数学 回归分析的基本思想及其初步应用 人教A选修.pptx

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1、 比比数学数学3中中“回归回归”增加的内容增加的内容数学数学统计统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修2-3统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因7.了解残差图的作用了解残差图的作用8.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型和模型拟合的效果之间的关系拟合的效果之间的关系9.利用线性回归模型解决一利用线性回归模型解决一类非线性回归问题类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分

2、析方法与结果第1页/共31页回归分析的内容：回归分析的内容：数学3中，已对具有相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用的方法，也就是通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。第2页/共31页最小二乘法：最小二乘法：称为样本点的中心称为样本点的中心。回归直线过样回归直线过样本点中心本点中心第3页/共31页例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165 165

3、 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为，体重为因变量因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。回归方程刻画它们之间的关系。分析：由于问题中要求根据

4、身高预报体重，因此分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量选取身高为自变量，体重为因变量第4页/共31页2.2.回归方程：回归方程：1.散点图；散点图；第5页/共31页探究：探究：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测

5、值，只能给出她们平均体重的值。第6页/共31页例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一她的体重的回归方程，并预报一名身高为名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重，体重为因变量为因变量y，作散点图：

6、，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。描述它们关系。第7页/共31页函数模型与回归模型之间的差别函数模型：线性回归模型：当随机误差恒等于当随机误差恒等于0时，时，线性回归模型就变为函数模型线性回归模型就变为函数模型第8页/共31页函数模型与回归

7、模型之间的差别函数模型：回归模型：线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因变量，因变量y的值由自变量的值由自变量x和和随机误差项随机误差项e共同确定，即共同确定，即自变量自变量x只能解析部分只能解析部分y的变化的变化。在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量称为解析变量，因变量y称为预报变量。称为预报变量。第9页/共31页我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+e，(3)其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,

8、D(e)=(4)在线性回归模型在线性回归模型(4)中，随机误差中，随机误差e的方差的方差 越小，通过越小，通过回归直线回归直线 (5)预报真实值预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。另一方面，由于公式另一方面，由于公式(1)和和(2)中中 和和 为截距和斜率的估计值，为截距和斜率的估计值，它们与真实值它们与真实值a和和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值与真实值y之间误差的另一个原因。之间误差

9、的另一个原因。第10页/共31页思考思考:产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；2、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；3、身高、身高 y 的观测误差。的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。效果越好。第11页/共31页探究探究:e 是 用预报真实值Y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么怎样研究随机误差呢？回归模型：其估计值为

10、其估计值为而言，它们的随机误差而言，它们的随机误差对于样本点对于样本点第12页/共31页表表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，数据中是否存在可

11、疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图。第13页/共31页残差图的制作及作用。残差图的制

12、作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状

13、区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。第14页/共31页显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表示解析变量和预报变量的，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回

14、归分析，则可以通过比较R2的值的值来做出选择，即选取来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是第15页/共31页1354总计0.36128.361残差变量0.64225.639随机误差比例平方和来源表表1-3 从表从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即，即R2 0.64，可以叙述为，可以叙述为“身高解析了身

15、高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是第16页/共31页用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会

16、影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。小结小结第17页/共31页一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好

17、的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，

18、则检查数据是否有误，或差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。模型是否合适等。第18页/共31页什么是回归分析？什么是回归分析？（内容）（内容）1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度第19页/共31页回归分析与相关分析的区别回归分析与相关分析的区别1.相相关关分分析析中中，变变量量 x x 变变量量 y y 处处于于平平等等的的

19、地地位位；回回归归分分析析中中，变变量量 y y 称称为为因因变变量量，处处在在被被解解释释的的地地位位，x x 称称为为自自变变量量，用用于于预预测测因因变变量量的的变变化化2.相相关关分分析析中中所所涉涉及及的的变变量量 x x 和和 y y 都都是是随随机机变变量量；回回归归分分析析中中，因因变变量量 y y 是是随随机机变变量量，自自变变量量 x x 可可以以是是随随机机变变量量，也也可可以以是是非非随随机机的的确确定变量定变量3.相相关关分分析析主主要要是是描描述述两两个个变变量量之之间间线线性性关关系系的的密密切切程程度度；回回归归分分析析不不仅仅可可以以揭揭示示变变量量 x x

20、对对变变量量 y y 的的影影响响大大小小，还还可可以以由由回回归归方方程程进进行行预预测和控制测和控制 第20页/共31页相关系数相关系数 1.1.计算公式计算公式2 2相关系数的性质相关系数的性质(1)|r|1(1)|r|1(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相关程度越大；，相关程度越大；|r|r|越接近于越接近于0 0，相关程度越小，相关程度越小问题：达到怎样程度，问题：达到怎样程度，x x、y y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？第21页/共31页负相关负相关正相关正相关第22页/共31页相关系数相关系数正相关；负相关通常，正相关；负相关通

21、常，r r-1,-0.75-0.75-负相关很强负相关很强;r0.75,1正相关很强正相关很强;r-0.75,-0.3-负相关一般负相关一般;r0.3,0.75正相关一般正相关一般;r r-0.25,0.25-0.25-相关性较弱相关性较弱;第23页/共31页例例2：一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y与温度与温度x有关有关,现收集现收集了了7组观测数据组观测数据,试建立试建立y与与x之间的回归方程之间的回归方程 解解:1):1)作散点图作散点图;从从散散点点图图中中可可以以看看出出产产卵卵数数和和温温度度之之间间的的关关系系并并不不能能用用线线性性回回归归模模型型来来很很好好地地近近似似。

22、这这些些散散点点更更像像是是集集中中在在一一条指数曲线或二次曲线的附近。条指数曲线或二次曲线的附近。第24页/共31页解解:令令 则则z=bx+a,(a=lncz=bx+a,(a=lnc1 1,b=c,b=c2 2),),列出变换后数据表并画列出变换后数据表并画 出出x x与与z z 的散点图的散点图 x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合x x2121232325252727292932323535z z1.9461.9462.3982.3983.0453.0453.1783.1784.194.194.7454.7455.7845.784第25页/共31页2)2)用用 y=cy=c3 3x

23、 x2 2+c+c4 4 模型模型,令令 ,则则y=cy=c3 3t+ct+c4 4,列出变换列出变换后数据表并画出后数据表并画出t t与与y y 的散点图的散点图 散点并不集中在一条直线的附近，因此用线散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。性回归模型拟合他们的效果不是最好的。t t44144152952962562572972984184110241024 12251225y y7 71111212124246666115115325325第26页/共31页残残差差表表编编号号1 12 23 34 45 56 67 7x x2121232325252727

24、292932323535y y7 71111212124246666115115325325e(1e(1)0.50.52 2-0.1670.1671.761.76-9.149-9.1498.8898.889-14.153-14.15332.92832.928e(2e(2)47.47.7 719.3919.397 7-5.835-5.835-41.003-41.003-40.107-40.107-58.268-58.26877.96577.965非线性回归方程非线性回归方程二次回归方程二次回归方程残差公式残差公式第27页/共31页 在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：需要注意的问题：对于同样的数据，有不同的统对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方法分析数计方法进行分析，我们要用最有效的方法分析数据。据。现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。第28页/共31页对于给定的样本点对于给定的样本点，含有两个未知参数模型含有两个未知参数模型（）（）第29页/共31页第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页