条件分布与条件数学期望.pptx

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1、 一条一条 件件 分分 布布第1页/共22页 设 pij =P X=xi,Y=yj（i,j =1,2,）是二维离散型随机向量(X，Y)的联合分布律，则在事件 Y=yj 已发生的条件下，事件 X=xi 发生的条件概率 P X=xi|Y=yj （i=1,2,）称为在在 Y=yj 的条件下随机变量的条件下随机变量 X 的条件分布律的条件分布律。条件分布条件分布律律的的定义定义 在事件 X=xi 已发生的条件下，事件Y=yj 发生的条件概率 P Y=yj|X=xi （j =1,2,）称为在在 X=xi 的条件下随机变量的条件下随机变量 Y 的条件分布律的条件分布律。(X，Y)为为二维二维离散型离散型随

2、机向量随机向量第2页/共22页 在在 Y=yj 的条件下随机变量的条件下随机变量 X 的条件分布律的条件分布律条件分布条件分布律律的的计算公式计算公式 在在 X=xi 的条件下随机变量的条件下随机变量 Y 的条件分布律的条件分布律(X，Y)为为二维二维离散型离散型随机向量随机向量第3页/共22页（2）条件分布律由联合分布律确定。（3）联合分布律由边际分布律 和条件分布律共同确定。（1）条件分布律计算公式成立的条件。注注 记记(X，Y)为为二维二维离散型离散型随机向量随机向量（4）离散型随机变量）离散型随机变量X、Y 相互独立的充要条件相互独立的充要条件第4页/共22页例题例题 1XY12342

3、34P X=m,Y=n=P 共射击 n 次，其中第 m,n 次击中目标，其余 n-2 次不击中目标=p2(1-p)n-2（m n）000000 一战士进行射击，击中目标的概率为 p（0 p 1），射击到击中目标两次为止，设 X 以表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数，试求 X 和Y 的联合分布律及条件分布律。p2p2(1-p)p2(1-p)p2(1-p)2 p2(1-p)2 p2(1-p)2 (X，Y)为为二维二维离散型离散型随机向量随机向量第5页/共22页 在在 Y=yj 的条件下随机变量的条件下随机变量 X 的条件分布函数的条件分布函数条件分布条件分布函数函数的的

4、计算公式计算公式 在在 X=xi 的条件下随机变量的条件下随机变量 Y 的条件分布函数的条件分布函数(X，Y)为为二维二维离散型离散型随机向量随机向量第6页/共22页 设 F(x,y)是二维随机向量(X，Y)的联合分布函数。条件分布条件分布函数函数的的定义定义(X，Y)为为二维二维连续型连续型随机向量随机向量给定 y，设对于任意固定的正数 ，P y Y 0，且若对于任意实数 x，极限存在，则称此极限为在 Y=y 的条件下 X 的条件分布函数，记为第7页/共22页条件分布条件分布函数函数的的计算公式计算公式(X，Y)为为二维二维连续型连续型随机向量随机向量若对于固定的 x，f X(x)0，则设

5、f(x，y)是二维连续型随机向量(X，Y)的联合概率密度，若对于固定的 y，fY(y)0，则第8页/共22页 在在 Y=y 的条件下的条件下 X 的条件概率密度的条件概率密度条件概率密度的条件概率密度的计算公式计算公式 在在 X=x 的条件下的条件下 Y 的条件概率密度的条件概率密度(X，Y)为为二维二维连续型连续型随机向量随机向量第9页/共22页（2）条件概率密度由联合概率密度确定。（3）联合概率密度由边缘概率密度 和条件概率密度共同确定。（1）条件概率密度计算公式成立的条件。(X，Y)为为二维二维连续型连续型随机向量随机向量注注 记记（4）连续型随机变量）连续型随机变量X、Y 相互独立的充

6、要条件相互独立的充要条件第10页/共22页例例 题题 2011y=xyG 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为，求 fXY(x|y)，0 y 1(X，Y)为为二维二维连续型连续型随机向量随机向量第11页/共22页条件分布条件分布函数的函数的定义定义(X，Y)为为一般一般二维随机向量二维随机向量条件分布条件分布函数函数的的计算公式计算公式第12页/共22页重要结论重要结论(X，Y)为为一般一般二维随机向量二维随机向量 如果 X，Y 相互独立，则 F Y|X(y|x)=F Y(y)。证明证明如果 X，Y 相互独立，则 F(x,y)=FX(x)FY(y),进而，第13页/共22页 二条

7、二条 件件 数数 学学 期期 望望第14页/共22页 如果 R-S R-S 积分 绝对收敛，则称它为 X 在在 Y=y 的条件下的条件数学期望的条件下的条件数学期望，记为 条件数学期望条件数学期望的的定义定义 第15页/共22页条件数学期望条件数学期望的的计算公式计算公式 第16页/共22页条件数学期望的条件数学期望的性质性质（1）当 X、Y 相互独立时，E(Y|X)=E(Y)（2）E(c|X)=c （c为常数）（3）E(g(X)|X)=g(X)（4）E(a Y+b Z|X)=a E(Y|X)+b E(Z|X)第17页/共22页(5)全数学期望公式全数学期望公式 E E(Y|X)=E(Y)全数

8、学期望公式的证明：全数学期望公式的证明：假设(X，Y)为二维连续型随机向量，得条件数学期望的条件数学期望的性质性质第18页/共22页条件数学期望的条件数学期望的性质性质（6）E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X)（7）E Y-E(Y|X)2 E Y g(X)2 第19页/共22页 一个工人看管分布在一直线上的 n 台同类型机床，相邻两台机床之间相距 a，假设每台机床需调整的概率为 1/n，求工人两次调整机床之间所走路程的数学期望。例题例题 3 设Y：工人两次调整机床之间所走路程E(Y)=E E(Y|X)X：第一次调整的机床号码 X 1 2 n P1/n 1/n 1/nY|X=i(i-1)a a 0 a (n-i)a P 1/n 1/n 1/n 1/n 1/nE(Y|X=i)=(i-1)a.1/n+(i-2)a.1/n+a.1/n +a.1/n+2a.1/n+(n-i)a.1/n=a 2 i 2-2(n+1)i+n(n+1)/2n第20页/共22页例例 题题 4 设二维连续型随机变量(X ,Y )的联合概率密度函数为求 E(X|y)，0 y 1第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页