第五章 5.1 孤立奇点及其分类.ppt

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1、第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.2 留数留数5.1 孤立奇点孤立奇点5.3 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用 15.1 孤立奇点孤立奇点一、一、孤立奇点孤立奇点 三、三、函数零点与极点的关系函数零点与极点的关系 四四、函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 二、二、孤立奇点的分类孤立奇点的分类 2一一、孤立奇点孤立奇点邻域邻域 内解析内解析，则称则称 为为 孤立奇点孤立奇点。使得使得 在在去心去心 且存在且存在 定义定义 设设 为为 的的奇点奇点，例例 为孤立奇点。为孤立奇点。P102定义定义 5.1 例例 (1)令令 为孤立奇点；为孤立奇点；(2)也是奇点，也是奇

2、点，但不是孤立奇点。但不是孤立奇点。3二二、孤立奇点的分类孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 将将 在在 内内 分类分类 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：(1)若若 有有 则称则称 为为 的的可去奇点可去奇点。(即不含负幂次项即不含负幂次项 )P103 是是例如例如的可去奇点。的可去奇点。4二二、孤立奇点的分类孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 将将 在在 内内 定义定义 设设 为为 的孤立奇点，

3、的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：(1)若若 有有 则称则称 为为 的的可去奇点可去奇点。(即不含负幂次项即不含负幂次项 )P103 是是结论结论的的可去奇点可去奇点如果如果存在且有限存在且有限。P103 定理定理5.1 5一一、孤立奇点及其分类孤立奇点及其分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：若级数若级数含有限个负幂次项含有限个负幂次项 ，即形如即形如 特别地，当特别地，当 时，称时，称 为为 的的简单极点简单极点。(

4、2)则称则称 为为 的的 阶极点阶极点；即形如即形如 是是例如例如的简单极点。的简单极点。6一一、孤立奇点及其分类孤立奇点及其分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：若级数若级数含有限个负幂次项含有限个负幂次项 ，即形如即形如 特别地，当特别地，当 时，称时，称 为为 的的简单极点简单极点。(2)则称则称 为为 的的 阶极点阶极点；即形如即形如 是是结论结论的的极点极点如果如果P105 定理定理5.2 (该条件只能判断是极点该条件只

5、能判断是极点)7一一、孤立奇点及其分类孤立奇点及其分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：含无限个负幂次项含无限个负幂次项，(3)若级数若级数 则称则称 为为 的的本性奇点本性奇点。是是例如例如的本性奇点。的本性奇点。即形如即形如 8一一、孤立奇点及其分类孤立奇点及其分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇

6、点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：含无限个负幂次项含无限个负幂次项，(3)若级数若级数 则称则称 为为 的的本性奇点本性奇点。即形如即形如 是是结论结论的的本性奇点本性奇点如果如果不存在且不为不存在且不为P105 定理定理5.3 9一一、孤立奇点及分类孤立奇点及分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：小结小结 (1)可去奇点可去奇点 不含负幂次项；不含负幂次项；(2)阶极点阶极点 含有限个负幂次项含有限个负幂次项,且最高负幂次为且

7、最高负幂次为 ；(3)本性奇点本性奇点 含有无穷个负幂次项。含有无穷个负幂次项。m10一一、孤立奇点及分类孤立奇点及分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：(1)可去奇点可去奇点 (2)阶极点阶极点 (3)本性奇点本性奇点 从函数的性态来刻画各类奇点的特征：从函数的性态来刻画各类奇点的特征：存在且有限存在且有限。小结小结 不存在且不为不存在且不为(该条件只能判断是极点该条件只能判断是极点)注注 在求在求 时，可使用时，可使用罗比达法

