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1、概率统计与随机过程本讲稿第一页，共三十六页上课时间：上课时间：117周。学时：周。学时：54，学分：学分：3上课时间与地点：上课时间与地点：星期一、星期一、3-4节，节，（三）（三）202（双）（双）星期四、星期四、7-8节，节，（三）（三）202答疑时间：主答疑时间：主216 周三晚上周三晚上6点到点到8点点本讲稿第二页，共三十六页学习要求(1)(1)要求同学们按时来上课、听课要求同学们按时来上课、听课,遵守课堂纪律遵守课堂纪律,保持安静保持安静,不影响大家听讲不影响大家听讲;(2)(2)课课前前适适当当预预习习,上上课课时时认认真真听听课课,课课后后及及时时复复习习,必必要要时时,要要经经

2、常常复复习习用用到到的的高高等等数数学学有有关关知知识识原原理理;(3)(3)要要及及时时完完成成作作业业,鼓鼓励励讨讨论论,交交作作业业的的数数量量和和质质量算平时成绩量算平时成绩本讲稿第三页，共三十六页国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.-S.拉普拉斯著 1812年版2.统计学数学方法统计学数学方法H.克拉默著 1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作概率统计专业的首位中科院院士本讲稿第四页，共三十六页1、

3、概率论与数理统计、概率论与数理统计(清华大学公共基础清华大学公共基础平台课教材平台课教材)，葛余博，清华大学出版社，葛余博，清华大学出版社 2、吴喜之，统计学：从数据到结论（第、吴喜之，统计学：从数据到结论（第二版）二版），中国统计出版社，中国统计出版社，2006年年10月月3、袁荫棠，概率论与数理统计解题思路、袁荫棠，概率论与数理统计解题思路与方法，世界图书出版公司与方法，世界图书出版公司参考书目本讲稿第五页，共三十六页自然界的所有现象可分为两类自然界的所有现象可分为两类:确定性现象确定性现象:在一定条件下在一定条件下,某种结果是否发某种结果是否发生生,事先完全可以预言事先完全可以预言;不确

4、定现象不确定现象(随机现象随机现象):):在一定条件下在一定条件下,某种某种结果是否发生结果是否发生,事先是不可能预言的事先是不可能预言的.随机现象是大量客观存在的随机现象是大量客观存在的.举例举例:明天早上是否下雨明天早上是否下雨;明天去火车站买去上海的某一趟火车票明天去火车站买去上海的某一趟火车票能否买到能否买到;某一河流是否暴发洪水某一河流是否暴发洪水,明天的股市行情明天的股市行情;某一航班是否出事故某一航班是否出事故;某地是否出现恐怖事件某地是否出现恐怖事件,等等等等.本讲稿第六页，共三十六页确定性现象确定性现象本讲稿第七页，共三十六页不确定现象不确定现象(随机现象随机现象)本讲稿第八

5、页，共三十六页不确定现象不确定现象(随机现象随机现象)本讲稿第九页，共三十六页l概率论与数理统计是对随机现象的统计规律进行演绎和概率论与数理统计是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一归纳的科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学学科，是近代数学的重要组成部分，也是很有特门数学学科，是近代数学的重要组成部分，也是很有特色的一个数学分支。色的一个数学分支。l当前，概率论与数理统计已广泛应用于自然科学、社当前，概率论与数理统计已广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中，并且会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中，并且正广泛地与

6、其他学科互相渗透或结合，成为近代经济正广泛地与其他学科互相渗透或结合，成为近代经济理论、管理科学等学科的应用、研究中的重要工具，理论、管理科学等学科的应用、研究中的重要工具，也是科学家和工程师、经济师们最常用的工具。因此，也是科学家和工程师、经济师们最常用的工具。因此，概率论与数理统计已经成为大学中绝大多数专业的学概率论与数理统计已经成为大学中绝大多数专业的学生必修的一门基础课。生必修的一门基础课。本讲稿第十页，共三十六页概率概率(几率或或然率几率或或然率)随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪

7、意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B.帕帕帕斯卡、荷兰数学家帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯惠更斯 基于排列组合方基于排列组合方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题，解决了解决了“合理合理分配赌注问题分配赌注问题”(即得分问题即得分问题).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.本讲稿第十一页，共三十六页发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率

8、论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支

9、的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率本讲稿第十二页，共三十六页统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.本讲稿第十三页，共三十六页l l 现已被应用

