数学建模竞赛微分方程模型.pptx

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1、动态动态模型模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程第1页/共65页背景背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.

2、0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长一、人口增长模型人口增长模型第2页/共65页指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式x(t)时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数今年人口 x0,年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长第3页/共65页指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数

3、据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)第4页/共65页第5页/共65页阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第6页/共65页dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线,x增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)第7页/共65页参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参

4、数 r 或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1第8页/共65页模型检验模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在

5、经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0第9页/共65页Leslie模型与人口发展模型中国人口增长预测论文1中国人口增长预测论文2第10页/共65页人口预测和控制人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程第11页/共65页人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程第12页/共65页人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）0tr第13页/共65页生育率的分解 总和生育率总和生育率h生育模式

6、生育模式0第14页/共65页人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密 正反馈系统 滞后作用很大第15页/共65页人口指数人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按 (r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制 N(t)不过大控制 (t)不过高第16页/共65页二、二、随机人口模型随机人口模型背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区平均生育率平均死亡率确定性模型一个家族或村落出生概率死亡概率随机性模型对象对象X(t)时刻 t 的人口,随机变量.

7、Pn(t)概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差第17页/共65页若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与 t成正比，记bn t;出生二人及二人以上的概率为o(t).2)死亡一人的概率与 t成正比，记dn t;死亡二人及二人以上的概率为o(t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。bn与n成正比，记bn=n,出生概率；dn与n成正比，记dn=n，死亡概率。进一步假设模型假设模型假设第18页/共65页建模建模为得到Pn(t)P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+

8、t)=n的分解X(t)=n-1,t内出生一人X(t)=n+1,t内死亡一人X(t)=n,t内没有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1 t Pn+1(t),dn+1 t Pn(t),1-bn t-dn t o(t)第19页/共65页一组递推微分方程求解的困难和不必要(t=0时已知人口为n0)转而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n微分方程建模建模第20页/共65页X(t)的期望求解求解基本方程n-1=kn+1=k第21页/共65页求解求解比较：确定性指数增长模型X(t)的方差E(t)-(t)-=r D(t)E(t)+(t)Et0n0,

9、D(t)X(t)大致在 E(t)2(t)范围内（(t)均方差）r 增长概率r 平均增长率第22页/共65页三、经济增长模型第23页/共65页第24页/共65页第25页/共65页第26页/共65页第27页/共65页第28页/共65页第29页/共65页第30页/共65页四、传染病模型四、传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型第31页/共65页 已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为 模型模型1 1假设假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须

10、区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模建模?第32页/共65页模型模型2 2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设假设1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模建模 日接触率SI 模型模型第33页/共65页模型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻 (日接触率)tm Logistic 模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大第34页/共65页模型模型3传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为 日治愈率建模建模 日接触率1/感染期 一个感

11、染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。第35页/共65页模型模型3i0i0接触数 =1 阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至 0P2:s01/i(t)单调降至0第40页/共65页模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率)卫生水平 (日治愈率)医疗水平 传染病不蔓延的条件s01/的估计 降低 s0提高 r0 提高阈值 1/降低 (=/),群体免疫第41页/共65页模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计记被传染人数比例x 0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度ERE*令=0第51页/共65页相轨线分析方法第52页/共65页第53页/共65页第54页/共65页第55页/共65页第56页/共65页第57页/共65页第58页/共65页第59页/共65页第60页/共65页第61页/共65页第62页/共65页第63页/共65页第64页/共65页感谢您的观看。第65页/共65页