射影几何学解析.pptx

《射影几何学解析.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《射影几何学解析.pptx（39页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、射影几何学解析射影几何学解析估计内参数估计内参数(5DOF)：Camera Calibration估计外参数估计外参数R,t(6DOF):Pose Estimation;Pose Determination 焦距焦距focuslength主点主点principal point尺度因子尺度因子 scale factor倾斜因子倾斜因子 skew factor第1页/共39页摄像机矩阵元素的几何意摄像机矩阵元素的几何意义义光心光心：世界坐标系的坐标原点：其图像世界坐标系的坐标原点：其图像点为点为p4世界坐标系的坐标轴方向的消失世界坐标系的坐标轴方向的消失点：点：p1，p2，p3第2页/共39页摄像

2、机矩阵元素的几何意义主平面：主平面：p3T轴平面轴平面:p1T,p2T主轴主轴:det(H)h3主点主点:Hh3第3页/共39页鱼眼镜头鱼眼镜头第4页/共39页(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)全向摄像机全向摄像机 第5页/共39页射影几何学简介射影几何学简介第6页/共39页主要内容主要内容1 1叉积叉积()2 2交比、调和共轭交比、调和共轭3 3射影变换射影变换4 4二次曲线及其对偶二次曲线及其对偶5 5对极关系对极关系6 6圆环点圆环点7 7绝对二次曲线绝对二次曲线第7页/共39页为什么要学习射影几何？为什么要学习射影几何？照相机的成像过程是一个照相机的成像过程是一个(退退化

3、的化的)射影变换射影变换射影变换射影变换(透视或中心射影透视或中心射影)的过程：的过程：物体与其影像不同，但是又有着一些共同的几何性质。物体与其影像不同，但是又有着一些共同的几何性质。第8页/共39页几何是：研究某个空间里的图形在变换之后保持几何是：研究某个空间里的图形在变换之后保持不变不变的性质的学科。的性质的学科。Euclid（约公元前（约公元前330-275）,原本原本，研究在，研究在欧欧氏变换氏变换(旋转和平移旋转和平移)下保持不变的性质（欧氏性质）下保持不变的性质（欧氏性质）的几何，是的几何，是欧氏几何欧氏几何。比如长度、角度、平行性等。比如长度、角度、平行性等都是欧氏性质。都是欧氏

4、性质。Pappus(约公元约公元3世纪世纪)，提出，提出交比交比等概念，射等概念，射影几何萌芽影几何萌芽Desargues(1591-1661),引入引入无穷远无穷远元素，透视定元素，透视定理，交比、调和不变，极点、极线，创立理，交比、调和不变，极点、极线，创立射影几何射影几何。第9页/共39页射影空间射影空间 对对 n 维欧氏空间维欧氏空间加入加入加入加入无穷远元素无穷远元素,并对有限并对有限元素和无穷远元素不加区分元素和无穷远元素不加区分,则它们共同构则它们共同构成了成了 n 维射影空间维射影空间.第10页/共39页 第11页/共39页无穷远点的像无穷远点的像第12页/共39页叉积（叉积（

5、）第13页/共39页两点、两线的叉积两点、两线的叉积第14页/共39页共线点的交比（Cross-ratio）直线坐标系直线坐标系：交比交比不依赖不依赖于参数化的于参数化的选择。选择。第15页/共39页调和共轭调和共轭第16页/共39页射影变换射影变换 记记 是两个由点组成是两个由点组成的射影空间的射影空间,是由是由 到到 的映射的映射.如果如果 保持保持:(i)点和直线的结合关系点和直线的结合关系.比如比如:点在直线上点在直线上;直线通过点直线通过点;等等等等.(ii)共线的四个点的交比共线的四个点的交比.则则 被叫作被叫作 n 维射影变换维射影变换.第17页/共39页点用齐次坐标表示点用齐次

6、坐标表示,则射影变则射影变换可用一个换可用一个(n+1)(n+1)的矩的矩阵表示阵表示:的行列式非零的行列式非零,则它是一则它是一个非退化的射影变换个非退化的射影变换,否则是否则是个退化的射影变换个退化的射影变换.第18页/共39页 例如例如:，是两条射影直线是两条射影直线,让让 与与 对应对应,其中其中 与与 的连线都交于一点的连线都交于一点,则这个映则这个映射是一个射是一个 1 维射影变换维射影变换.(透视透视或中心射影或中心射影)P1P2P3BP3P2P1P0AOLL第19页/共39页照相机的成像过程是一个从照相机的成像过程是一个从3维空间到维空间到2维空间的维空间的退化的射影退化的射影

7、退化的射影退化的射影变换变换变换变换。成像平面成像平面摄摄像像机机坐坐标标系系ZXYOMm第20页/共39页射影平面中的射影平面中的对偶对偶“点点”与与“直线直线”叫作射影平叫作射影平面上的对偶元素。面上的对偶元素。“过一点作一直线过一点作一直线”与与“在一在一直线上取一点直线上取一点”第21页/共39页在射影平面里设有点、直线及在射影平面里设有点、直线及其相互结合和顺序关系所组成其相互结合和顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，其结元素改为它的对偶元素，其结果形成另一个命题，这两个命果形成另一个命题，这两个命题叫作题叫作平面对偶命题平面对偶命

