数学物理方法第八章.PPTx

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1、本章基本要求n掌握有界弦的自由振动解及其物理意义n着重掌握分离变数法的解题思路、解题步骤及其核心问题-本征值问题n n掌握求解非齐次方程的本征函数展开法掌握求解非齐次方程的本征函数展开法n n掌握将非齐次边界条件齐次化的方法掌握将非齐次边界条件齐次化的方法第1页/共75页 分离变数法（本征函数展开法）:其基本思想基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题构成本征值问题 (1)叠加原理叠加原理：几种不同的原因的综合所产生的效几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理角度物理

2、角度)叠加原理对于用线性方程描述的物理现象来说都是叠加原理对于用线性方程描述的物理现象来说都是成立的。成立的。(数学角度数学角度)(2)分离变数法物理基础驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。u1=A cos(t-kx)，u2=A cos(t+kx)u=u1+u2=2A cos(2cos(2 t t)cos(2cos(2kxkx)时间变量与空间变量分离时间变量与空间变量分离第2页/共75页 驻波的一般表示驻波的一般表示：u(x,t)=X(x)T(t)把这种具有变数分离形式的特殊解作为尝试解去把这种具有变数分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一解偏微分方

3、程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性性就可以保证尝试解的正确性 (3)3)分离变数法的特点：分离变数法的特点：a.a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；作保证；b.b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。单化。(4)(4)分离变数法的适用范围：分离变数法的适用范围：波动、输运、稳定场问题等。波动、输运、稳定场问题等。3第3页/共75页泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：由于两端固定，解是驻波：由于两端固定，解是驻波：两端固定的均匀细弦

4、的自由振动两端固定的均匀细弦的自由振动定解问题：波腹波腹波节波节弦在弦在平衡位置振动可用函数平衡位置振动可用函数 T（t)描述；描述；振幅随位置变化可用函数振幅随位置变化可用函数 X（x)表示表示即可设驻波解即可设驻波解：则可以想象此问题的解应是变数则可以想象此问题的解应是变数则可以想象此问题的解应是变数则可以想象此问题的解应是变数可分离的解，为此设可分离的解，为此设可分离的解，为此设可分离的解，为此设48.1 8.1 8.1 8.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍

5、第4页/共75页由于由于由于由于x,tx,t 是相互独立的变量，上式必然等于同一常数。是相互独立的变量，上式必然等于同一常数。是相互独立的变量，上式必然等于同一常数。是相互独立的变量，上式必然等于同一常数。1 1、分离变数、分离变数建立常微分方程定解问题建立常微分方程定解问题代入波动方程移项整理得变数分离等式：把得引入公共引入公共实实常数常数：常微分方程常微分方程：得出两个常微分方程两个常微分方程：第5页/共75页 边值条件边值条件6把代入边值条件 常微分方程及边值条件常微分方程及边值条件第6页/共75页(1)(2)2 2、求解本征值问题、求解本征值问题常微分方程通解：常微分方程通解：边界条件

6、：边界条件：第7页/共75页(3)C2非零解非零解Xn(x)称称本征函数本征函数本征函数本征函数边界条件：只能取分列特定值(正整数)-称本征值本征值称称本征问题本征问题本征问题本征问题第8页/共75页 n=1,2,3 解方程 本征解un(x,t)：A、B 是积分常数是积分常数3 3、本征解与一般解、本征解与一般解本征振动的线性叠加本征振动的线性叠加.上式正好是傅里叶正弦级数上式正好是傅里叶正弦级数.解一般解（4）含时函数解：第9页/共75页初始条件：初始条件：4、利用初始条件和三角函数族的正交性确定待定系数利用初始条件和三角函数族的正交性确定待定系数5 5、物理意义：、物理意义：是驻波，是两端

7、固定弦的本征振动本征振动相邻节点之间距离等于半波长 波长=节点数 n+1,位置 即:x=kl/n(k=0,1,2,n)第10页/共75页（4）、用初始条件确定通解系数（傅立叶展开）6 6、分离变量法概要：分离变量法概要：（1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征值问题（3）、将本征解(满足边界条件)叠加成无穷级数，给出一般解11本征频率lnavlannn22,=pp n=1 时,1lap=基频基波（决定了音调）n1 时lannp=谐频谐波（决定了音色）第11页/共75页分离变量流程图(输运方程)第12页/共75页泛定方程泛定方程边界条件边界条

8、件本征值问题本征值问题本征值问题本征值问题本征值本征值本征函数本征函数本征函数本征函数 k=1,2,3 k=0,1,2,3 13k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第13页/共75页(二二二二)三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必 须引入坐标系。而且，常根据被研究物体几何形状 的不同而采用不同的坐标系。在物理学中，常用的 坐标系有三种：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标 系。任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标 变量u1、u2、