10、于气象现已被应用于气象现已被应用于气象现已被应用于气象,地震等统计分析预报地震等统计分析预报地震等统计分析预报地震等统计分析预报;人口统计人口统计人口统计人口统计,人口人口人口人口理论理论理论理论;金融经济金融经济金融经济金融经济,保险理论分析决策保险理论分析决策保险理论分析决策保险理论分析决策,股票期货分析股票期货分析股票期货分析股票期货分析;可靠性可靠性可靠性可靠性,随机服务系统随机服务系统随机服务系统随机服务系统,信号通讯信号通讯信号通讯信号通讯,信号处理信号处理信号处理信号处理,统计物理统计物理统计物理统计物理;思想方法和工思想方法和工思想方法和工思想方法和工具知识已渗透到许多学科部门

11、具知识已渗透到许多学科部门具知识已渗透到许多学科部门具知识已渗透到许多学科部门.l l 在人们的日常生活思维意识行为决策中在人们的日常生活思维意识行为决策中在人们的日常生活思维意识行为决策中在人们的日常生活思维意识行为决策中,已自觉或不自已自觉或不自已自觉或不自已自觉或不自觉的用到预测随机事件预防随机事件觉的用到预测随机事件预防随机事件觉的用到预测随机事件预防随机事件觉的用到预测随机事件预防随机事件,考虑到多种因素考虑到多种因素考虑到多种因素考虑到多种因素和多种结果和多种结果和多种结果和多种结果,做好各种准备做好各种准备做好各种准备做好各种准备,预见各种后果预见各种后果预见各种后果预见各种后果

12、,以防万一以防万一以防万一以防万一,避免避免避免避免不利或灾难性事件的发生不利或灾难性事件的发生不利或灾难性事件的发生不利或灾难性事件的发生.使人有聪明的远见使人有聪明的远见使人有聪明的远见使人有聪明的远见.预料事如神预料事如神预料事如神预料事如神.l l 现在的目标现在的目标现在的目标现在的目标,介绍看问题的方面和观点介绍看问题的方面和观点介绍看问题的方面和观点介绍看问题的方面和观点,学习解决问题的工学习解决问题的工学习解决问题的工学习解决问题的工具知识和性能具知识和性能具知识和性能具知识和性能,为以后的工作学习为以后的工作学习为以后的工作学习为以后的工作学习,研究专业提供数学知识研究专业提

13、供数学知识研究专业提供数学知识研究专业提供数学知识工具工具工具工具.考研的数学考研的数学考研的数学考研的数学,含有这门课的知识考题含有这门课的知识考题含有这门课的知识考题含有这门课的知识考题.本课程知识的用处本课程知识的用处本讲稿第十四页，共三十六页模型化的思想模型化的思想管理科学的学者们通常使用管理科学的学者们通常使用模型模型来思考管理中的来思考管理中的问题：问题：理论或分析的模型理论或分析的模型(Analytical Model)：演绎演绎推理和数学工具；比如，推理和数学工具；比如，CAPM，期权的定价期权的定价公式等；公式等；经验的模型经验的模型(Empirical Model)：归纳整

14、理；归纳整理；统计学是科学地建立经验模型的重要工具。比统计学是科学地建立经验模型的重要工具。比如：研究消费者对品牌的选择等。如：研究消费者对品牌的选择等。本讲稿第十五页，共三十六页理解模型的作用l“没有哪一个模型是对的，但是的确有一些模没有哪一个模型是对的，但是的确有一些模型是好的。型是好的。”All the models are wrong,but some are useful.l模型提供了一种参照模型提供了一种参照(Benchmark)，从而减少从而减少了你决策过程当中由于不确定因素存在而带来了你决策过程当中由于不确定因素存在而带来的困惑。的困惑。本讲稿第十六页，共三十六页一些应用概率统

15、计理论与方法的应用几乎遍及所有概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中部门中.例如例如 1.气象、水文、地震预报、人口控制及预气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与测都与 概率论概率论 紧密相关；紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在产品的抽样验收，新研制的药品能否在3.寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行 实验设计实验设计 和和数据处理；数据处理；临床中应用，均需要用到临床中应用，均需要用到 假设检验；假设检验；本讲稿第十七页，共三十六页5.探讨太阳黑子的规律时，探讨太阳黑子的规律时，时间序