8、题平面对偶命题平面对偶命题。对偶原则对偶原则对偶原则对偶原则：在射影平面里，如：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。命题也成立。第22页/共39页例如：例如：命题：通过不同两点必有一直命题：通过不同两点必有一直线。线。对偶命题：两不同直线必有一交点。对偶命题：两不同直线必有一交点。第23页/共39页共线的四个点有交比共线的四个点有交比,根据对根据对偶偶,共点的四线也有交比共点的四线也有交比.L1L2L3L4P1P2P3P4(P1,P2;P3,P4)=(L1,L2;L3,L4)第24页/共39页二次曲线二次曲线(Conic)记射影平面上点的齐次坐标为记

9、射影平面上点的齐次坐标为 ,则满足一个二次方程则满足一个二次方程,即即:的所有点的集合构成一条由的所有点的集合构成一条由 决定的决定的 二次曲线二次曲线C,其中至少有一个其中至少有一个 非零非零.第25页/共39页 在二次曲线的定义中的方程在二次曲线的定义中的方程又可以写为又可以写为:矩阵矩阵 是对称的是对称的,它的它的秩秩秩秩在一在一个非退化的射影变换下保持不个非退化的射影变换下保持不变变.5DOF:a11:a12:a13:a22:a23:a33第26页/共39页5点确定一条直线点确定一条直线该矩阵的右零向量该矩阵的右零向量即是即是.SVD第27页/共39页 如果矩阵如果矩阵 的行列式非零的

10、行列式非零,则这个二次曲线则这个二次曲线非退化非退化非退化非退化.否则否则二次曲线退化为两条直线二次曲线退化为两条直线,或或一条直线一条直线.例如例如:圆圆,椭圆椭圆,双曲线和抛物双曲线和抛物线线都是非退化的二次曲线都是非退化的二次曲线.第28页/共39页切点、切线、配极对应切点、切线、配极对应p配极对应的几何描述：配极对应的几何描述：点点p关于非退化二次曲线关于非退化二次曲线C的的极线交极线交C于两点于两点，且且C在这两个交点的在这两个交点的切线交于点切线交于点p.第29页/共39页配极关系是射影不变的关系配极关系是射影不变的关系,利用利用这个关系我们可以对照相机进行标这个关系我们可以对照相

11、机进行标定定.第30页/共39页二次曲线的对偶：二次曲线的对偶：射影平面上点与直线是对偶的，射影平面上点与直线是对偶的，将二次曲线的点元素换为线元将二次曲线的点元素换为线元素，则这些线的包络为一个二素，则这些线的包络为一个二次曲线。次曲线。Point conicLine conic第31页/共39页非退化的二次曲线的对偶：非退化的二次曲线的对偶：二次曲线二次曲线 （为点坐标）为点坐标）的对偶为：的对偶为：（为线坐标）为线坐标）第32页/共39页圆环点圆环点(the circular points)平面上任何平面上任何圆圆与与无穷远直线无穷远直线的的交点交点：3点点+2圆环点圆环点=5点确定一个

12、圆点确定一个圆第33页/共39页绝对二次曲线绝对二次曲线(The Absolute Conic)欧氏空间中欧氏空间中,无穷远平面上的二无穷远平面上的二次曲线次曲线:称为绝对二次曲线称为绝对二次曲线.它都由虚点它都由虚点构成。构成。任意一个任意一个球球与与无穷远平面无穷远平面的交点：的交点：第34页/共39页AC性质性质无穷远直线交绝对二次曲线于两点，这两无穷远直线交绝对二次曲线于两点，这两个点是通过该无穷远线的平面的圆环点。个点是通过该无穷远线的平面的圆环点。绝对二次曲线是空间中所有平面的圆环点绝对二次曲线是空间中所有平面的圆环点所构成的集合，因而任意一个圆与绝对二所构成的集合，因而任意一个圆

13、与绝对二次曲线交于两个圆环点。次曲线交于两个圆环点。设绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表设绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表示为，则它的任一点的切线为，示为，则它的任一点的切线为，反之。配极对应也成立。反之。配极对应也成立。第35页/共39页 绝对二次曲线的像与照相机的绝对二次曲线的像与照相机的内参数紧密相连内参数紧密相连.假定照相机假定照相机的内参数为的内参数为:则绝对二次曲线的像是则绝对二次曲线的像是:反之反之,如果绝对二次曲线的像如果绝对二次曲线的像已知已知,则则 K 可以被完全确定可以被完全确定.第36页/共39页如果圆环点的像已知，也可以如果圆环点的像已知，也可以对照相机的内参数构成约束，对照相机的内参数构成约束，通过解方程组来得到内参数的通过解方程组来得到内参数的值。值。假定假定 m 是圆环点的像，则：是圆环点的像，则：第37页/共39页三维射影几何三维射影几何点、空间直线、平面点、空间直线、平面二次曲面二次曲面扭三次曲线：与三维重建中的退化情况紧扭三次曲线：与三维重建中的退化情况紧密相连。密相连。第38页/共39页