无穷小的比较无穷小的阶精选PPT.ppt

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1、关于无穷小的比较无关于无穷小的比较无穷小的阶穷小的阶第1页，讲稿共26张，创作于星期二一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,观察下列极限观察下列极限当当 时时,都是无都是无穷小穷小.不可比不可比.型型极限不同极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的反映了无穷小趋向于零的速度的“快快慢慢”程度不同程度不同.第2页，讲稿共26张，创作于星期二定义定义:(1)如果如果 则称则称 是比是比高阶高阶的无穷小的无穷小设设 是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,且且记作记作 (2)如果如果 ,则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小；的无穷小；(3)如果如果 ,则称则称 与与 是是同阶同阶的无穷小

2、；的无穷小；特殊地特殊地,如果如果 则称则称 与与 是是等价等价的无穷小；的无穷小；记作记作 (4)如果如果 ,无穷小；无穷小；则称是的则称是的 阶的阶的第3页，讲稿共26张，创作于星期二例如，因为例如，因为所以当所以当时，时，与与是等价无穷小是等价无穷小即即所以当所以当时，时，是比是比高阶的无穷小高阶的无穷小因为因为即即而而所以当时，所以当时，是是二阶无穷小二阶无穷小第4页，讲稿共26张，创作于星期二证明证明 因为因为例例1 1 证明：证明：当当时，时，为的三为的三阶无穷小阶无穷小所以所以为为 的三阶无穷小的三阶无穷小第5页，讲稿共26张，创作于星期二二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换定理

3、定理(等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证证存在存在则则是同一极限过程的是同一极限过程的无穷小；无穷小；第6页，讲稿共26张，创作于星期二几个常见的等价无穷小几个常见的等价无穷小:上述等价无穷小中的上述等价无穷小中的 可以是可以是函数形式函数形式,当当 时时,但在所考虑的极限过程中但在所考虑的极限过程中,此函数的此函数的极限极限应为零应为零.第7页，讲稿共26张，创作于星期二例例2 2解解例例3 求极限求极限解解 因为因为所以所以有有求求当当时时,第8页，讲稿共26张，创作于星期二例例4 4解解若未定式的分子或分母为若干个因子的若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积乘积,不能滥用等价无穷小

4、代换不能滥用等价无穷小代换.切记切记:只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积因子作无穷小等价代换作无穷小等价代换,注意：注意：则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换等价无穷小代换,而不会改变原式的极限而不会改变原式的极限对于对于代数和代数和中各无穷小中各无穷小不能不能分别代换分别代换.第9页，讲稿共26张，创作于星期二解解解解错错例例5 5 求求当当 时时,原式原式原式原式第10页，讲稿共26张，创作于星期二例例 6 计算计算解解因为因为,所以所以于是于是原式原式第11页，讲稿共26张，创作于星期二解解 当当 时时,与与 是等价无穷小是等价无穷

5、小,则则例例7 (0702)第12页，讲稿共26张，创作于星期二例例8(040210)计算极限计算极限解解由由 与与 等价等价 得得:原式原式第13页，讲稿共26张，创作于星期二三、小结三、小结1 1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比但并不是所有的无穷小都可进行比较较.2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.第14页，讲稿共26张，创作于星期二练习练习

6、(030104)解解第15页，讲稿共26张，创作于星期二练习练习解解而而第16页，讲稿共26张，创作于星期二所以所以第17页，讲稿共26张，创作于星期二任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？思考题思考题第18页，讲稿共26张，创作于星期二思考题解答思考题解答都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大不能不能故当故当函数函数不能不能比较比较.第19页，讲稿共26张，创作于星期二一、一、填空题：填空题：1 1、2 2、3 3、4 4、练习题练习题第20页，讲稿共26张，创作于星期二5 5第21页，讲稿共26张，创作于星期二第22页，讲稿共26张，创作于星期二二、求下列极限二、求下列极限(1)(2)(3)(4)第23页，讲稿共26张，创作于星期二第24页，讲稿共26张，创作于星期二练习题答案练习题答案第25页，讲稿共26张，创作于星期二感谢大家观看第26页，讲稿共26张，创作于星期二