随机变量数字特征 数学期望方差与标准差协方差与相关系数矩条件数学期望.pptx

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1、 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.第1页/共40页 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数第2页/共40页4.1 一维随机变量的数字特征引例引例 一位射手的水平用打出的环数来记，其分布一位射手的水平用打出的环

2、数来记，其分布列为：列为：4.1.1 随机变量的数学期望则射手射击则射手射击100次的平均环数近似为：次的平均环数近似为：第3页/共40页打出环数的概率不同，所以不是打出环数的概率不同，所以不是1到到10的算术平均的算术平均.算术平均算术平均:第4页/共40页 若当若当 时，则称时，则称 为随机为随机变量变量X的的数学期望数学期望或或均值均值，记作，记作 ，即有，即有1.离散型随机变量的数学期望设随机变量X的分布列为第5页/共40页 例例 甲、乙两射手的稳定成绩分别为甲、乙两射手的稳定成绩分别为X（甲中环数）（甲中环数）8910概率概率0.30.10.6Y（乙中环数）（乙中环数）8910概率概

3、率0.20.40.4试比较甲、乙两射手谁优谁劣。第6页/共40页 解解 甲的平均环数甲的平均环数因此，从某种角度说，甲比乙射击本领高。乙的平均环数第7页/共40页 例例 X B(n,p)，求求EX。二项分布的数学期望二项分布的数学期望第8页/共40页 做变量替换做变量替换 k-1 i n重独立伯努利试验中成功的平均次数为重独立伯努利试验中成功的平均次数为 np第9页/共40页 例例 若若X服从泊松分布服从泊松分布Pois()，试求，试求EX。解解泊松分布的数学期望第10页/共40页几何分布的期望几何分布的期望证明：证明：例4 第11页/共40页例例5 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金设想这样

4、一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在元压注在1到到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现出现i次（次（i=1，2，3），则下注者赢），则下注者赢i元，否则没收元，否则没收1元元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否有利本金，试问这样的游戏规则对下注者是否有利?解：用用随随机机变变量量X表表示示下下注注者者1元元注注金金带带来来的的赢赢利利，其其可可能能取取值值是是1，1，2，3。显显然然可可以以用用考考察察EXX是是否否等等于于零零来来评评价价这这一一游游戏戏规规则则对对下下注注者者是否有利。是否有利。第12页/共40页X X的分布列为的分布列

5、为即即第13页/共40页由由于于平平均均赢赢利利小小于于0，故故这这一一游游戏戏规规则则对对下下注注者是不利的。者是不利的。第14页/共40页例例 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每做法是每1010个人一组，把这个人一组，把这1010个人的血液样本混合起个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则来进行化验。如果结果为阴性，则1010个人只需化验个人只需化验1 1次；若结果为阳性，则需对次；若结果为阳性，则需对1010个人在逐个化验，总计个人在逐个化验，总计化验化验1111次。假定人群中这种病的患病率是次。假定人群中这种病的患病率

6、是10%10%，且每，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的设随机抽取的10人组所需的化验次数为人组所需的化验次数为X我们需要计算我们需要计算X的数学期望，然后与的数学期望，然后与10比较比较第15页/共40页 化验次数化验次数X的可能取值为的可能取值为 1，11先求出化验次数先求出化验次数X的分布律的分布律。(X=1)=“10人都是阴性人都是阴性”（X=11)=“至少至少1人阳性人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于

7、逐一化验法的次数分组化验法的次数少于逐一化验法的次数第16页/共40页离散型随机变量函数的数学期望g(X)的数学期望为第17页/共40页 例例6 设设X的分布律为的分布律为X1013概率概率 求求EX+2 及及EX2。解：解：第18页/共40页019 P第19页/共40页二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则X落在小区间(xi,xi+1的概率是第20页/共40页 由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间(xi,xi+1中的值可中的值可以用以用 xi 来近似代替来近似代替.当划分的

8、区间无穷小，上式就变为当划分的区间无穷小，上式就变为近似近似,该离散型随机变量的数学期望该离散型随机变量的数学期望是是因此X与以概率取值xi的离散型随机变量 第21页/共40页定义 若连续型随机变量X有概率密度函数 f(x)，并且积分 收敛，则称积分 为X的数学期望（或均值），记为EX，即第22页/共40页 例例7 设设X服从均匀分布，其分布密度为服从均匀分布，其分布密度为解解:求EX。均匀分布的期望为区间a,b的中点。第23页/共40页例8解：解：正态分布的期望第24页/共40页正态分布的均值为参数正态分布的均值为参数 ，也是，也是f(x)的对称轴。的对称轴。第25页/共40页例例9解：解：

9、指数分布的期望第26页/共40页 设设X服从柯西分布，分布密度服从柯西分布，分布密度 证明证明X不存在数学期望不存在数学期望。证证:故故EX不存在不存在。例10第27页/共40页连续型随机变量函数的数学期望 当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.第28页/共40页 例例11解解:第29页/共40页二维随机向量函数的数学期望二维随机向量函数的数学期望(1)设二维设二维离散型离散型随机向量随机向量(X,Y)X,Y)有概率分布有概率分布第30页/共40页(2)设二维设二维连续型连续型随机向量随机向量(X,Y)X,Y)的密度函数

10、为的密度函数为f(x,y),f(x,y),而而g g 为定义在二维平面上的实值函数，如为定义在二维平面上的实值函数，如果果 绝对收敛，则绝对收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，且有的数学期望存在，且有 第31页/共40页特别有特别有随机向量的每个分量的期望都可由其联合分布计算得到随机向量的每个分量的期望都可由其联合分布计算得到.第32页/共40页例解：第33页/共40页第34页/共40页数学期望的性质数学期望的性质(1)常数c的数学期望等于这个常数，即Ecc。证证 随机变量随机变量X服从单点分布，服从单点分布，P(Xc)=1，所以，所以，EXc1c(2)设c是常数，若EX存在，则EcX也存在，并且有EcX=cEX。第35页/共40页(3)特别地特别地(5)(4)如果如果X，Y相互独立，则相互独立，则第36页/共40页 注：这些性质可以推广到多个随机变量上注：这些性质可以推广到多个随机变量上。第37页/共40页 例例12 在在n次重复独立试验中，每次成功的概率为次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设。设Xi 表示第表示第i次试验成功的次数，则次试验成功的次数，则Xi有分布律有分布律Xi01概率概率1pp第38页/共40页此外，我们可以推导出 YB(n,p)则则第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页