共三十五页 例例2 求二次型求二次型 的的符号差。符号差。解解 设此二次型的矩阵为设此二次型的矩阵为A，则，则可求得可求得 ，所以，所以A的特征值为的特征值为故故 符号差符号差=（正惯性指数）（正惯性指数）（负惯性指数）（负惯性指数

12、）=（正特征值个数）（正特征值个数）（负特征值个数）（负特征值个数）本讲稿第十九页，共三十五页 例例3 设设 则则A与与B （A）合同且相似）合同且相似 （B）合同但不相似）合同但不相似（C）不合同但相似）不合同但相似 （D）不合同且不相似）不合同且不相似 分析分析 易知易知A,B 的特征值均为的特征值均为4，0，0，0，且，且A,B 均为实均为实对称矩阵，故存在正交矩阵对称矩阵，故存在正交矩阵P,Q 使得使得可见可见A,B 均合同且相似于同一矩阵，均合同且相似于同一矩阵，A,B 既合同又相似。既合同又相似。应选应选A。本讲稿第二十页，共三十五页四、用正交变换化二次型为标准形四、用正交变换化二

13、次型为标准形 1、主轴定理、主轴定理 任意一个任意一个 元二次型元二次型 都可以经过都可以经过正交变换正交变换 化为标准形化为标准形其中其中 是是A的全部特征值，正交矩阵的全部特征值，正交矩阵Q的列向量的列向量是对应特征值是对应特征值 的两两正交的单位特征向量。的两两正交的单位特征向量。2、用正交变换化二次型为标准形的步骤、用正交变换化二次型为标准形的步骤 第一步：写出二次型第一步：写出二次型 的矩阵的矩阵A(实对称矩阵实对称矩阵)第二步：求第二步：求 阶正交矩阵阶正交矩阵Q，使得，使得 第三步：用正交变换第三步：用正交变换 化二次型为化二次型为本讲稿第二十一页，共三十五页 例例1 已知二次型

14、已知二次型通过正交变换化成通过正交变换化成 ，求参数，求参数 及所用的正及所用的正交变换矩阵。交变换矩阵。解解 根据题设条件，变换前后二次型的矩阵分别为根据题设条件，变换前后二次型的矩阵分别为它们是（正交）相似的，于是它们是（正交）相似的，于是 ，展开得，展开得取取 得得 ，从而，从而 ，又，又 。故。故 此时此时本讲稿第二十二页，共三十五页可求得可求得A对应特征值对应特征值 的特征向量分别为的特征向量分别为单位化得单位化得故所用的正交变换矩阵可取为故所用的正交变换矩阵可取为本讲稿第二十三页，共三十五页五、正定矩阵的判定与证明五、正定矩阵的判定与证明 1、正定二次型与正定矩阵的概念、正定二次型

15、与正定矩阵的概念 设设 是是 元实二次型（元实二次型（A为实对称为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数矩阵），如果对任意不全为零的实数 ，都有，都有则称则称 为正定二次型，为正定二次型，A为正定矩阵；为正定矩阵；如果对任意不全为零的实数如果对任意不全为零的实数 ，都有，都有则称则称 为负定二次型，为负定二次型，A为负定矩阵；如果为负定矩阵；如果则称则称 为半正定二次型，为半正定二次型，A为半正定矩阵。为半正定矩阵。2、判定正定二次型与正定矩阵的充分必要条件、判定正定二次型与正定矩阵的充分必要条件 （1）元实二次型元实二次型 是正定的充分必要条件是它的标准是正定的充分必要条件是它的标准形的系数

16、全为正，即它的正惯性指数为形的系数全为正，即它的正惯性指数为 。（2）阶实对称矩阵阶实对称矩阵A是正定的充分必要条件是是正定的充分必要条件是A与单位与单位矩阵矩阵E 合同。合同。本讲稿第二十四页，共三十五页 （3）阶实对称矩阵阶实对称矩阵A是正定的充分必要条件是，存在是正定的充分必要条件是，存在阶实可逆矩阵阶实可逆矩阵C，使得，使得 （4）阶实对称矩阵阶实对称矩阵A 是正定的充分必要条件是是正定的充分必要条件是A的顺序主子式的顺序主子式 （5）阶实对称矩阵阶实对称矩阵A是正定的充分必要条件是是正定的充分必要条件是A的特征的特征值都大于零。值都大于零。类似地，可以得到判定负定二次型与负定矩阵的充

17、分必要条类似地，可以得到判定负定二次型与负定矩阵的充分必要条件。件。本讲稿第二十五页，共三十五页 3、正定矩阵的判定与证明方法、正定矩阵的判定与证明方法 正定矩阵必须是实对称矩阵，因此在论证之前应注意正定矩阵必须是实对称矩阵，因此在论证之前应注意A是是否为实对称矩阵，若不是实对称矩阵，根本谈不上正定性。否为实对称矩阵，若不是实对称矩阵，根本谈不上正定性。对于具体给出的实对称矩阵对于具体给出的实对称矩阵A，判断，判断A是否正定通常是检验是否正定通常是检验A的各阶顺序主子式是否都大于零。的各阶顺序主子式是否都大于零。对于抽象给出的实对称矩阵对于抽象给出的实对称矩阵A，常采用如下一些方法判，常采用如

18、下一些方法判断其正定性。断其正定性。方法方法1 利用定义：即对任意列向量利用定义：即对任意列向量 ，恒有二，恒有二次型次型 ，则有，则有A为正定矩阵。当证明若干个矩阵为正定矩阵。当证明若干个矩阵之积或之和为正定矩阵，常用此法。之积或之和为正定矩阵，常用此法。方法方法2 利用特征值：当利用特征值：当A的所有特征值大于零时，的所有特征值大于零时，A为正定矩为正定矩阵。当证明矩阵阵。当证明矩阵A的各种运算，如数乘、方幂、逆矩阵、伴随矩的各种运算，如数乘、方幂、逆矩阵、伴随矩阵、多项式矩阵等为正定矩阵时，常用此法。阵、多项式矩阵等为正定矩阵时，常用此法。本讲稿第二十六页，共三十五页 例例1、已知二次型

