赵树嫄微积分中值定理与导数应用.pptx

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1、1第一节第一节 微分中值定理微分中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。第1页/共150页2(0)(0)预备定理预备定理费马费马(Fermat)定理定理几何解释：曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。第2页/共150页3证明:由极限的保号性，第3页/共150页4第4页/共150页5(一一)罗尔罗尔(Rolle)定理定理xO yCx byf(x)AB几何解释：如果连续光滑的曲线y f(x)在端点A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x)，曲线在C点的切线是水平的。a第5

2、页/共150页6证由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。第6页/共150页7注意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。第7页/共150页8例1验证第8页/共150页9例2解第9页/共150页10例3解第10页/共150页11例4证结论得证.第11页/共150页12证例5由罗尔定理，第12页/共150页13证例6第13页/共150页14第14页/共150页如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则

3、至少存在一点x(a,b)内，使得几何意义：(二二)拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理C2h xO yABaby=f(x)C1x 第15页/共150页16证明作辅助函数F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，由罗尔定理，第16页/共150页17例7第17页/共150页18解练习 下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理定理的条件？如果满足，求出定理中的。满足拉格朗日中值定理的条件；第18页/共150页19拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：第19页/共150页20推论1证明第20页/共150页21推论2证明即得结论。第21页/共

4、150页22例8证由推论1知,第22页/共150页23利用拉格朗日定理证明不等式利用拉格朗日定理证明不等式例9证第23页/共150页24练习证由上式得第24页/共150页25例10证类似可证：推论第25页/共150页26(三三)柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理设函数f (x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a,b)内，使得2、如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：第26页/共150页27xO yAB f(b)f(a)g(a)g(b)C1g(x)C

5、2g(h)柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为第27页/共150页28证明易知F(x)在a,b上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点x(a,b)，使作辅助函数第28页/共150页29例11证验证了柯西中值定理的正确性.第29页/共150页30例12证第30页/共150页31例12证第31页/共150页32练习：证右端改为令第32页/共150页33令代入上式得第33页/共150页34第二节第二节 洛必达法则洛必达法则在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小或同是无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法

6、则是求函数极限的一种重要方法.及第34页/共150页35定理(洛必达法则)(证略)型未定式一、注：第35页/共150页36例1例2例3比较:因式分解，第36页/共150页37例4注1：洛必达法则可多次使用.不是未定式！注2：不是未定式，不能使用洛必达法则！第37页/共150页38训练：“过犹不及”！第38页/共150页39例5比较:第39页/共150页40例6比较：等价无穷小替换第40页/共150页41例7第41页/共150页42例8及时分离非零因子第42页/共150页43练习求下列极限：解或解等价无穷小替换第43页/共150页44定理(洛必达法则)(证略)型未定式二、注：第44页/共150页

7、45例9例10第45页/共150页46例11或解：及时分离非零因子第46页/共150页47注意：2.洛必达法则可多次使用，但每次使用前需验证条件；只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法。3.使用洛必达法则时，要灵活结合其它方法，如等价无穷小替换、凑重要极限、恒等变形、换元等.第47页/共150页48例12解洛必达法则失效。训练：不能使用洛必达法则。解极限不存在第48页/共150页49三、其它类型的未定式三、其它类型的未定式解法：转化为或型不定式。第49页/共150页50例13步骤：第50页/共150页51解例14第51页/共150页52例15步骤:第52页/共150页53步骤:第53页/共1

8、50页54例16解或解利用对数恒等式第54页/共150页55例17或解(凑重要极限法)：解第55页/共150页56例18解所以第56页/共150页57分析 这是数列极限,不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限.例19第57页/共150页58解例19第58页/共150页59解例19凑重要极限第59页/共150页60练习：练习：解等价无穷小替换第60页/共150页61解练习：第61页/共150页62解练习：第62页/共150页63第三节第三节 函数的增减性函数的增减性观察与思考：函数单调增加函数单调减少函数的单调性与导数的符号有什么关系？第63页/共150页64第三节 函数的增减性函数单调增加时

9、导数大于零；观察结果：函数单调增加函数单调减少函数单调减少时导数小于零。第64页/共150页65定理第65页/共150页66证第66页/共150页67例1解例2解注意定义域！第67页/共150页68例3解第68页/共150页69也可用列表的方式，例3解第69页/共150页70例4解第70页/共150页71导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。注意：区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,称驻点方法：用驻点及不可导点来划分函数的定义域，然后逐段判断导数的符号，从而确定函数的增减。第71页/共150页72例5证可利用函数的单调性证明不等式可利用函数的单调性证明不等式第72页/共

10、150页73证综上所述，例5第73页/共150页74练习证则第74页/共150页75第四节第四节 函数的极值函数的极值第75页/共150页76定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第76页/共150页77说明：1、极值不一定存在；2、极值必在定义区间的内部取到；3、极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大。x yO无极值.第77页/共150页78定理1(极值的必要条件)由费马引理可知，所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。但反之不然，驻点不一定是极值点.x yO第78页/共150页79此外,不可导点也可能是极值点,x yO但函数的不可导点也不一定是极值点，x yO第

11、79页/共150页80 这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.我们把驻点和不可导点统称为极值可疑点.下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.第80页/共150页81定理2(极值的第一充分条件)一阶导数变号法第81页/共150页82定理3(极值的第二充分判别法)称为“二阶导数非零法”(1)记忆：几何直观；说明：(2)此法只适用于驻点，不能用于判断不可导点；第82页/共150页83x yOx yO第83页/共150页84例1解注意定义域！导数左负右正，第84页/共150页85例2解x yO2131第85页/共150页86例3解法一列表讨论极大值极小值第86页/

