数列求和的基本方法和技巧.pptx

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1、数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面谈谈数列求和的基本方法和技巧.第1页/共69页一.公式法公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 第2页/共69页例1：求和：第3页/共69页错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既anbn型等差等比第5页/共69页2错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.【错位相减法

2、错位相减法】设设 an的前的前n项和为项和为Sn，ann2n，则，则Sn第6页/共69页例4 求数列 前n项的和解：由题可知，解：由题可知，的通项是等差数列的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项与等比数列 的通项之积的通项之积设设 （设制错位）（设制错位）得第7页/共69页2023/3/248已知数列第8页/共69页2023/3/249解解：第一步，写出该数列求和的展开等式第二步，上式左右两边乘以等比数列公比第9页/共69页2023/3/2410第三步，两式进行错位相减得：化简整理得:第10页/共69页 解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积设 （设制错位）得 （

3、错位相减）再利用等比数列的求和公式得：例3 求和：第11页/共69页第15页/共69页第16页/共69页2023/3/24221、2、已知数列求该数列的前n项和。第22页/共69页四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.第23页/共69页 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差n 一个等比2n，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法第24页/共69页 ,+n 11.求

4、数列 +2 3 ,+的前n项和。,2 2 2 ,3 2 n 2 +1 2 3 n 解：=(1+2+3+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+(+)2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 )n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1分组求和法第25页/共69页例5.求下面数列的前n项和 第26页/共69页解（1）：该数列的通项公式为 第27页/共69页n个第29页/共69页例例8 求数列求数列n(n+1)(2n+1)的前的前n项和项和.解：设解：设 将其每一项拆开再重新组合得 Sn（分组）第30页/共69页例6：1-22+32-42+(2n-1)2-(

5、2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和第32页/共69页练习：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=-21第33页/共69页五.相间两项成等差等比综合第34页/共69页第35页/共69页an是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,mN*),则an=_解:n=m=1时，a2=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1

6、=2，且bmbn=bm+n，则bn=_解：n=m=1时，b2=b1b1=4,即b1=2，b2=4，m=1时,由bnbm=bn+m 得bn+1=bn b1=2bn，故bn是首项为b1=2，公比为q=2的等比数列，bn=22n-1=2n 2n 练习第36页/共69页列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）第37页/共69页求数列前n项和方法之一：裂项相消法第38页/共69页1特别是对于 ，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，

7、即利用 (其中dan1an)第39页/共69页常见的拆项公式有：第40页/共69页常见的裂项公式有：第41页/共69页练习：求和裂项法求和提示：第42页/共69页第43页/共69页例9 在数列an中，又求数列bn的前n项的和 解：（裂项）数列bn的前n项和 第44页/共69页第45页/共69页第46页/共69页第47页/共69页七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.第48页/共69页例7：已知数列5，55，555，5555，求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项和公式。练习：求和Sn=

8、1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+(1+2+22+2n-1)通项分析求和通项=2n-1第49页/共69页先求通项再处理通项第50页/共69页第51页/共69页第52页/共69页例14 求之和.解：由于（找通项及特征）第53页/共69页例15 已知数列an：的值.解：（找通项及特征）（设制分组）（裂项）（分组、裂项求和）第54页/共69页综合练习第55页/共69页第56页/共69页第57页/共69页第58页/共69页解：解：(1)证明：由题意得证明：由题意得2bn1bn1，bn112bn22(bn1)又又a12b111，b10，b1110.故数列故数列bn1是以是以1为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列第59页/共69页第60页/共69页第61页/共69页第62页/共69页第63页/共69页第64页/共69页第65页/共69页第66页/共69页3已知二次函数已知二次函数f(x)x25x10，当，当x(n，n1(nN*)时，把时，把f(x)在此区间内的整数值的个数表示为在此区间内的整数值的个数表示为an.(1)求求a1和和a2的值；的值；(2)求求n3时时an的表达式；的表达式；第67页/共69页(2)当n3时，f(x)是增函数，故anf(n1)f(n)2n4.第68页/共69页感谢您的观看！第69页/共69页