差分方程基础知识精选PPT.ppt
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1、差分方程基础知识第1页,此课件共27页哦一、差分一、差分二、差分方程的概念二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程三、一阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程第2页,此课件共27页哦一、差分一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的有些变量不是连续取值的.例如例如,经济变量收入、储蓄等都是经济变量收入、储蓄等都是时间序列时间序列,自变量自变量 t 取值为取值为0,1,2,数学上把这种变量称为数学上把这种变量称为离散型变量离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化
2、速度通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.定义定义1 设函数设函数 y=f(x),记为记为 yx,则差则差 yx+1 yx称为函数称为函数 yx 的一阶差分的一阶差分,记为记为 yx,即即 yx=yx+1 yx.第3页,此课件共27页哦 (yx)=yx+1 yx=(yx+2 yx+1)(yx+1 yx)=yx+2 2 yx+1+yx为二阶差分为二阶差分,记为记为 2 yx,即即 3yx=(2yx),同样可定义三阶差分同样可定义三阶差分 3yx,四阶差分四阶差分 4yx,即即 4yx=(3yx).2 yx=(yx)=yx+2 2 yx+1+yx第4页,此课件共27页哦 例例1 求求(x3),
3、2(x3),3(x3),4(x3).解解 (x3)=(x+1)3 x3=3x2+3x+1,2(x3)=(3x2+3x+1)=3(x+1)2+3(x+1)+1 (3x2+3x+1)=6x+6,3(x3)=(6x+6)=6(x+1)+6 (6x+6)=6,4(x3)=(6)6=0.第5页,此课件共27页哦二、差分方程的概念二、差分方程的概念 定义定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分称为差分方程方程.差分方程的一般形式为差分方程的一般形式为 F(x,yx,yx,n yx)=0.(1)差分方程中可以不含自变量差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数和未
4、知函数 yx,但必须含有差分但必须含有差分.式式(1)中中,当当 n=1时时,称为一阶差分方程;当称为一阶差分方程;当n=2时时,称为称为二阶差分方程二阶差分方程.第6页,此课件共27页哦 例例2 将差分方程将差分方程 2yx+2 yx=0表示成不含差分的形式表示成不含差分的形式.解解 yx=yx+1 yx,2yx=yx+2 2yx+1+yx,代入得代入得 yx+2 yx=0.由此可以看出由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程标函数的方程.第7页,此课件共27页哦 定义定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程含有未知函数几个时期值的符号
5、的方程,称为差分称为差分方程方程.其一般形式为其一般形式为G(x,yx,yx+1,yx+n)=0.(2)定义定义3中要求中要求yx,yx+1,yx+n不少于两个不少于两个.例如例如,yx+2+yx+1 =0为差分方程为差分方程,yx =x不是差分方程不是差分方程.差分方程式差分方程式(2)中中,未知函数下标的最大差数为未知函数下标的最大差数为 n,则称差分则称差分方程为方程为n 阶差分方程阶差分方程.第8页,此课件共27页哦 定义定义4 如果一个函数代入差分后如果一个函数代入差分后,方程两边恒等方程两边恒等,则称则称此函数为该差分方程的解此函数为该差分方程的解.例例3 验证函数验证函数 yx=
6、2x+1是差分方程是差分方程 yx+1 yx=2的解的解.解解 yx+1=2(x+1)+1=2x+3,yx+1 yx =2x+3 (2x+1)=2,所以所以yx=2x+1是差分方程是差分方程 yx+1 yx=2的解的解.定义定义5 差分方程的解中含有任意常数差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个且任意常数的个数与差分方程的阶数相等数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通这样的解称为差分方程的通解解.第9页,此课件共27页哦三、一阶常系数线性差分三、一阶常系数线性差分方程方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yx+1 ayx=f(x).(3)其中
7、其中 a 为不等于零的常数为不等于零的常数.称为齐次差分方程称为齐次差分方程;当当 f(x)0时时,称为非齐次差分方程称为非齐次差分方程.当当 f(x)=0 时时,即即 yx+1 ayx=0 (4)第10页,此课件共27页哦先求齐次差分方程先求齐次差分方程 yx+1 ayx=0的解的解设设 y0 已知已知,代入方程可知代入方程可知 y1=ay0,y2=a2y0,yx=axy0,令令y0=C,则得齐次差分方程的通解为则得齐次差分方程的通解为 yx=Cax.(5)第11页,此课件共27页哦 例例4 求差分方程求差分方程 yx+1+2yx=0的通的通解解.解解 这里这里 a=2,由公式由公式(5)得
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