第五章1 孤立奇点.ppt

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1、第五章第五章 留留 数及其应用数及其应用一一.奇点的分类奇点的分类二二.留数的定义留数的定义,计算，留数定理计算，留数定理三三.利用留数定理计算定积分利用留数定理计算定积分（计算复变函数积分的重要工具）（计算复变函数积分的重要工具）5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点1.1.孤立奇点的定义孤立奇点的定义定义定义：注：注：(1)不是所有的奇点都是孤立奇点；不是所有的奇点都是孤立奇点；（2 2）孤立奇点的简单判定方法：）孤立奇点的简单判定方法：本章本章所讨论的所讨论的函数的奇点基本都是函数的孤立奇点函数的奇点基本都是函数的孤立奇点。2.孤立奇点的类型：孤立奇点的类型：解析部分解析部分主要部分主要部分

2、根据根据主要部分中主要部分中 负幂项的多少负幂项的多少，对孤立奇点分类：对孤立奇点分类：可去奇点：可去奇点：极点：极点：本性奇点：本性奇点：孤孤立立奇奇点点不包含负幂项不包含负幂项有限多个负幂项有限多个负幂项无穷多个负幂项无穷多个负幂项(1)(1)可去奇点可去奇点例：例：孤立奇点，孤立奇点，可去奇点。可去奇点。若，令若，令“原来的奇点原来的奇点”就可就可“消除掉消除掉”，变为，变为“解析解析点点”。f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.结论结论 则则例：例：孤立奇点，孤立奇点，极点极点在在“极点极点”处恰好取到处恰好取到“极值极值”结论结论的充要条件是的充要条件是 级极点

3、级极点.即即结论结论则则的充要条件是的充要条件是的形式，其中，的形式，其中，(3)(3)本性奇点本性奇点结论：结论：的充要条件是的充要条件是没有负幂项没有负幂项可去奇点可去奇点有限多负幂项有限多负幂项极点极点无限多负幂项无限多负幂项本性奇点本性奇点可去奇点可去奇点极点极点本性奇点本性奇点有限值有限值无穷大无穷大不存在，且不是无穷大不存在，且不是无穷大（洛必达法则）（洛必达法则）例例 判定下列函数的判定下列函数的孤立奇点的类型孤立奇点的类型。（洛必达法则）（洛必达法则）不存在不存在有无限多负幂项，所以有无限多负幂项，所以问题问题：极点的级数极点的级数 是多少？是多少？3.3.函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系定义定义注：注：问题问题：例例:一一三三结论结论则则的充要条件是的充要条件是解：解：二二定理定理函数的零点与极点之间的关系函数的零点与极点之间的关系:这个定理为这个定理为判断函数的判断函数的 级极点级极点提供了一个简单的方法提供了一个简单的方法.例子例子:二二级级极点极点二二级级零点零点问题问题:对于一般的函数是否有类似的结论对于一般的函数是否有类似的结论?（1 1）定义）定义（3 3）根据零点与极点间的关系）根据零点与极点间的关系.解解: