曲线积分与曲面积分复习.pptx

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1、第一类曲线积分特点(1)被积函数的定义域是曲线弧.(2)微元 是平面曲线弧长元素.(3)空间曲线上的一类曲线积分对弧长的曲线积分:第1页/共36页(1)公式法:L的参数方程：L:L:一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.2.第一类曲线积分的计算第2页/共36页步骤：1.写出L的参数方程，确定参数的范围2.化为定积分一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.(2)技巧：对称性简化计算.第3页/共36页例题例1其中L 为圆周直线 及x轴在第一象限边界.计算内所围成的扇形的整个 例3 计算 其中L为 形成的弧段.yxo例2其中 为折线ABCD,这里A，计算B，C，

2、D依次为第4页/共36页述移动过程中变力 所作的功W.设一质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动的作用，其中函数到点B,在移动过程中，这质点受到变力在L上连续.计算在上第二类曲线积分1.引例：变力沿平面曲线做功对坐标的曲线积分第5页/共36页 (2)被积函数的定义域是曲线弧.对坐标的曲线积分特点(1)积分曲线是有向曲线弧.(3)微元 是有向弧微分 在坐标轴上的投影与一类曲线积分的本质区别 (4)变力沿空间曲线做功第6页/共36页一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.2.第二类曲线积分的计算(1)公式法:有向曲线L的参数方程：从 到L:从 到L:从 到从 到从 到第7页/共

3、36页步骤：1.写出L的参数方程，确定参数的走向2.化为定积分一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.第8页/共36页例题其中L为沿抛物线 从点 到的一段.例4 计算 例5 计算 其中 是从到 的直线段.第9页/共36页(1)格林公式平面闭曲线 定理1 设区域 D 是由分段光滑的曲线 L围成，则有(格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,其中L是D的正向边界曲线.DD第二类曲线积分的重要定理第10页/共36页说明：(1)格林公式仅计算平面闭曲线的二类曲线积分.(2)L是D的正向边界曲线沿着边界走，区域在左手.(3)L必须是封闭的平面曲线.在D上具有连续一阶偏导数.(4)添边

4、：构成闭区域，具有连续一阶偏导数.加负号：沿着边界走，区域在右手，记得添负号。挖洞：含奇点时莫忘挖洞去奇点.第11页/共36页例6 计算其中L为的负向.例7 计算 上由点到点 的一段弧.其中L为应用：其中L为一无重点且不过例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线.yxoxyoL第12页/共36页DyxoBA定义：曲线积分与路径无关等价于条件：(2)曲线积分与路径无关第13页/共36页则曲线积分 在D内 定理2 设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,在 D 内恒成立.路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充函数要条件是第14页/共36页，其中L是从点 例10 计算到点 的任意有向曲线

5、.利用路径无关计算曲线积分，其中L是xoy平面内的任 例9 计算意有向闭曲线.特点：路径无关，闭曲线,积分为零.特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.第15页/共36页第二类曲线积分的计算方法总结1.公式法：被积函数与积分路径简单.2.格林公式：平面闭曲线，不易积分，但 简单.3.路径无关：选择简单路径，积分.第16页/共36页三、二元函数的全微分求积?设区域D是一个单连通域,函数P(x,y)及定理3在D内恒成立.u(x,y)的全微分的充在D内为某一函数Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则曲线积分的被积表达式要条件是1.全微分的条件第17页/共36页yxo在整个xoy面内 例11 验证的

6、全微分，并求这样一个函数.是一函数第18页/共36页第一类曲面积分“一投，二代，三换，投影，换元看方程”第一类曲面积分的计算 例12 计算 ,其中 为球面 例13 计算 ，其中 为第19页/共36页 之间的圆柱面 例14 计算 ，其中 为平面 例15 计算 ，其中 为球面第20页/共36页 步骤：1.写出曲面的显式表达式2.将曲面向xoy面投影3.求出曲面面积元素4.化为二重积分“一投，二代，三换，投影，换元看方程”第21页/共36页预备知识：上侧下侧前侧后侧通过曲面上任一点处法向量的指向来指定.例：1.有向曲面的侧第22页/共36页右侧左侧第23页/共36页2.有向曲面在坐标面上的投影 设

7、为有向曲面,在上取一小块曲面上各点处法向量的方向余弦在xOy面上的投影区域的面积为假定有相同的符号.把 在 xoy 面上的投影记为则规定第24页/共36页 在 zox面上的投影 在 yoz面上的投影第25页/共36页第二类曲面积分用 表示 的反向曲面,则与侧有关性质第26页/共36页取前侧取后侧取右侧取左侧第二类曲面积分的计算第27页/共36页取上侧取下侧一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧第28页/共36页 例16 计算 其中 是平面 含在 柱面 部分内的上侧.理解：在曲面上；曲面面积元素的投影.例17 计算 其中 是球面 的下半部分的下侧.特点：曲面具有单值函数表达式第29

8、页/共36页2、化为二重积分3、计算二重积分1、明确 的方程，确定投影步骤：一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧第30页/共36页为有向曲面在任意点处法向量的方向余弦.两类曲面积分之间的联系第31页/共36页其中是旋转抛物面介于平面 z=0 之间部分的下侧.例18 计算及 z=2第32页/共36页 的方向取外侧.定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭在 上有连续的一阶函数 P,Q,R 曲面 所围成,则有 偏导数,或高斯公式第33页/共36页,其中 是例19 计算的内侧.,其中例20 计算所围立体表面的外侧.，其中例21 计算为 的下侧.第34页/共36页三度例22 已知 ,求在 处第35页/共36页感谢您的观看。第36页/共36页