19、、已知二次型则则 满足（满足（）时，二次型是正定的；）时，二次型是正定的；满足（满足（）时，二次型是负定的。）时，二次型是负定的。应填应填 分析分析 二次型的矩阵为二次型的矩阵为可求得可求得A的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式故当故当 时，时，A为正定矩阵。为正定矩阵。故当故当 时，时，A为负定矩阵。为负定矩阵。本讲稿第二十七页，共三十五页 例例2、证明：若、证明：若A为正定矩阵，则为正定矩阵，则 也为正定矩阵。也为正定矩阵。证证1 由于由于A正定，所以正定，所以 ，且对，且对 有有又又 ，从而对任意，从而对任意 有有注意：，且当 时又又 即即 是对称矩阵，故是对称矩阵，故 是正定矩阵。是正定矩

20、阵。法法2 同上可证同上可证 是实对称矩阵。是实对称矩阵。设设 是是A的特征值，由的特征值，由A正定知，正定知，而而 的特征值为的特征值为 ，且，且 ，故故 为正定矩阵。为正定矩阵。本讲稿第二十八页，共三十五页 例例3、设、设A为三阶实对称矩阵，且满足条件为三阶实对称矩阵，且满足条件 已知已知A的秩的秩 。（1）求）求A的全部特征值；的全部特征值；（2）当）当 为何值时，矩阵为何值时，矩阵 为正定矩阵。为正定矩阵。解解 法法1（1）设）设 为为A的一个特征值，对应的特征向的一个特征值，对应的特征向量为量为 ，则，则 ，于是，于是从而从而由条件由条件 推知推知 ，又由于，又由于故有故有解得解得

21、因为实对称矩阵因为实对称矩阵A必可对角化，且必可对角化，且 ，所以，所以因此，矩阵因此，矩阵A的全部特征的全部特征值为值为本讲稿第二十九页，共三十五页 （2）矩阵）矩阵 仍为实对称矩阵，由（仍为实对称矩阵，由（1）知，）知，的全部特征值为的全部特征值为于是，当于是，当 时，矩阵时，矩阵 的全部特征值大于零。的全部特征值大于零。因此，矩阵因此，矩阵 为正定矩阵。为正定矩阵。法法2 （1）同解法）同解法1.（2）实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵）实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P，使得使得于是于是从而从而即即而而 为正定矩阵只需为正定矩阵只需 。因此当。因此当 时，矩时，矩阵阵 为正定矩阵

22、。为正定矩阵。本讲稿第三十页，共三十五页4、由正定矩阵证明其他结论、由正定矩阵证明其他结论 已知已知A是正定矩阵，求证其他的结论，这类问题中是正定矩阵，求证其他的结论，这类问题中A一一般是抽象矩阵，由般是抽象矩阵，由A的对称正定性知，存在正交矩阵的对称正定性知，存在正交矩阵Q使得使得其中其中再由此展开讨论即可。再由此展开讨论即可。例例1、设、设A是正定矩阵，证明是正定矩阵，证明 证证 法法1 因为因为A是正定矩阵，所以存在正交矩阵是正定矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得，使得其中其中于是于是本讲稿第三十一页，共三十五页 法法2 设设 是是A的特征值，由的特征值，由A正定知正定知又又 的特征值为的特

23、征值为从而从而 （1）存在可逆线性变换）存在可逆线性变换 使使其中其中 （2）上述）上述 为为 的实根。的实根。例例2、设、设 是两个实二次型且是两个实二次型且 正正定。证明：定。证明：本讲稿第三十二页，共三十五页 证证 （1）因为）因为B正定，从而存在实可逆矩阵正定，从而存在实可逆矩阵 ，使，使又因为又因为 是实对称矩阵，从而存在正交是实对称矩阵，从而存在正交矩阵矩阵 ，使，使其中其中 为为 的全部特征值。令的全部特征值。令 ，则，则 为为实可逆矩阵，且有实可逆矩阵，且有这时令这时令 ，则有，则有 （2）由（）由（1）得，）得，两边取行列式有两边取行列式有因为因为 ，从而由上式得证，从而由上

24、式得证 为为 的实根。的实根。也是A的全部特征值本讲稿第三十三页，共三十五页 注注 本题附带得到一个重要结论：当本题附带得到一个重要结论：当A，B 都是实都是实对称矩阵且对称矩阵且A正定时，存在实可逆矩阵正定时，存在实可逆矩阵 ，使，使 这一结果会经常用到。这一结果会经常用到。例例3、设、设 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A满足满足 ，且且 ，又，又A的正惯性指数为的正惯性指数为 ，其中，其中 求行列式求行列式 解解 设设 ，即，即 是是A的特征值，的特征值，是对应的特是对应的特征向量，则有征向量，则有由由 得得即即A的互异特征值为的互异特征值为由于由于A是实对称矩阵，所以是实对称矩阵，所以A可（正交）相似于对角矩阵。可（正交）相似于对角矩阵。且由且由 和正惯性指数和正惯性指数为为 知，知，3是是A的的 重特征值，重特征值，是是A的的 重特征值，重特征值，0是是A的的 重特征值，于是存在重特征值，于是存在 阶正交矩阵阶正交矩阵Q，使得，使得本讲稿第三十四页，共三十五页从而从而本讲稿第三十五页，共三十五页