12、共150页87例3解法二第87页/共150页88例4解列表讨论：极大值极小值第88页/共150页89例5解减少减少增加间断极小值e无第89页/共150页90练习解第90页/共150页91(1)确定函数的定义域；(4)用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形.求极值的步骤：(3)求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或一阶导数不存在的点)；第91页/共150页92第五节第五节 最大值与最小值，最大值与最小值，极值的应用问题极值的应用问题极值是局部性的，而最值是全局性的。第92页/共150页93具体求法：第93页/共150页94例6解计算比较得：第94页/共150页95 在许

13、多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：第95页/共150页96例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容积最大？最大值为多少？设小正方形的边长为x，则方盒的容积为解axa-2x第96页/共150页97求导得例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容积最大？最大值为多少？设小正方形的边长为x，则方盒的容积为解第97页/共150页98导数左正右负，求导得例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容积最大？最大值为多少？则方盒的容积为解设小正

14、方形的边长为x，第98页/共150页99例8 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？hr设底半径为r,高为h，总的表面积为解即表面积最小.即高与底面直径相等。即为最小值点。是极小值点，第99页/共150页100例9 某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使准备费和库存费之和最小？解设分x 批生产,则生产准备费和库存费之和为得唯一驻点(x 为1000000的正因子)第100页/共150页101例10解利用最值证明不等式利用最值证明不等式第

15、101页/共150页102例11解分析 数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导.利用对数求导法,得导数左正右负，第102页/共150页103第六节第六节 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点问题：如何研究曲线的弯曲方向?第103页/共150页104观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？第104页/共150页105定义1如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的。曲线凹向的定义上凹下凹第105页/共150页106曲线凹向的定义上凹下凹第106

16、页/共150页107观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点上凹下凹当曲线是上凹的时，f(x)单调增加。当曲线是下凹的时，f(x)单调减少。曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。第107页/共150页108定理（证略）第108页/共150页109拐点的求法：1、找出二阶导数为零的点或不可导点；2、若它两侧的二阶导数值异号，则为拐点；注意：拐点要写出纵坐标。若同号则不是拐点。第109页/共150页110例1解x yO第110页/共150页111注意：二阶导数的零点不一定是拐点！第111页/共150页112例2解上凹下凹上凹拐点拐点第112页/共150页113例3解

17、x yO第113页/共150页114例4解所以曲线无拐点。第114页/共150页115不存在拐点例5解非拐点第115页/共150页116第七节第七节 函数图形的作法函数图形的作法（一）曲线的渐近线1、水平渐近线例如有两条水平渐近线：xy(平行于x轴的渐近线)第116页/共150页117水平渐近线：水平渐近线：第117页/共150页118例如有两条铅垂渐近线：2、铅垂渐近线(垂直于x轴的渐近线)第118页/共150页1193、斜渐近线斜渐近线求法：第119页/共150页120例1解第120页/共150页121第121页/共150页122练习解第122页/共150页123(二二)函数的作图函数的作

18、图第一步第二步第三步第四步第五步讨论渐近线方程；讨论一些特殊点(与坐标轴的交点等)。第123页/共150页124例2解列表不存在拐点极小值点间断点第124页/共150页125 C(-1,-2)，E(2,1)，D(1,6)，作出函数的图形.xO yF(3,-2/9).B(-2,-3)，D水平渐近线ABCDEF不存在拐点极小值点间断点描点:A(-3,-26/9)，y -2竖直渐近线x 0第125页/共150页126解极大值拐点渐近线：例3第126页/共150页127极大值拐点第127页/共150页128例4解偶函数,图形关于y轴对称.第128页/共150页129拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸

19、区间及极值点与拐点：拐点第129页/共150页130第130页/共150页131定义域：(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断极大值-极小值0解渐近线：00例5竖直渐近线斜渐近线第131页/共150页132xO y-11-1函数图形：B(0,0)，A(-2,-4)，描点：(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断极大值-极小值0y00y渐近线：第132页/共150页133第八节第八节 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用(一)几个经济学中常用的函数1、成本函数平均成本函数2、需求函数averagecostAC第133页/共150页13

20、43、收益函数平均收益函数4、利润函数 总利润函数revenue第134页/共150页135(二二)边际函数边际函数marginalMCMR第135页/共150页136例1例2解说明：生产某产品x单位的总成本为 则生产1000单位时的边际成本为 说明：第136页/共150页137(三三)函数的函数的弹性弹性 边际函数反映的是函数的变化率，而函数的弹性则反映的是函数的相对变化率。前面所谈的函数改变量和函数变化率是绝对改变量和绝对变化率，但仅仅研究函数的绝对改变量和绝对变化率是不够的。例如，商品甲每单位价格10元，涨价1元；商品乙每单位价格1000元，也涨价1元。两种商品价格的绝对改变量都是1元，

21、但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%，而商品乙涨了0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改变量和相对变化率。第137页/共150页138例如：第138页/共150页139Elasticity计算公式：经济意义：当自变量x 增加1%时，因变量y(近似地)第139页/共150页140例3解例4解称幂函数为不变弹性函数。第140页/共150页141例5解第141页/共150页142(四四)函数最值在经济中的应用函数最值在经济中的应用1、平均成本(AC)最低问题AC平均成本最小原理：当边际成本等于平均成本时平均成本达到最小.第142页/共150页143例6设成本函数为则平均成本为得驻点此时平均成本为两者相等。边际成本为第143页/共150页1442、最大收益问题、最大收益问题重要结论：当收益取得最大时，价格弹性必为1。第144页/共150页145例7解第145页/共150页146解需求价格弹性为例7第146页/共150页3、边际利润与利润最大化原理、边际利润与利润最大化原理 利润最大化原理“生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一个重要结论.第147页/共150页148例8利润函数为解得驻点第148页/共150页149END第149页/共150页150感谢您的观看！第150页/共150页