多维随机变量及其分布精选PPT.ppt

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1、多维随机变量及其分布第1页，此课件共98页哦从本讲起，我们开始第四章的学习从本讲起，我们开始第四章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第三章内容的推广它是第三章内容的推广.第一讲第一讲 多维随机变量及其多维随机变量及其 分布函数、边缘分布函数分布函数、边缘分布函数 第2页，此课件共98页哦 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分及其分布布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够

2、，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述而需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是由一命中点的位置是由一对对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个三个坐标）来确定的等等坐标）来确定的等等.第3页，此课件共98页哦 若若 是是定义在同一个定义在同一个样本空间样本空间S上的上的n个随机变量，个随机变量，eS,则由它们构则由它们构成的一个成的一个n维向量（维向量（）称为称为n维随机变量维随机变量，或，或n维随机向量维随机向量，简记为，简记为 二维随机变量用（二维随机变量用（X

3、，Y）表示）表示下面着重讨论二维下面着重讨论二维r.v(X，Y),多维随机变量可类推。多维随机变量可类推。第4页，此课件共98页哦二维随机变量（二维随机变量（X,Y）X和和Y的联合分布函数的联合分布函数 X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X两事件同时发生第5页，此课件共98页哦类似一维类似一维r.v的分布函数，定义二维的分布函数，定义二维r.v的分布函数的分布函数如下：如下：定义：定义：设（设（X，Y）二维随机变量，）二维随机变量，x,y为任意为任意 实数，则二元函数实数，则二元函数 称为（称为（X，Y）的分布函数，或称为）的分布函数，或称为X和和Y的的联合分布函数联合分布函数。第

4、6页，此课件共98页哦几何意义：几何意义：如将如将(X，Y)看成是平面上随机点看成是平面上随机点 的坐标，则的坐标，则F(x,y)就是就是(X，Y)落在落在 以点以点(x,y)为顶点的左下方无穷矩形为顶点的左下方无穷矩形 域内的概率。域内的概率。xoy(x,y)第7页，此课件共98页哦利用分布函数，对任意实数利用分布函数，对任意实数 则则 xoy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)第8页，此课件共98页哦分布函数性质：分布函数性质：1.对任意实数对任意实数x,y有有0F(x,y)1;即即F(x,y)对每个自变量都是单调不减的；对每个自变量都是单调不减的；2.3对任意对任意x

5、,y有有 第9页，此课件共98页哦4 即即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。对每个自变量都是右连续的。5对任意实数对任意实数 ，有，有 若若F(x,y)满足上述性质，则其必为某一满足上述性质，则其必为某一二维二维r.v(X,Y)的分布函数。的分布函数。第10页，此课件共98页哦 如果二维如果二维r.v(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)已知，已知，可以分别求可以分别求r.v X和和Y的分布函数的分布函数 即：即：称称 为分布函数为分布函数F(x,y)的边缘的边缘分布函数分布函数，或二维，或二维r.v(X,Y)关于关于X和和Y的边的边缘分布函数。缘分布函数。第11页，此课件共98页哦第

6、二讲第二讲 二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义定义1：若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)所有可能取值是所有可能取值是 有限对或可列无限多对，则有限对或可列无限多对，则称称(X,Y)为为 二维离散型随机变量。二维离散型随机变量。定义定义2：设设(X,Y)为二维离散型随机变量，所有为二维离散型随机变量，所有 可能取值为可能取值为 i,j=1,2,令令 则称则称 为为(X,Y)的分布列的分布列，或称为或称为X和和Y的联合分布列。的联合分布列。第12页，此课件共98页哦 二维离散型二维离散型联合分布列联合分布列i,j=1,2,随机变量（随机变量（X,Y）k=1,2,一维离散型一维离散型k=1

7、,2,分布列分布列 随机变量随机变量X第13页，此课件共98页哦分布列的性质：分布列的性质：分布列的表示方法：分布列的表示方法：公式法公式法 第14页，此课件共98页哦列表法：列表法：1 p.1 p.2 p.j p.Jp1.p2.pi.pi.p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 X xi Y y1 y2 yj 第15页，此课件共98页哦例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数，而抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求与反面出现次数之差的绝对值，求(X,

