数值分析常微分方程初值问题的数值方法.pptx

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1、考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-Value Problem*/:只要 f(x,y)在a,b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x,y 无关的常数 L 使对任意定义在 a,b 上的 y1(x)和 y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。要计算出解函数 y(x)在一系列节点 a=x0 x10,使得第12页/共34页对一切 成立,则该方法收敛,且有 由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶 对改进的Euler法,于是有 设L为f关于y的Lipschitz常数,则由上式可得限定h即可知Q满足Lipschitz条件,故而改进的Euler法收敛.第

2、13页/共34页例：考察初值问题 在区间0,0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解改进欧拉法 欧拉隐式欧拉显式 节点 xi 1.00002.0000 4.00008.0000 1.6000101 3.2000101 1.00002.5000101 6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.05901073.稳定性第14页/

3、共34页定义若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的/*absolutely stable*/。一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*test equation*/常数，可以是复数当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于 绝对稳定，的全体构成绝对稳定区域。我们称算法A 比算法B 稳定，就是指 A 的绝对稳定区域比 B 的大。hl h=h第15页/共34页例：考察显式欧拉法由此可见，要保证初始误差0 以后逐步衰减，必须满足：0-1-2ReImg例：考察隐式欧拉法可见绝对稳定区域为：21

4、0ReImg注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。第16页/共34页第二节 高精度的单步法在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法一、Runge-Kutta法的基本思想（1）第17页/共34页第18页/共34页Runge-Kutta法的基本思想（2）第19页/共34页第20页/共34页Runge-Kutta法的基本思想（3）第21页/共34页二、二阶龙格库塔方法第22页/共34页第23页/共34页第24页/共34页第25页/共34页三、三阶龙格库塔方法第26页/共34页四、四阶龙格库塔方法第27页/共34页第28页/共34页第29页/共34页两点说明:第30页/共34页五、变步长的龙格库塔方法第31页/共34页R-K方法的绝对稳定区域方法的绝对稳定区域第32页/共34页第33页/共34页感谢您的观看。第34页/共34页