8、则罗比达法则。11(含有限个负幂次项，且最高负幂次为含有限个负幂次项，且最高负幂次为 2)解解 是是 的孤立奇点，的孤立奇点，由由 是是 的极点。的极点。可知，可知，由由 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 可见，可见，为为 的二阶极点。的二阶极点。判断函数判断函数例例的奇点的类型。的奇点的类型。是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？问题问题 12判断极点阶数的一个充要条件判断极点阶数的一个充要条件 其中，其中，在在 点解析，点解析，且且 P105 式式(5.1)是是阶极点的充要条件是阶极点的充要条件是的的解解 是是 的孤立奇点，

9、的孤立奇点，令令 是是 的二阶极点。的二阶极点。可知，可知，判断函数判断函数例例的奇点的类型。的奇点的类型。在全平面上解析，在全平面上解析，且且由于由于13三三、函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系 所谓函数所谓函数 的的零点零点就是方程就是方程 的的根根。定义定义 设函数设函数 在在 处解析，处解析，若若 在在 处解析且处解析且 则称则称 为为 的的 m 阶零点阶零点。P106定义定义 5.2 其中，其中，为正整数，为正整数，例例 故故 为为 的三阶零点。的三阶零点。对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。结论结论 P107 （即在零点的某去心

10、邻域内，函数不为（即在零点的某去心邻域内，函数不为0）14三三、函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系 所谓函数所谓函数 的的零点零点就是方程就是方程 的的根根。定义定义 设函数设函数 在在 处解析，处解析，若若 在在 处解析且处解析且 则称则称 为为 的的 m 阶零点阶零点。P106定义定义 5.2 其中，其中，为正整数，为正整数，定理定理 设函数设函数 在在 处解析，则下列条件是等价的：处解析，则下列条件是等价的：(1)为为 的的 m 阶阶零点零点。(2)充要条件充要条件 (用来判断零点的阶数用来判断零点的阶数)P107定理定理 5.4 15是是 的三阶零点。的三阶零点。是是 的三阶

11、零点。的三阶零点。方法一方法一 方法二方法二 例例16三三、函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系定理定理 P107定理定理 5.5 阶极点阶极点是是的的阶零点阶零点是是的的（为（为判断函数极点级数判断函数极点级数提供了一个较为简便的方法）提供了一个较为简便的方法）判断函数判断函数 的奇点的类型。的奇点的类型。例例 解解 由于由于 是是 的的三阶零点三阶零点，故故 是是 的的三阶极点三阶极点。是是 的孤立奇点，的孤立奇点，显然显然由由 ,=知知 是是 的极点。的极点。17将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 因此，因此，为为 的二阶极点。的二阶极点。判断函数判

12、断函数例例的奇点的类型的奇点的类型解解 是是 的孤立奇点，的孤立奇点，显然显然由由 ,=知知 是是 的极点。的极点。18四四、函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态定义定义 P108定义定义 5.3 的去心邻域的去心邻域若函数若函数在无穷远点在无穷远点的孤立奇点的孤立奇点内解析，内解析，为为则称点则称点把扩充把扩充作变换作变换映射成映射成 是是 的孤立奇点的孤立奇点 平面上平面上则则的去心邻域的去心邻域扩充扩充平面上平面上的去心邻域的去心邻域若记若记的孤立奇点的孤立奇点为为19四四、函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态定义定义 P108定义定义 5.3 的去心邻域的去心邻域若函数若函数在无穷远点在无穷远点的孤立奇点的孤立奇点内解析，内解析，为为则称点则称点作变换作变换等价于等价于结论结论的奇点类型的奇点类型在在的奇点类型的奇点类型在在例例的唯一孤立奇点：的唯一孤立奇点：为为3阶极点。阶极点。20判断函数判断函数练习练习的奇点的类型的奇点的类型解解 的奇点有的奇点有 其中其中由由 (2)(包括无穷远点包括无穷远点)(1)为本性奇点为本性奇点不是孤立奇点。不是孤立奇点。若记若记的可去奇点。的可去奇点。为为因为在因为在0的任一去心邻域总有的任一去心邻域总有的奇点存在。的奇点存在。21