贵州大学固体物理学61.pptx

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1、6.1 Sommerfeld的自由电子论v 电子在运动中存在一定的散射机制1、自由电子的量子模型（模型要点）v 电子在一有限深度的方势阱中运 动，电子间的相互作用忽略不计 v 电子按能量的分布遵从FermiDirac统计v 电子的填充满足Pauli不相容原理第1页/共49页2、电子的能量状态V0：电子在势阱底部所具有的势能，取V0 0令有1）.运动方程第2页/共49页方程的解：A：归一化因子，由归一化条件确定电子的能量：V:金属的体积：电子波矢第3页/共49页金属中原胞的总数：N N N N1 N N2 N N32）.周期性边界条件h为整数设N N 是金属沿基矢 （1，2，3）方向的原胞数，周

2、期性边界条件：，1,2,3第4页/共49页令：h为整数，1,2,3第5页/共49页在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关在 空间中，波矢 的分布密度为每一个量子态在 空间中所占的体积为：第6页/共49页3）.能态密度在能量为E的球体中，波矢k的取值总数为考虑电子自旋，如将每一个自旋态看作一个能态，在能量为E的球体中，电子能态总数为第7页/共49页定义：能态密度其中：电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大能态密度：在EEdE之间单位能量间隔中的能态数第8页/共49页3、FermiDirac统计（电子基态分布）1）.量子统计基础知识v 量子统计：Ferm

3、iDirac统计和BoseEinstein统计费米子：自旋为半整数（n1/2）的粒子（如：电子、质 子、中子 等），费米子遵从FermiDirac统计规 律，费米子的填充满足Pauli原理v 经典统计Boltzmann玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），玻色子遵从BoseEinstein统计规律，玻色子不遵从Pauli原理第9页/共49页2）.T0 K时电子的分布T0时，电子的分布函数为f(E)=1 E EF00 E EF0EEF001f(E)T0 费米半径 费米动量 费米能第10页/共49页 费米速度在EEdE中的电子数为：dNf(E)N(E)dE系统的自由电子总数为T0第11页

4、/共49页 自由电子密度金属：n：1022 1023 cm3EF0 几个eV第12页/共49页系统的总能量：T0定义 Fermi 温度：金属：TF：104 105 K物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度 下的振动能第13页/共49页元素元素EF0(eV)TF(104K)元素元素EF0(eV)TF(104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486.36Al11.631

5、3.49Au5.516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金属元素费米能与费米温度的计算值第14页/共49页3）.T 0时的分布能量在EEdE之间的电子数为：FermiDirac分布函数：电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况 下，系统增加一个电子所需的自由能当E 时，f()1/2，代表填充概率为1/2的能态 第15页/共49页E，f(E)迅速趋于零 当E 几个kBT时，exp(E)/kBT 1，FermiDirac分布过渡到经典的Boltzmann分布E 几个kBT的能态基本上是没有电子占据的空态第16页/共49页 对金属：T几个kBT时，exp

6、(E)/kBT 0时的费米能）量子力学中能量的简并性：能量简并性；金属自由电子气的简并性：统计的简并性，即指金属 自由电子气与理想气体遵从的统计规律的差异性 对于半导体，n 1017 cm-3，其TF 102 K当T TF时，其分布已经很接近于经典分布了 E 几个kBT的能态基本上是满态第17页/共49页 对于金属而言，由于T 0时，只有在费米面附近几个kBT的电子受热激发，对电子热容量的贡献主要来自费米面附近厚度kBT的一层电子在 EEF kBT中的电子数为第19页/共49页而每个电子热运动的平均能量：由于热激发，系统所获得的能量为第20页/共49页电子热容量为：对于一摩尔金属，NZN0，Z

7、：每个金属原子所贡献的自由电子数 常温下，CL 3R，由于TTF，所以Ce CL，即常温下可以不必考虑电子热容量的贡献第21页/共49页2）.Pauli顺磁考虑T 0的极端情况B=0时，M=0 B平行于B：BB B：玻尔磁子，B9.271024J/T B 0时，自旋磁矩在磁场中的取向能：B反平行于B：BB第22页/共49页每个电子的自旋磁矩从 B变为 B改变了2 B所以，产生的总磁矩为第23页/共49页 由于 BB kBT，当T 0时，只有在费米面附近的一小部分电子被激发而跃迁到高能态，而比费米能低几个kBT的电子仍保持原来的状态，因此，这种类型的积分可以作适当的近似处理。这类积分不能用精确的

8、解析表达式积出，因而给定量计算金属的性质带来困难第29页/共49页二、Sommerfeld展开式 设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)0，并且满足条件 ，其中为大于0的常数。在kBT 几个 kBT时，函数的值迅速趋于0，具 有类似于 函数的性质 因此，积分的贡献主要来自E EF附近的区域，由于EF kBT，所以，我们可以将均分的下限由0改为，而并不会影响积分值。v (-df/dE)是（EEF）的偶函数；第32页/共49页将Q(E)在E=EF附近展开成Taylor级数：第33页/共49页奇函数偶函数第34页/共49页利用Taylor展开式：第35页/共49页三、Sommerfeld展开

9、式的应用1.EF的确定第36页/共49页对于金属，由于TF T，所以EF EF0，略低于EF0第37页/共49页2.电子热容量自由电子系统的总能量为第38页/共49页 T=0时自由电子系统的总能量第二项：T 0时，由于热激发自由电子系统从外界所获 得的能量第39页/共49页电子热容量：一摩尔金属的电子热容量为：Z：一个原子所贡献的自由电子数第40页/共49页一些金属的一些金属的 值值NaKCaZnAlSn 实验实验（mJ/mol.K2）1.382.080.6950.641.351.78 理论理论（mJ/mol.K2）1.091.670.5050.750.911.41第41页/共49页当T D时，常温下，一摩尔金属的晶格热容CL 3R 对于金属，由于TF T，所以Ce CL当T T，0，电子的顺磁磁化率近似与温度无关 LiNaKMgCa 实验实验(106CGS)2.00.630.580.871.70 理论理论(106CGS)0.80.650.530.980.89第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页