数学物理方法2复变函数的积分.pptx

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1、1（一）积分的定义（一）积分的定义（一）积分的定义（一）积分的定义l,)(110bzzzzzanbaBlBzfwnkk=-LL设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数,),2,1(1kkknkzzz z上任意取一点在每个弧段L=-2.12.1复变函数的积分复变函数的积分(与实函数积分相似，定义为和的极限)复平面上的线积分第1页/共55页2,)()()(111knkknkkkknzfzzfSD D=-=-z zz z作和式 ,1这里kkkzzz-=D D,无限增加当nl ,)(,记为的积分积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限zfl ,有唯的取法如何的

2、分法及如果不论对Snkz z第2页/共55页3关于定义的说明关于定义的说明:.d)(,)1 1(lzzfl记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果 .),()(,)2(定积分的定义实变函数这个积分定义就是一元而轴上的区间是如果xuzfbxaxl=注注:闭曲线是有向曲线闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者并定义区域总是在观察者左侧的曲线为正左侧的曲线为正第3页/共55页4注意到：积分的计算法积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分(二二二二).).).).积分的计算法积分的计算法积分的计算法积分的计算法代入积分定义有：第4页/共55页5积分的计算法积分的计算法2:2:参数方程法设路径设路径

3、l的方程（参数方程）为的方程（参数方程）为:z=z(t)(t)由求导法则，dz=z(t)dt,则有(三三)性质：性质：(1)全路径上的积分等于各段上积分之和光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次是由其中.,21nllllL设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则第5页/共55页6(3)常数因子可以移到积分号外(4)函数的和的积分等于各函数积分之和(2)若l和l-是同线段但走向相反,则(5)积分不等式 特别地，若在l上有 ，l的长记为l，则性质(5)(5)成为第6页/共55页7例例1 1 解解:采用参数方程方法 y=3x/4,令x=t.直线的参数方程:.43 :,d 的直线段从原点到点计

4、算ilzzl+在l上，z=x+iy第7页/共55页8例例2 解解积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为 .2 :,d=zlzzl圆周为为其中计算)2(=z因为第8页/共55页9例例3 解解积分路径的参数方程为.,d)(1 010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzlzzzln+-第9页/共55页10重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.第10页/共55页11定理定理1 1：单连通区域柯西定理：单连通区域柯西定理讨论复变函数积分值与积分路径的关系(一一)单连通区域柯西定理单连通区域柯西定理2.2 2.2 2.2 2.2 柯西定理柯西定理柯西定理柯

5、西定理 如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有第11页/共55页12连续，且同理连续，且证明：格林公式格林公式积分值的实部积分值的实部:由格林公式化成面积分第12页/共55页13推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有关。关。例例1 1解解根据柯西定理,有 ,1 321 内解析在函数-zz第13页/共55页14 由于围线l所包含的面积范围内含有不属于区域的点，所以围道积分不一定为零.那么如何计算?（二）复连（二）复连通域柯西定理通域柯西定理 下图表示一个由边界L和l1 构成的闭二连通区域

6、B.设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.GLl1第14页/共55页15 作割线把原来以围线l和内边界为l1的二连通区域转化为除原来围线和内边界线以外和割线AD与DA组成的新边界的单连通区域。则由柯西定理或 l与l1方向相反，但与但与 l-1方向相同。又第15页/共55页16 此式说明,在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内部作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不经过函数的奇点.-闭路变形原理闭路变形原理第16页/共55页17(多连通域柯西定理多连通域柯西定理)设设B是以是以边为界的n+1闭闭连通区域，其中l1，l2，ln是简单光滑闭曲线l内部互相分离的n条简单

7、光滑闭曲线。若f(z)在 边界上连续，在B内解析，则有其中C取关于区域B的正向，或写为：第17页/共55页18例例2 2 解解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,.1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分=G G G Gzzzzez,上处处解析在此圆环域和其边界函数zez第18页/共55页19例例3 3解解.,d)(1 1为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求nazazn l+l-,内部在曲线因为la ,l:1内部含在使r rl=-az,)(111内处处解析为边界的复连通域在以+l+l-naz ,r r故可取很小的正数xya第

8、19页/共55页20由复合闭路定理,=p p=-l+.0,00,2d)(1 1nnizazn故xya 此结论非常重要,闭曲线不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.第20页/共55页21（五）柯西定理小结（五）柯西定理小结固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分1.单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲线的积分为零。线的积分为零。2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。向的积分和为零。3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时