9、u3(如直角坐标系中的x、y、z)，当 u1、u2、u3均为常数时，就代表三组曲面(或平面)，称为坐标面。第14页/共75页若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的交交 线线(一般是曲线一般是曲线)也在空间每点正交，这种坐标也在空间每点正交，这种坐标系系 叫做叫做正交曲线坐标系正交曲线坐标系。上述三种坐标系是许多。上述三种坐标系是许多正正 交曲线坐标系中较常用的三种。交曲线坐标系中较常用的三种。空间任一点空间任一点M沿坐标面的三条交线方向各取的沿坐标面的三条交线方向各取的单单 位矢量，称为位矢量，称为坐标单位矢量坐标单位矢量。它的模等于。它的模等于1 1

10、，并以并以 各坐标变量正的增加方向作为各坐标变量正的增加方向作为正方向正方向。一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量相互正交相互正交并并 满足右手螺旋法则满足右手螺旋法则。第15页/共75页(-,+)基本变量：x、y、z 1 1 直角坐标系直角坐标系单位矢量：变化范围均为变化范围均为在在直角坐标系直角坐标系中，位置矢量中，位置矢量其微分其微分体积元为体积元为在在直角坐标系直角坐标系中，中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元分别为分别为第16页/共75页在在直角坐标系直角坐标系中，梯度定义为中，梯度定义为哈密顿算符哈密顿算符“”，在直角

11、坐标系中表示为，在直角坐标系中表示为哈密顿算符的哈密顿算符的双重性质双重性质：哈密顿算符是：哈密顿算符是矢量矢量 哈密顿算符具有哈密顿算符具有微分微分特性特性又称为矢性微分算符拉拉普拉斯普拉斯算符算符第17页/共75页基本变量：、z变化范围为变化范围为2 2 圆柱坐标系圆柱坐标系0,+)、0,2、(-,+)圆柱坐标系圆柱坐标系与与直角坐标系直角坐标系之间的变换之间的变换关系为：关系为：在在圆柱坐标系圆柱坐标系中，位置矢量中，位置矢量其微分其微分它在它在、z z增加方向上的微分元分别是增加方向上的微分元分别是：d d、d d、d dz z，三者都是长度，如图所示三者都是长度，如图所示。单位矢量：

12、第18页/共75页 体积元为为 在在圆柱坐标系圆柱坐标系中，与三个坐标单位中，与三个坐标单位矢量垂直的三个矢量垂直的三个面积元分别为分别为 在在圆柱坐标系圆柱坐标系中，中，哈密顿算符哈密顿算符“”和和梯度梯度的表达式为的表达式为圆柱坐标系圆柱坐标系中的中的拉普拉斯运算拉普拉斯运算 第19页/共75页基本变量：r、变化范围均为变化范围均为3 3 球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系与与直角坐标系直角坐标系之间的变换关系为：之间的变换关系为：0,+)、0,、0,2在在球坐标系球坐标系中，位置矢量中，位置矢量其微分其微分 它在它在r r、增加方向上的微分元分别是增加方向上的微分元分别是：d dr r、r

13、 rd d 、r rsinsin d d，三者都是长度，如图所示三者都是长度，如图所示。单位矢量：第20页/共75页在在球坐标系球坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元分别为的三个面积元分别为体积元为体积元为在球坐标系中，在球坐标系中，哈密顿算符哈密顿算符“和和梯度梯度的表达式为的表达式为球坐标系球坐标系中的中的拉普拉斯拉普拉斯运算运算rsin第21页/共75页1第22页/共75页例例1：细杆热传导。初始时杆的细杆热传导。初始时杆的一端温度为零度，另一端温度为零度，另一端温度一端温度u0，杆上温度梯度均匀。，杆上温度梯度均匀。零度的零度的一端保持温一端保持温度不

14、变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。零度保持不变零度保持不变零度保持不变零度保持不变；第一类边界条件第一类边界条件与外界绝热；与外界绝热；与外界绝热；与外界绝热；第二类边界条第二类边界条件件泛定方程和泛定方程和边界条件皆边界条件皆是齐次的是齐次的,可以应用分离变数法可以应用分离变数法（三）典型例题（三）典型例题解：解：杆上温度杆上温度u(x,y,z)满足泛定方程满足泛定方程初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：杆上温度梯度均匀杆上温度梯度均匀杆上温度梯度均匀杆上温度梯度均匀第23页/共75页1 1 分离变数分离变数:分离变量分离变量:2

