李雅普诺夫稳定性分析课件.pptx

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1、 是是指指系系统统在在零零输输入入条条件件下下通通过过其其内内部部状状态态变变化化所所定定义义的的内内部部稳稳定定性性，即即状状状状态态态态稳稳稳稳定定定定。内内部部稳稳定定性性不不但但适适用用于于线线性性系统，而且也适用于非线性系统。系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统只和系统本身的结构和参数有关，与输入本身的结构和参数有关，与输入-输出无关。输出无关。4.1 引言引言 稳稳稳稳定定定定性性性性是是控控制制系

2、系统统能能否否正正常常工工作作的的前前提提条条件件。控控制制系系统的稳定性通常有两种定义方式：统的稳定性通常有两种定义方式：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性 是是指指系系统统在在零零初初始始条条件件下下通通过过其其外外部部状状态态，即即由由系系统统的的输输入入和和输输出出两两者者关关系系所所定定义义的的外外部部稳稳定定性性，即即有有有有界界界界输输输输入入入入有界输出稳定有界输出稳定有界输出稳定有界输出稳定。外部稳定性只适用于线性系统。外部稳定性只适用于线性系统。内部稳定性内部稳定性内部稳定性内部稳定性第1页

3、/共72页 研究系统稳定性的方法：研究系统稳定性的方法：李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 经典控制理论：经典控制理论：劳斯劳斯-胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 现代控制理论：李亚普诺夫稳定性现代控制理论：李亚普诺夫稳定性第一法第一法第二法第二法 李李亚亚普普诺诺夫夫第第一一法法又又称称间间接接法法。它它的的基基本本思思路路是是通通过过系系统统状状态态方方程程的的解解来来判判别别系系统统的的稳稳定定性性。对对于于线线性性定定常常系系统统，只只需需解

4、解出出特特征征方方程程的的根根即即可可作作出出稳稳定定性性判判断断；对对于于非非线线性性不不很很严严重重的的系系统统，则则可可通通过过线线性性化化处处理理，取取其其一一次次近近似似得得到到线线性性化化方方程程，然然后后再再根根据据其其特特征征根根来来判判断断系系统统的的稳稳定性。定性。第2页/共72页 以以上上讨讨论论的的都都是是指指系系统统的的状状态态稳稳定定性性，或或称称内内部部稳稳定定性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 线性定常系统线性定常系统 平平衡衡状

5、状态态 渐渐进进稳稳定定的的充充要要条条件件是是系系统统矩矩阵阵A的的所所有有特特征征值均具有负实部。值均具有负实部。线性系统状态稳定性判据线性系统状态稳定性判据线性系统状态稳定性判据线性系统状态稳定性判据1、线性系统的稳定判据、线性系统的稳定判据第3页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 线线性性定定常常系系统统 输输出出稳稳定定的的充充要要条条件件是是其其传传递递函函数数 的极点全部位于的极点全部位于s的左半平面。的左半平面。线性系统输出稳定性判据线性系统输出稳定性判据线性系统输出稳定性判据线性系统输出稳定性判据 如如果果系系统统对对于于有

6、有界界输输入入u所所引引起起的的输输出出y是是有有界界的的，则则称系统为输出稳定。称系统为输出稳定。例题例题4.1 系统的状态空间描述为系统的状态空间描述为试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。第4页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析解解：(1)由由A阵的特征方程阵的特征方程可得特征值可得特征值 ，。故系统的状态不是渐近稳定的。故系统的状态不是渐近稳定的。(2)由系统的传递函数由系统的传递函数 可可见见传传递递函函数数的的极极点点 位位于于s的的左左半半平平面面，故故系系统统输输出出稳稳定定。这这是是因因为为

7、具具有有正正实实部部的的特特征征值值 被被系系统统的的零零点点 对对消消了了，所所以以在在系系统统的的输输入入输输出出特特性性中中没没被被表表现现出出来来。由由此此可可见见，只只有有当当系系统统的的传传递递函函数数W(s)不不出出现现零零、极极点点对对消消现现象象，并并且且矩矩阵阵A的的特特征征值值与与系系统统传传递递函函数数W(s)的的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。第5页/共72页 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分