9、针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。和。第21页/共55页22思考题思考题答答:即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.第22页/共55页23答答:(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用.思考题思考题应用柯西定理应注意什么?第23页/共55页24 2.3.1 ,d zz-1(1)直线段；积分路经是计算(2)单位圆的上半；(3)单位圆的下半；1 ,dez 求下列复变函数的围道积分求下列复变函数的围道积分zz2+5z+6|z|=1|=1第24页/共55页251 原函数原函数 证证:利用解析函数F(z)在区域内任

10、意一点可导的思路证明,即用导数的定义来证.2.3 不定积分 ,内任一点为设Bz,CRBz领域内的为中心作一含于以.)()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz=即析函数同时是 的原函数内的一个解必为那么函数内处处解析在单连通域如果函数z zz z)(zf第25页/共55页26 在z z0 0的极限，积分路线 与的路线相同.所以：d)(0 z+zzfz zz z d)(0 zzfz zz z第26页/共55页27第27页/共55页28分析下列极限:下面先由分析绝对号内函数的特性第28页/共55页29 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类

11、似定理完全类似.证毕证毕 第29页/共55页302.2.不定积分的定义不定积分的定义:3.3.牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式.)(d)(,)()()()(czFzzfzfcczFzf+=+记作的不定积分为为任意常数的原函数的一般表达式称.,)()(d)(,)()(,)(211221内的两点为域这里那么的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数BzzzFzFzzfzfzFBzfzz-=第30页/共55页31证证根据柯西定理,证毕证毕说明说明:有了有了有了有了牛顿牛顿牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式莱布尼兹公式莱布尼兹公式,复变函数的积复变函数的积复变函数的积复变函数的积分就可以用跟微积分学

12、中类似的方法去计算分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,)(d)(1的原函数也是因为zfzzfzz ,)(d)(1czFzzfzz+=所以 ,1时时当zz=,)(1zFc-=得 ,)()(d(11zFzFzzfzz-=所以 .)()(d)(1221zFzFzzfzz-=即第31页/共55页32例例1 1解解由牛顿-莱布尼兹公式知,第32页/共55页33例例2 2解解采用微积分学中的“凑微分”法处理第33页/共55页34例例3 3采微积分中“分部积分法”处理解解第34页/共55页35(一一一一)、问题的提出、问题的提

13、出、问题的提出、问题的提出2.4 2.4 柯西公式柯西公式 .,0中一点为为一单连通域设BzB .)(,)(00不解析在那末内解析在如果zzzzfBzf-第35页/共55页36 如果如果f()在闭单连通区域在闭单连通区域B内内处处解析处处解析，l为为B内的边界线内的边界线，为为B内的任一点，那么内的任一点，那么 称为称为柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式,简称简称柯西公式柯西公式柯西公式柯西公式(二二二二)、柯西积分公式、柯西积分公式、柯西积分公式、柯西积分公式1 1 有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式证明第36页/共55页37由复积分性质知道根据由复积分性

14、质知道根据 在在 连续，则对任连续，则对任意小意小 ,对应于对应于R足够小，有足够小，有 ，又显见该积分的值与又显见该积分的值与R无关这就证明了无关这就证明了 柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式第37页/共55页38关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在l内部任一点的值用它在边界上的积分值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.第38页/共55页392 2有界区域的复连通柯西积分公式有界区域

15、的复连通柯西积分公式第39页/共55页40 如图：假设如图：假设|z|,|z|,f(z)在某一闭曲线在某一闭曲线在某一闭曲线在某一闭曲线l l的的的的外部解析外部解析外部解析外部解析，则对于，则对于l外部区域中的点外部区域中的点f(z)有有3 3 无界区域中的柯西积分公式无界区域中的柯西积分公式 上面对柯西积分公式的讨论所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？式中 有界。解析解析第40页/共55页41 证明证明 如图如图:设设CR 为以为以O为为原点，半径为原点，半径为R的包的包含任意点含任意点z的大圆周的大圆周,因为函数因为函数 f(z)在闭回路的在闭回路的l外外部解析部解析,故在故在l和和CR构成的复连通区域内构成的复连通区域内,由复连通由复连通区域的柯西积分公式得区域的柯西积分公式得 现分析第二个积分,由于f(z)在无限远处连续，即任给0，总找到以O为中心半径为R1 1的圆,使得|z|R1 1时，|f(z)-f()|=CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1(.1:,225为正向圆周为正向圆周其中其中1.1.计算下列积分计算下列积分第52页/共55页532.4 1.2.第53页/共55页54第54页/共55页55感谢您的观看！第55页/共55页