8、Y)的的联合分布列联合分布列.解：解：（X,Y）可取值）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下列表如下第16页，此课件共98页哦 二维联合分布列全面地反映了二维随机变二维联合分布列全面地反映了二维随机变量量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律.而单个随机变量而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布列也具有自己的概率分布列.那么要问那么要问:二者之二者之间有什么关系呢间有什么关系呢?从表中不难求得从表中不难求得:P(X=0)

9、=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意这两个分布正好是表2的行和与列和.第17页，此课件共98页哦 如下表所示如下表所示 我们常将我们常将边缘分布列边缘分布列写在联合分布列表格写在联合分布列表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.第18页，此课件共98页哦联合分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由

10、边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.第19页，此课件共98页哦一般，对离散型一般，对离散型 r.v(X,Y)，则则(X,Y)关于关于X的边缘分布列为的边缘分布列为(X,Y)关于关于Y 的边缘分布列为的边缘分布列为X和和Y 的联合分布列为的联合分布列为第20页，此课件共98页哦 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数可的分布函数可表示如下：表示如下：其中和式是对所有满足其中和式是对所有满足 的的i,j 求和。求和。第21页，此课件共98页哦 一维连续型随机变量一维连续型随机变量 X的概率密度的概率密度二维连续型随机变量二维连续型随机变量X和和Y 的联合

11、概率密度的联合概率密度第三讲第三讲 二维连续型随机变量二维连续型随机变量第22页，此课件共98页哦.概率密度与边缘概率密度概率密度与边缘概率密度定义：定义：设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y)，若存在非负函数若存在非负函数f(x,y),使得对任意实数使得对任意实数 x,y有有 则称则称(X,Y)为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量，称称f(x,y)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为的概率密度，或称为X与与Y的联合概率密度。的联合概率密度。第23页，此课件共98页哦 不难得出，对连续型不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其，其概概

12、率密度与分布函数的关系如下：率密度与分布函数的关系如下：在在 f(x,y)的连续点的连续点第24页，此课件共98页哦概率密度性质：概率密度性质：3.设设G是是xOy平面上的一个区域，则点平面上的一个区域，则点(X,Y)落在落在G中的概率为：中的概率为：计算性质第25页，此课件共98页哦性质性质1:表示表示Z=f(x,y)在在xOy平面上方的曲面；平面上方的曲面；性质性质2:表示表示Z=f(x,y)与与xOy平面所夹空间区域平面所夹空间区域 的体积为的体积为1。性质性质3:表示表示P(X,Y)G的值等于以曲面的值等于以曲面 Z=f(x,y)为顶，以平面区域为顶，以平面区域G为底的曲为底的曲 顶柱

13、体的体积。顶柱体的体积。几何意义：几何意义：第26页，此课件共98页哦 对连续型对连续型 r.v(X,Y)，X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为则则(X,Y)关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为(X,Y)关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为第27页，此课件共98页哦例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求(1)c的值；的值；（2）两个边缘概率密度。）两个边缘概率密度。=5c/24=1,c=24/5(1)由确定确定C解：解：第28页，此课件共98页哦例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解:(2)求求 (1)c的值的值;(2)两个边缘概率密度两个边缘概率密度.

14、注意积分限注意取值范围xy01y=x第29页，此课件共98页哦例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解:(2)求求 (1)c的值的值;(2)两个边缘概率密度两个边缘概率密度.注意积分限注意取值范围xy01y=x第30页，此课件共98页哦即即第31页，此课件共98页哦 在在求求连连续续型型 r.v 的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要要求求联联合合密密度度在在某某区区域域上上的的积积分分.当当联联合合密密度度函函数数是是分分片片表表示示的的时时候候，在在计计算算积积分分时时应应特特别别注注意积分限意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布.第32页，此课件共

15、98页哦 设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，其其面面积积为为A.若若二维随机变量（二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度则称则称（X,Y）在）在G上服从均匀分布上服从均匀分布.向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关.则则质质点点的的坐坐标标（X,Y）在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例均匀分布均匀分布第33页，此课件共98页哦例例3.二维二维r.v(X,Y)在由在由y=1/x,y=0,x=1和和x=e2所所