8、析 李李亚亚普普诺诺夫夫第第二二方方法法又又称称直直接接法法。它它的的基基本本思思想想不不是是通通过过求求解解系系统统的的运运动动方方程程，而而是是借借助助了了一一个个李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数来来直直接接对对系系统统平平衡衡状状态态的的稳稳定定性性做做出出判判断断，它它是是从从能能量量观观点点进进行行稳稳定定性性分分析析的的。如如果果一一个个系系统统被被激激励励后后，其其储储存存的的能能量量随随着着时时间间的的推推移移逐逐渐渐衰衰减减，到到达达平平衡衡状状态态时时，能能量量将将达达最最小小值值，那那么么，这这个个平平衡衡状状态态是是渐渐近近稳稳定定的的。反反之之，如如果果系系统统不不断断地

9、地从从外外界界吸吸收收能能量量，储储能能越越来来越越大大，那那么么这这个个平平衡衡状状态态就就是是不不稳稳定定的的。如如果果系系统统的的储储能能既既不不增增加加，也也不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。第6页/共72页4.2 李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述 1892年年俄俄国国学学者者李李亚亚普普诺诺夫夫发发表表了了运运动动稳稳定定性性一一般般问问题题，最最早早建建立立了了运运动动稳稳定定性性的的一一般般理理论论，并并把把分分析析常常微微分分方方程程组组稳稳定定性性的的全全部部方方法法归归纳纳为为两两类类。第第一

10、一类类方方法法先先求求出出常常微微分分方方程程组组的的解解，而而后后分分析析其其解解运运动动的的稳稳定定性性，称称为为间间接接方方法法；第第二二类类方方法法不不必必求求解解常常微微分分方方程程组组，而而是是提提供供出出解解运运动动稳稳定定性性的的信信息息，称称为为直直接接方方法法，它它是是从从能能量量观观点提供了判别所有系统稳定性的方法。点提供了判别所有系统稳定性的方法。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第7页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 稳稳定定性性是是指指系系统统受受外外界界干干扰扰后后，平

11、平衡衡状状态态被被破破坏坏，但但当当干干扰扰去去掉掉后后，系系统统仍仍能能自自动动地地回回到到平平衡衡状状态态下下继继续续工工作作。具具有有稳稳定定性性的的系系统统称称为为稳稳定定系系统统，不不具具有有稳稳定定性性的的系系统统称称为不稳定系统。为不稳定系统。1、稳定性、稳定性一、物理基础一、物理基础 稳定性是系统本身固有的属性。稳定性是系统本身固有的属性。稳定性是系统本身固有的属性。稳定性是系统本身固有的属性。线线线线性性性性自自自自动动动动控控控控制制制制系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件：系系系系统统统统特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的全全全全

12、部部部部根根根根是是是是负负负负实实实实部部部部或或或或实实实实部部部部为为为为负负负负的的的的复复复复数数数数，即即即即全全全全部部部部根根根根在在在在复复复复平平平平面的左半平面。面的左半平面。面的左半平面。面的左半平面。第8页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析2、系统的平衡状态、系统的平衡状态 设系统为设系统为 ，其中，其中 ，则，则 ，对对于于该该系系统统，如如果果存存在在对对所所有有时时间间t都都满满足足 的的状状态态 ，即即 ，则把，则把 叫做系统的平衡状态。叫做系统的平衡状态。对于线性定常系统对于线性定常系统 而言，其平衡状态满

13、足而言，其平衡状态满足 ，若若A是是非非奇奇异异矩矩阵阵，则则只只有有 ，即即对对线线性性系系统统而而言言平平衡衡状状态态只只有有一一个个，在在坐坐标标原原点点；反反之之，则则有有无无限限多个平衡状态。多个平衡状态。对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。第9页/共72页 李李亚亚普普诺诺夫夫第第二二法法建建立立在在这这样样一一个个直直观观的的物物理理事事实实上上：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 ，那那么么随随着着系系统统的的运运动动，其其储储存存的的能能量量将将时时间间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能

14、量趋于极小值。的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析3、李亚普诺夫第二法、李亚普诺夫第二法 对于系统对于系统 建立一个能量函数建立一个能量函数 ，即，即 对对于于任任意意 时时，而而 ，且且仅仅当当 时时，才才有有 ，则系统，则系统 是稳定的。是稳定的。第10页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 由由此此，李李亚亚普普诺诺夫夫第第二二法法可可归归结结为为：在在不不直直接接求求解解的的前前提提下下，通通过过李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数 及及其其对对时时间间的的

15、一一次次导导数数 的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信息。的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信息。因因此此，应应用用李李亚亚普普诺诺夫夫第第二二法法的的关关键键在在于于能能否否找找到到一一个合适的李亚普诺夫函数个合适的李亚普诺夫函数(即即能量函数能量函数能量函数能量函数)。4、能量函数、能量函数 广广义义能能量量函函数数 称称为为李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数，如如果果其其不不显显含时间含时间t，就记成，就记成 。第11页/共72页 设设 为任一标量函数，其中为任一标量函数，其中X为系统的状态变量，为系统的状态变量，如果如果 具有以下性质：具有以下性质：(1)是连续的；是连续的；(2

16、)是正定的；是正定的；(3)当当 时，时，。那么函数那么函数 称为李亚普诺夫函数。称为李亚普诺夫函数。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 能量函数的定义能量函数的定义能量函数的定义能量函数的定义反映能量的变化趋势反映能量的变化趋势反映能量的大小反映能量的大小反映能量的分布反映能量的分布 李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数的的选选取取不不唯唯一一，多多数数情情况况下下可可取取为为二二次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。第12页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定

17、性分析1、二次型函数的定义及其表达式、二次型函数的定义及其表达式二、二次型及其定号性二、二次型及其定号性(1)二次型函数的定义二次型函数的定义 在代数式中我们常见一种多项式函数如下在代数式中我们常见一种多项式函数如下其其中中每每项项的的次次数数都都是是二二次次的的，这这样样的的多多项项式式称称为为二二次次齐齐次次多多项项式式或或二二次次型型。以以上上只只是是对对含含有有2个个变变量量x、y的的二二次次函函数来说的，如果将变量个数扩展到数来说的，如果将变量个数扩展到n，仍具有相同的含义。，仍具有相同的含义。第13页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性

18、分析 n个变量个变量 的二次其次多项式为的二次其次多项式为称为二次型函数，即二次型。式中称为二次型函数，即二次型。式中 为二次型系数。为二次型系数。二次型的定义二次型的定义二次型的定义二次型的定义第14页/共72页 由二次型函数的定义可写成由二次型函数的定义可写成现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析(2)二次型函数的矩阵表达式二次型函数的矩阵表达式第15页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 其中其中 ，P称为二次型的矩阵。称为二次型的矩阵。即即P为对称矩阵。为对称矩阵。显显然然二二次次型型 完完全全由由

19、矩矩阵阵P确确定定且且P的的秩秩称称为为二二次型的秩。次型的秩。例题例题4.2第16页/共72页 V(X)是向量是向量X的标量函数。的标量函数。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析2、标量函数、标量函数V(X)的定号性的定号性 如果对任意非零向量如果对任意非零向量 ，恒有，恒有 ，且仅当且仅当 时时 ，则称，则称 为正定的。即为正定的。即(1)正定性正定性例题例题4.3 当当 时，时，；当当 时，时，。所以，。所以，V(X)是正定的。是正定的。第17页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 如果对任意非零向

20、量如果对任意非零向量 ，恒有，恒有 0，且仅当且仅当 时时 ，则称，则称 为正半定的。即为正半定的。即 0(2)正半定性正半定性(准正定准正定)例题例题4.4 当当 时，时，；当当 但但 时，时，。所以，所以，V(X)是正半定的。是正半定的。第18页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析(3)负定性负定性例题例题4.5 当当 时，时，；当当 时，时，0。所以，所以，V(X)是负定的。是负定的。如果对任意非零向量如果对任意非零向量 ，恒有，恒有 0，且仅当且仅当 时时 ，则称，则称 为正定的。即为正定的。即 0第19页/共72页现代控制理论现代控制

