随机过程基本概念PPT课件.ppt

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1、关于随机过程的基本概念第一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月一、直观背景及例一、直观背景及例 第一节第一节 随机过程的基本概念随机过程的基本概念例例1 生物群体的增长问题。生物群体的增长问题。在描述群体的发展或演变过程中，以在描述群体的发展或演变过程中，以群体的个数，则对每一个群体的个数，则对每一个t，从从t=0开始每隔开始每隔24小时对群体的次数观测一次，则小时对群体的次数观测一次，则表示在时刻表示在时刻t t是一个随机变量是一个随机变量.是随机过程。是随机过程。假设我们假设我们第二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例2 某电话交换台在时间段某电话交换台在时间段0,t内接到

2、的呼唤次数是内接到的呼唤次数是 与与t有关的随机变量有关的随机变量X(t),对于固定的对于固定的t,X(t)是一个是一个 取非负整数的随机变量。故取非负整数的随机变量。故X(t),t 0,是随是随 机过程。机过程。第三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 由上例可见随机过程表示依赖于一个变动参量的一族由上例可见随机过程表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。为此，我们给出随机过程的一般定义。有规律的。为此，我们给出随机过程的一般定义。第四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月二、随机过程

3、的定义二、随机过程的定义随机过程随机过程说明说明1参数集参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数，在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。但有时也用其它物理量作为参数集。随机过程是概率空间随机过程是概率空间(,F F,P)上的一上的一族随机变量族随机变量 ，其中，其中T称为指称为指标集或标集或参数集参数集.说明说明2通常将随机过程通常将随机过程 解释为一个物解释为一个物理、自然和社会的系统，理、自然和社会的系统，表示系统在时表示系统在时刻刻t所处的状态。所处的状态。第五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月的所有可能状态构成的集合为状态空间，记为的所有可能状态构成

4、的集合为状态空间，记为S.一般地，如果不做说明都认为状态空间是实数集一般地，如果不做说明都认为状态空间是实数集R或或R的子集。的子集。状态分类离散状态离散状态连续状态连续状态取值是离散的取值是离散的取值是连续的取值是连续的第六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月说明说明3第七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月说明说明4当当T取为取为R，或或a,b时，称时，称 为连续参数的随机过程。为连续参数的随机过程。当当T取为取为Z，时，称时，称 为离散参为离散参数的随机过程。数的随机过程。参数集参数集T通常代表时间，通常代表时间，T可取实数集可取实数集R,非负非负实数集实数集 ，整数集，整数

5、集Z，或非负整数集，或非负整数集 等等第八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 参数集参数集T是一个可列集是一个可列集 T=0,1,2,离散参数离散参数连续参数连续参数参数分类参数集参数集T是一个不可列集是一个不可列集第九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例1（随机游动）一个醉汉在路上行走，以（随机游动）一个醉汉在路上行走，以 概率概率p前进一步，以概率前进一步，以概率1-p后退一步（假定后退一步（假定其步长相同）。以其步长相同）。以X(t)记他记他t时刻在路上的位时刻在路上的位置置,则则X(t)就是直线上的随机游动就是直线上的随机游动第十张，PPT共五十一页，创作于2022年

6、6月例例2 （布朗运动）英国植物学家布朗注意到漂浮在液（布朗运动）英国植物学家布朗注意到漂浮在液 面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种 运动后来称为布朗运动。它是分子大量随机碰运动后来称为布朗运动。它是分子大量随机碰 撞的结果。若以（撞的结果。若以（X(t),Y(t)）表示粒子在平面坐）表示粒子在平面坐 标上的位置，则它是平面上的布朗运动。标上的位置，则它是平面上的布朗运动。第十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例3 （排队模型）顾客来到服务台要求服务。当（排队模型）顾客来到服务台要求服务。当服务站中的服务员都忙碌，即服务员都在为别的服务

7、站中的服务员都忙碌，即服务员都在为别的顾客服务时，来到的顾客就要排队等候。顾客的顾客服务时，来到的顾客就要排队等候。顾客的到来、每个顾客所需的服务时间是随机的，所以到来、每个顾客所需的服务时间是随机的，所以如果如果X(t)表示表示t时刻的队长时刻的队长,Y(t)表示表示t时刻到来的顾时刻到来的顾客所需的等待时间，则客所需的等待时间，则X(t),tTY(t),tT都是都是随机过程。随机过程。第十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月一、随机过程的分布函数一、随机过程的分布函数一维一维分布分布函数函数其分布函数为其分布函数为 第二节第二节 有限维分布与有限维分布与Kolmogorov定理定理

8、第十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月二维二维分布分布函数函数联合分布函数联合分布函数第十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 n维分维分布函布函数数联合分布函数联合分布函数第十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月有限维分布族有限维分布族一维，二维，一维，二维，n维分布维分布等等的全体：的全体：易知易知第十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月一个随机过程的有限维分布族具有一个随机过程的有限维分布族具有对称性对称性和和相容性相容性.(1)对称性对称性(2)相容性相容性第十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月Kolmogorov定理定理前苏联数学家前苏联数

9、学家19311931年证明了此定理年证明了此定理 说明随机过程的有限分布函数族可以完整描述随机过程的说明随机过程的有限分布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性统计规律性.设分布函数族设分布函数族满足上面的对称性和相容性，则必存在一个随机过程满足上面的对称性和相容性，则必存在一个随机过程X(t),tT使使恰好是恰好是X(t),tT的有限维分布。的有限维分布。第十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例1 袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量对应随机变