16、 形成的区域形成的区域D上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求(X,Y)的的 边缘概率密度。边缘概率密度。如图如图 解：解：xoye211第34页，此课件共98页哦第35页，此课件共98页哦 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有 则称则称X,Y相互独立相互独立.两随机变量独立的定义是：两随机变量独立的定义是：第四讲第四讲 随机变量的独立性随机变量的独立性第36页，此课件共98页哦用分布函数表示用分布函数表示,即即

17、 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则则称称X,Y相互独立相互独立.它表明，两个它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.第37页，此课件共98页哦其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，则称则称X,Y相互独立相互独立.对任意的对任意的 x,y,有有 若若(X,Y)是连续型是连续型r.v，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：分别是分别是X的的边缘密度和边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度.第38页，此课件共98页哦 若若(X,Y)是离散型是离散型r.v，则

18、上述独立性的定义，则上述独立性的定义等价于：等价于：则称则称X和和Y相互独立相互独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有即即 第39页，此课件共98页哦 例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解：解：x0 即：即：对一切x,y,均有：故X,Y 独立y 0第40页，此课件共98页哦 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？解：解：0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故X和和Y不独立不独立.第41页，此课件共98页哦 随随机机变变量量独独立立性性的的概概念念不不难难推推广广到

19、到两两个个以上以上r.v的情形的情形.1.分布函数分布函数 设设 为为n维随机变量，维随机变量，为任意实数，则为任意实数，则n元函数元函数称为称为 的分布函数。的分布函数。第42页，此课件共98页哦2.概率密度概率密度 设设 为为n维随机变量维随机变量的分布函数，若存在非负函数的分布函数，若存在非负函数 对对任意实数任意实数 有有 则称则称 为连续型随机变量，为连续型随机变量，称为称为n维随机变量的概率密度。维随机变量的概率密度。第43页，此课件共98页哦3.n个随机变量的独立性个随机变量的独立性 设设 为为n维随机变量维随机变量 的分布函数，的分布函数，的分布函数（一维边缘分布函数），若对任

20、意实数的分布函数（一维边缘分布函数），若对任意实数有有则称则称 是相互独立的。是相互独立的。第44页，此课件共98页哦第五讲第五讲 二维随机变量二维随机变量 函数的分布函数的分布 在第三章中，我们讨论了一维随机变量函数在第三章中，我们讨论了一维随机变量函数Y=g(X)的分布，现在我们进一步讨论二维随机变的分布，现在我们进一步讨论二维随机变量函数量函数Z=g(X,Y)的分布。的分布。具体说，已知具体说，已知(X,Y)的分布，求的分布，求Z=g(X,Y)的分布。的分布。第45页，此课件共98页哦例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求

21、求Z=X+Y的分布列的分布列.解解:=a0br+a1br-1+arb0 由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,.离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布Z=X+Y第46页，此课件共98页哦依题意依题意 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,解：解：第47页，此课件共98页哦由卷积公式由卷积公式即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.r=0,1，第48页，此课件共98页哦例例3 设设X和和Y相互独立，相互独立，

22、XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试验中次独立重复试验中事件事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率都出现的概率都为为p.第49页，此课件共98页哦 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复

23、试验中事次独立重复试验中事件件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现的概率为出现的概率为p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）为参数的二项随）为参数的二项随机变量，即机变量，即Z B(n1+n2,p).第50页，此课件共98页哦下面介绍求下面介绍求Z=g(X,Y)概率密度的通用方法概率密度的通用方法分布函数法：分布函数法：设设(X,Y)是二维随机变量，其概率是二维随机变量，其概率 密度为密度为f(x,y),Z=g(X,Y)。为求。为求Z的的 密度密度 ，设，设Z的分布函数的分布函数 为，则为，则二二.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布第51页，此课件共98页哦

24、例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求Z=X+Y的概的概率密度率密度.解解:Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.二二.连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布Z=X+Y第52页，此课件共98页哦 化成累次积分化成累次积分,得得 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令x=u-y,得得变量代换交换积分次序第53页，此课件共98页哦由概率密度与分布函数的关系由概率密度与分布函数的关系,即得即

25、得Z=X+Y的概的概率密度为率密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式率密度的一般公式.第54页，此课件共98页哦 特别，特别，当当X和和Y独立独立，设，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密的边缘密度分别为度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式.下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度第55页，此课件共98页哦为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例

26、5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式也即也即第56页，此课件共98页哦为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 如图示如图示:也即也即于是于是第57页，此课件共98页哦教材上例教材上例4 请自已看请自已看.注意此例的结论：注意此例的结论：此结论可以推广到此结论可以推广到n个独立随机变量之和的个独立随机变量之和的情形情形,请自行写出结论请自行写出结论.若若X和和Y 独立独立,则则 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布正态分布

27、.更一般地更一般地,可以证明可以证明:第58页，此课件共98页哦例例6.设设r,v X，Y相互独立，相互独立，X在在0，1上服从均上服从均 匀分布，匀分布，Y 服从参数服从参数=1的指数分布，求的指数分布，求 Z=2X+Y 的概率密度。的概率密度。解法解法1：分布函数法分布函数法 由独立由独立 第59页，此课件共98页哦yz=2x+y12当当zz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)第67页，此课件共98页哦 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它它们的分布函数分别为们的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N

28、=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i=0,1，,n)第68页，此课件共98页哦 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同相互独立且具有相同分布函数分布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n第69页，此课件共98页哦 若若X1,Xn是连续型随机变量，在求得是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布的分布函数后，不难求得函数后，不难求得M和和N

29、的密度函数的密度函数.留作课下练习留作课下练习.当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n第70页，此课件共98页哦 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具相互独立且具有相同分布函数有相同分布函数F(x)时时,常称常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值实用价值.第71页，此课件共98页哦

30、 下面我们再举一例，说明当下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型为离散型r.v时，如何求时，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.第72页，此课件共98页哦解一解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 n-1)记记1-p=q例例8 设设随随机机变变量量X1,X2相相互互独独立立,并并且且有有相相同同的的几几何分布何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,(i=1,2)求求Y=max(X1,X2)的分布的分布.n=0,1,2,第73页，此课件共98页哦解二解二:P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)=P(max(X1

31、,X2)n)-P(max(X1,X2)n-1)=P(X1 n,X2n)-P(X1 n-1,X2 n-1)n=1,2,第74页，此课件共98页哦 那么要问，若我们需要求那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分的分布，应如何分析？布，应如何分析？留作课下思考留作课下思考第75页，此课件共98页哦 这一讲，我们介绍了求随机向量函数这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：的分布的原理和方法，需重点掌握的是：请通过练习熟练掌握请通过练习熟练掌握.1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布其函数的概率分布；2、会根据

32、多个独立随机变量的概率分布求其函数、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布的概率分布第76页，此课件共98页哦 在第二章中，我们介绍了条件概率的概念在第二章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率推广到随机变量推广到随机变量 设有两个设有两个r.v X,Y，在给定在给定Y取某个或某些取某个或某些值的条件下，求值的条件下，求X的概率分布的概率分布.这个分布就是条件分布这个分布就是条件分布.第六讲第六讲 条件分布条件分布第77页，此课件共98页哦 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机例如，考虑某大学的全体学生，从其中随

33、机抽取一个学生，分别以抽取一个学生，分别以X和和Y 表示其体重和身高表示其体重和身高.则则X和和Y都是随机变量，它们都有一定的概率都是随机变量，它们都有一定的概率分布分布.体重体重X身高身高Y体重体重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布第78页，此课件共98页哦 现在若限制现在若限制1.7Y0，则称，则称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布列的条件分布列.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,类似定义在X=xi条件下随机变量Y 的条件分布列.作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.第80页，此课件共98页哦 条件分布列是一种概率分布列，它

34、具有概率条件分布列是一种概率分布列，它具有概率分布列的一切性质分布列的一切性质.正如条件概率是一种概率，正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质具有概率的一切性质.例如：例如：i=1,2,第81页，此课件共98页哦 例例1 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为 p，(0p1)，射击进行到击中目标两次为射击进行到击中目标两次为止止.以以X 表示首次击中目标所进行的射击次数表示首次击中目标所进行的射击次数，以以Y 表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数.试求试求X和和Y的联合分布列及条件分布列的联合分布列及条件分布列.解：解：依题意，依题意，Y=n 表示在第表示