16、列分析时间序列分析7.在生物学中研究群体的增长问题时在生物学中研究群体的增长问题时 提出提出了生灭型了生灭型 随机模型，随机模型，传染病流行问题要用到多传染病流行问题要用到多过程过程 来描述来描述;6.研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫马尔可夫 方法非常有用方法非常有用;变量非线性变量非线性生灭过程；生灭过程；4.电子系统的设计离不开电子系统的设计离不开 可靠性估计可靠性估计;8.许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购本讲稿第十八页，共三十六页物排队

17、、红绿灯转换等，都可用一类概率模型物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到来描述，其涉及到 的知识就是的知识就是 排队论排队论.目前，概率统计理论目前，概率统计理论 进入其他科学领域的进入其他科学领域的趋势还在不断发展趋势还在不断发展.在社会科学领域在社会科学领域，特别是，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用题，都大量采用 概率统计方法概率统计方法.正如正如 拉普拉斯拉普拉斯所说所说:“生活中最重要的问题生活中最重要的问题，其中绝大多数，其中绝大多数在实质上只是概率的问题在实质上只是概率的问题.”本讲稿第十九页，共

18、三十六页确定性现象随机现象 q 每次试验前不能预言出现什么结果q 每次试验后出现的结果不止一个q 在相同的条件下进行大量的观察或 试验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性 第一章第一章 随机事件及其概率本讲稿第二十页，共三十六页1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间 对某一事物特征进行观察,统称试验.若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示q 可在相同的条件下重复进行 q 试验的可能结果不止一个，但能明确所有可能的结果q 试验前不能预知出现哪种结果 基本术语基本术语 本讲稿第二十一页，共三十六页样本空间 随机试验E 所有可能的结果样本空间的元素，即E 的直接结果，称为随机事件

19、样本空间的子集,常记为 A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间，记为样本点(or基本事件)，常记为，=例例1 给出一组随机试验及相应的样本空间本讲稿第二十二页，共三十六页投一枚硬币，观察正面反面出现的情况投一枚硬币3次，观察正面反面出现的情况投一枚硬币3次，观察正面反面出现的次数本讲稿第二十三页，共三十六页其中T1,T2分别是该地区的最低温度与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察电话总机每天9:0010:00接到的电话次数投一颗骰子，观察向上一面出现的点数有限样本空间无限样本空间本讲稿第二十四页，共三十六页基本事件 仅由一个样本点所组成的子集它是随机试验

20、的直接结果，每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.必然事件所有样本点所组成的事件，每次试验必定发生的事件随机事件是在随机试验中可能发生也可能不发生的事情不可能事件 每次试验必定不发生的事情不包含任何样本点的事件,本讲稿第二十五页，共三十六页Venn图A 随机事件的关系和运算雷同于集合的关系和运算 随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算本讲稿第二十六页，共三十六页l A 包含于B组成 A 的样本点也 是组成 B 的样本点事件 A 发生必导致 事件 B 发生 A B 且本讲稿第二十七页，共三十六页l 或由同时属于 A 与B 的样本点所组成的 事件事件 A与事件B 同时 发生发生的积事件 的积

21、事件 事件A 与事件B 的积事件 本讲稿第二十八页，共三十六页l 差事件由属于 A 但不属于 B 的样本点所组成 的事件发生事件 A 发生，但 事件 B 不发生 本讲稿第二十九页，共三十六页l 或 由组成 A 与组成B 的所有的样本点所 组成的事件事件 A与事件B 至 少有一个发生发生的和事件 的和事件 事件A 与事件B 的和事件本讲稿第三十页，共三十六页l 事件A 与事件B 互斥(互不相容)A、B不可能同时发生AB两两互不相容两两互不相容本讲稿第三十一页，共三十六页l 事件A 与事件B 互相对立每次试验 A、B中必有一个也只有一个发生A称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是两个不同的概念本讲稿第三十二页，共三十六页 事件的关系与运算完全对应着集合的关系和运算，有着下列的运算律：n 吸收律q 幂等律q 差化积运算律运算律n 重余律本讲稿第三十三页，共三十六页p 交换律p 结合律p 分配律p 反演律本讲稿第三十四页，共三十六页B CABA CA本讲稿第三十五页，共三十六页例例3 利用事件关系和运算表达多个事件的关系A,B,C 都不发生 A,B,C 不都发生例例2 化简事件解解 原式本讲稿第三十六页，共三十六页