10、量试求这个随机过程的一维分布函数族。试求这个随机过程的一维分布函数族。分析分析先求先求 的概率分布的概率分布第十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月所以所以解解P第二十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月练习练习求一维分布函数求一维分布函数解解:第二十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月第二十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月二、随机过程的数字特征二、随机过程的数字特征 1均值函数均值函数说明说明第二十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月如果对任意的如果对任意的则称随机过程则称随机过程为二阶矩过程为二阶矩过程第二十四张，PPT共五十一页，创作于2022年

11、6月 2方差函数方差函数说明说明第二十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 3协方差函数协方差函数二阶中心混合矩二阶中心混合矩注注第二十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 4自相关函数自相关函数注注 协方差函数和自相关函数反映随机过程在协方差函数和自相关函数反映随机过程在时刻时刻 和和 时的线性相关程度时的线性相关程度.第二十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例2解解求求:(1)均值函数均值函数;(2)协方差函数协方差函数;(3)方差函数。方差函数。（1）（2）（3）第二十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月练习练习解：解：例例 其中其中 是相互是相互独立

12、的且均服从独立的且均服从N(0，1)分布的随机变量分布的随机变量第二十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月1.严平稳过程严平稳过程定义定义1则则 称为严平稳过程称为严平稳过程第三节第三节 随机过程的基本类型随机过程的基本类型一、平稳过程一、平稳过程若对任意的若对任意的和任意的和任意的严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.第三十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月2.宽平稳过程宽平稳过程定义定义2如果它满足：如果它满足：则称则称 为宽平稳过程为宽平稳过程（二阶平稳过程）（二阶平稳过程），简称平稳过程简称平稳过程第三十一张，PPT共五十

13、一页，创作于2022年6月注注2注注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。严平稳过程不一定是宽平稳过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。第三十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月3.平稳过程协方差函数的性质平稳过

14、程协方差函数的性质性质性质3性质性质1性质性质4性质性质2即对任意的即对任意的2n个实数个实数第三十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例1满足满足试讨论随机序列试讨论随机序列 的平稳性。的平稳性。解解因为因为注注在科学和工程中，例在科学和工程中，例1中的过程称为中的过程称为“白噪声白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。，它是实际中最常用的噪声模型。第三十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例2解解的密度函数为的密度函数为所以所以其中其中T=1,2,，试讨论随机序列试讨论随机序列 的平稳性。的平稳性。是在是在0，1上服从均匀分布上服从均匀分布的随机变量，的随机变量，第三十五

15、张，PPT共五十一页，创作于2022年6月练习练习解：解：例例 其中其中 是相是相互独立的且均服从互独立的且均服从N(0，1)分布的随机变量分布的随机变量第三十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月二、独立增量过程二、独立增量过程定义定义随机变量随机变量是相互独立的是相互独立的第三十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例3证证的随机变量序列的随机变量序列,则则令令第三十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月三、平稳增量过程三、平稳增量过程定义定义第三十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月兼有独立增量和平稳增量的过程称为兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过

16、程平稳独立增量过程.四、平稳独立增量过程四、平稳独立增量过程Poisson过程和过程和Brown运动都是平稳独立增量过程运动都是平稳独立增量过程.第四十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 在何种条件下，平稳过程对时间的平均值可以等于过在何种条件下，平稳过程对时间的平均值可以等于过程的均值？程的均值？对于平稳过程重要的是确定它的均值和它的协方差函对于平稳过程重要的是确定它的均值和它的协方差函数数由大数定律知，可以用由大数定律知，可以用第四十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 然而对随机过程作多次观察一般来说比较困难，然而对随机过程作多次观察一般来说比较困难，容易的是作一次观察容

17、易的是作一次观察,获得一条样本路径获得一条样本路径,我们希望由我们希望由这一次观察来估计这一次观察来估计 ,对于一般的随对于一般的随机过程这是不可能的，但对于平稳过程机过程这是不可能的，但对于平稳过程,只要加上一只要加上一些条件，就可以从一次观察中得到些条件，就可以从一次观察中得到 的较好的估计，这就是遍历性定理。的较好的估计，这就是遍历性定理。介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和协方差函数，从而就可以得到该过程的全过程的均值和协方差函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。部信息，即遍历性问题。第四十二张，PPT共五十

18、一页，创作于2022年6月 定义定义1称称 的均值有遍历性的均值有遍历性注注这里的极限是指在均方意义下的极限这里的极限是指在均方意义下的极限.称称 的协方差的协方差函数有遍历性函数有遍历性.第四十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月第四十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月定理（均值遍历性定理）定理（均值遍历性定理）第四十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例1是否具有均值遍历性。是否具有均值遍历性。解解所以所以 是平稳过程。是平稳过程。第四十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月故有故有即此过程是均值遍历的。即此过程是均值遍历的。第四十七张，PPT共五十一页，

19、创作于2022年6月 历第四十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例2研究随机过程研究随机过程的均值遍历性的均值遍历性.其中其中Y为随机变量，且为随机变量，且解解因为因为Y Y为随机变量为随机变量,所以所以由此知由此知 是平稳过程，是平稳过程，由于由于不是常数不是常数故故即即 不是遍历的不是遍历的第四十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 注注遍历性随机过程一定是平稳过程，但平稳过程不一遍历性随机过程一定是平稳过程，但平稳过程不一定具备遍历性。定具备遍历性。推论推论1推论推论2第五十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月感谢大家观看第五十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月