21、理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 如果对任意非零向量如果对任意非零向量 ，恒有，恒有 0，且仅当且仅当 时时 ，则称，则称 为负半定的。即为负半定的。即 0(4)负半定性负半定性(准负定准负定)例题例题4.6 当当 时，时，；当当 但但 时，时，。所以，所以，V(X)是负半定的。是负半定的。第20页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 如果在某个邻域内，如果在某个邻域内，即可为正值也可为负值，即可为正值也可为负值，则称则称 为不定的。为不定的。(5)不定性不定性例题例题4.7 若若 ，则，则 ；如果如果ab，V(X)0；

22、ba，V(X)0。所以，所以，V(X)是不定的。是不定的。第21页/共72页 对对于于P为为实实对对称称矩矩阵阵的的二二次次型型函函数数V(X)的的定定号号性性，可可用关于矩阵定号性的赛尔维斯特定理来判定。用关于矩阵定号性的赛尔维斯特定理来判定。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析3、二次型标量函数定号性判别准则、二次型标量函数定号性判别准则(1)实实对对称称矩矩阵阵P为为正正定定的的充充要要条条件件是是P的的各各阶阶主主子子行行列列式式均大于均大于0。即。即赛尔维斯特定理：赛尔维斯特定理：赛尔维斯特定理：赛尔维斯特定理：第22页/共72页这个定理称为赛

23、尔维斯特定理定理4.2 4.2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第23页/共72页正定矩阵具有以下一些简单性质现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第24页/共72页例例4.104.10 判别二次型的正定性.解解现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第25页/共72页4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定

24、性分析李亚普诺夫稳定性分析第26页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第27页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第28页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第29页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第30页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第31页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第32页/

25、共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第33页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第34页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第35页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第36页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第37页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第38页/共72页现代控制理论现代控制理论第第

26、4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第39页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第40页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第41页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第42页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第43页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第44页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺

27、夫稳定性分析第45页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第46页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第47页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第48页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第49页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第50页/共72页例4.6 系统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。解：原点为平衡状态，选取李氏函数 v 在任意x 值

28、上均可保持为零，则系统在原点处v是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。v 现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第51页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第52页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第53页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第54页/共72页4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析讨论讨论：选择二次型函数 为李氏函数。v目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性负定正定由上

29、一节讨论的判据知道系统渐近稳定，故有以下判据：一、线性定常连续系统的稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第55页/共72页且标量函数 就是系统的一个李氏函数。判据判据：线性连续定常系统：在平衡状态 处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第56页/共72页 1）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取 。2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。说明说明:3）如果 除了在 时有 外，不恒等

30、于零,则由上一节判据可知，Q可 取做半正定。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第57页/共72页应用定理判稳步骤：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第58页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第59页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第60页/共72页现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第61页/共72页 例例 用李氏第二法，求使下列系统

31、稳定的K值。解解：1、写出状态空间表达式 现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第62页/共72页状态空间描述为：2、用李氏第二法判稳（令u=0）1）Q能不能取做半正定？2）计算使实对称矩阵P为正定的k值范围由判据4 得：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第63页/共72页注意：P为正定实对称矩阵。解得：根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k0，且k0 所以系统稳定的k值范围为0k6现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第64页/共72页二、线性定常离散系统的稳定性分析判

32、据：判据：线性定常离散系统的状态方程为 则系统在平衡点Xe=0Xe=0处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q Q，都存在对称正定矩阵P P，使得：且系统的李雅普诺夫函数是：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第65页/共72页推导推导：仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵Q Q，从以下方程中解出实对称阵P P，然后验证P P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第66页/共72页 当取 时：说明说明2 2 2 2：如果 沿任意一解序列不恒等于零，Q也可取为半正定的。说明

33、说明1 1 1 1：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第67页/共72页例设离散时间系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。解：根据稳定定理知现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第68页/共72页P为正定。即 满足上述条件必有即只有当传递函数的极点位于单位圆内，系统在平衡点处才是大范围内渐近稳定的。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第69页/共72页试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的k值范围。根据 得：解解：取：例例：已知线性离散时间系统状态方程为：其中：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第70页/共72页根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则 ，即：k2，所以系统渐近稳定的k值范围为0k2解得：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析第71页/共72页感谢您的观看！第72页/共72页