35、在第n次射击时击中目次射击时击中目标标,且在前且在前n-1次射击中有一次击中目标次射击中有一次击中目标.X=m表示首次击中目标时射击了表示首次击中目标时射击了m次次n次射击次射击击中击中2nn-11.m击中击中第82页，此课件共98页哦 n=2,3,;m=1,2,n-1由此得由此得X和和Y的联合分布列为的联合分布列为 不论不论m(mn)是多少，是多少，P(X=m,Y=n)都应等于都应等于n次射击次射击击中击中2nn-11.m击中击中每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为 pP(X=m,Y=n)=？第83页，此课件共98页哦 为求条件分布，先求边缘分布为求条件分布，先求边缘分布.X的边缘分布列

36、是：的边缘分布列是：m=1,2,第84页，此课件共98页哦Y的边缘分布列是：的边缘分布列是：n=2,3,第85页，此课件共98页哦于是可求得：于是可求得：当当n=2,3,时，时，m=1,2,n-1联合分布列边缘分布列第86页，此课件共98页哦n=m+1,m+2,当当m=1,2,时，时，第87页，此课件共98页哦 二、连续型二、连续型r.v的条件分布的条件分布 设设(X,Y)是是二二维维连连续续型型r.v，由由于于对对任任意意 x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所所以以不不能能直直接接用用条条件件概概率率公公式式得得到到条条件件分分布布，下下面面我我们们直直接接给给出条件概率密度的定义

37、出条件概率密度的定义.第88页，此课件共98页哦定义定义2 设设X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度为边缘概率密度为 ，则对一切使，则对一切使 的的x,定义已知定义已知 X=x下，下，Y 的条件的条件密度函数为密度函数为同样，对一切使同样，对一切使 的的 y,定义定义为已知为已知 Y=y下，下，X的条件密度函数的条件密度函数.第89页，此课件共98页哦 我们来解释一下定义的含义：我们来解释一下定义的含义：将上式左边乘以将上式左边乘以 dx,右边乘以右边乘以(dx dy)/dy即即得得以以为例为例第90页，此课件共98页哦换句话说，对很小的换句话说，对很小的dx和

38、和 dy，表示已知表示已知 Y取值于取值于y和和y+dy之间的条件下，之间的条件下，X取值于取值于x和和x+dx之间的条件概率之间的条件概率.第91页，此课件共98页哦例例3 设设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率服从单位圆上的均匀分布，概率密度为密度为求求解：解：X的边缘密度为的边缘密度为 当当|x|1时时,有有第92页，此课件共98页哦即即 当当|x|1时时,有有X作为已知变量这里是y的取值范围X已知下Y 的条件密度第93页，此课件共98页哦 例例4 设设r.vX在区间在区间(0,1)均匀分布，当观察到均匀分布，当观察到X=x(0 x1)时，时，r.vY在区间在区间(x,1)上均匀分布

39、上均匀分布.求求Y 的概率密度的概率密度.解：解：依题意，依题意，X具有概率密度具有概率密度对对于于任任意意给给定定的的值值x(0 x1)，在在X=x的的条条件件下下，Y的条件概率密度为的条件概率密度为第94页，此课件共98页哦X和和Y的联合密度为的联合密度为 于是得于是得Y的概率密度为的概率密度为已知边缘密度、条件密度，求联合密度第95页，此课件共98页哦 我们已经知道，我们已经知道，设设(X,Y)是连续型是连续型r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互独立相互独立.由条件密度的定义：由条件密度的定义：可知，当可知，当X与与Y相互独立时，相互独立时，也可用此条件判别二维连

40、续型也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两的两个分量个分量X与与Y是否相互独立是否相互独立.第96页，此课件共98页哦对离散型对离散型r.v有类似的结论，请同学们有类似的结论，请同学们自行给出自行给出.这一讲，我们介绍了条件分布的概念和计算，这一讲，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布条件分布.请课下通过练习进一步掌握请课下通过练习进一步掌握.第97页，此课件共98页哦第第四四章章内内容容总总框框图图多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量 随机变量函数的分布 多个r.v的独立性、条件分布 离散型 联合分布列 边缘 分布列二维随机变量 连续型 联合概率密度边缘概率密度联合分布与边缘分布的关系两个r.v的独立性、条件分布条件分布列 条件分布列条件概率密度关系联合分布函数边缘分布函数 第98页，此课件共98页哦