15、4定解问题转化为定解问题转化为:即关于时间与位置的二个方程即关于时间与位置的二个方程:2 2 X(x)方程和边界条件构成本征问题解方程和边界条件构成本征问题解:由边界条件：第24页/共75页相应本征函数相应本征函数253 T3 T3 T3 T方程方程方程方程 ：改写为改写为此方程的解此方程的解4 4 4 4 u u(x,tx,t)的通解的通解的通解的通解本征解本征解第25页/共75页5 5 5 5 C Ck k的确定的确定的确定的确定由初始条件利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有6 6 6 6 答案答案答案答案第26页/共75页求电场强度求电场强度(平面问题平面问题)导线导线例例2

16、 2 设设带电云跟大地构成匀强静电场（即带电云跟大地构成匀强静电场（即电场强度电场强度E0 0竖直向下）。竖直向下）。在此静电场中架设在此静电场中架设圆柱型导体圆柱型导体的水平输电线，柱面表面因静电感的水平输电线，柱面表面因静电感应存在电荷（圆柱导线邻近的静电场不再是匀强场）。应存在电荷（圆柱导线邻近的静电场不再是匀强场）。在远在远离圆柱处的静电场为匀强的近似下，离圆柱处的静电场为匀强的近似下，研究圆柱导线对匀强静研究圆柱导线对匀强静研究圆柱导线对匀强静研究圆柱导线对匀强静电场的影响电场的影响电场的影响电场的影响。27带电的云xy第27页/共75页解解 1 1 1 1 设定设定设定设定电线不存

17、在时，电线不存在时，电线不存在时，电线不存在时，均匀电场方向均匀电场方向沿沿x轴；轴；2 2 2 2 设圆柱导线沿设圆柱导线沿设圆柱导线沿设圆柱导线沿z z轴铺设且为无限长轴铺设且为无限长轴铺设且为无限长轴铺设且为无限长；则只需在图示则只需在图示xy平面内研究本问题，平面内研究本问题，即电势可表示为即电势可表示为二维电势二维电势二维电势二维电势 u(x,y)+_ _ _ _ _ _ _ _ yx或或4 4 在圆柱外在圆柱外,没有电荷没有电荷，所以电势满足拉普拉斯方程.3 3 3 3 如何如何如何如何选择坐标系？选择坐标系？选择坐标系？选择坐标系？由于导线是圆柱形，导线截面方程由于导线是圆柱形，

18、导线截面方程x2+y2=a2 （a为导线半径）为导线半径）.导体表面等势面具有圆对称性，导体表面等势面具有圆对称性，所以选择极坐标系所以选择极坐标系 第28页/共75页+_ _ _ _ _ _ _ _ yx （云、地）处：（云、地）处：（云、地）处：（云、地）处：设云、地在设云、地在 “无穷远无穷远”处处,则云、地则云、地处的电场强度平行于处的电场强度平行于x轴，即轴，即 4 4 4 4 边界条件：边界条件：边界条件：边界条件：导线表面：导线表面：导线表面：导线表面：导线表面导线表面是等势面是等势面，取，取电势为电势为零，零，a为导线半径为导线半径 相应的电势（注意是均匀场）相应的电势（注意是

19、均匀场）即在云、地无穷远处，可得，即在云、地无穷远处，可得，地：地：E0 0无穷远处电场强度无穷远处电场强度云：云：第29页/共75页+_ _ _ _ _ _ _ _ yx5 5 5 5 定解问题为定解问题为定解问题为定解问题为:30进一步考虑到导体带电，设单位长度带进一步考虑到导体带电，设单位长度带电量为电量为q0 0,它在圆柱外产生的电势为它在圆柱外产生的电势为 为了满足导线表面为零电势，引入常数电势，引入常数电势u u0 0，在云、地“无穷远”处的边界条件为第30页/共75页6 6 分离变量：分离变量：分离变量：分离变量：设设自然周期边界条件自然周期边界条件自然周期边界条件自然周期边界条

20、件求解求解本征值问题本征值问题（为实数为实数）31不满足自然周期边界条件不满足自然周期边界条件不满足自然周期边界条件不满足自然周期边界条件B B2 2=0=0得得本征值本征值和和本征函数本征函数（）1/21/21/21/2必须是必须是必须是必须是正整数，设为正整数，设为正整数，设为正整数，设为mm第31页/共75页欧拉型常微分方程欧拉型常微分方程通解本征值代入径向常微分方程本征值代入径向常微分方程:作变量代换作变量代换有有本征解：一般解即即第32页/共75页代入导线表面处边界条件确定系数33比较等式两边的系数有代入云、地“无限远处”边界条件确定系数，即第33页/共75页沿沿x轴柱面的电场：轴柱

21、面的电场：34讨论：如果导线表面不带电讨论：如果导线表面不带电q0=0，即，即柱外的电势为：柱外的电势为：柱外的电势为：柱外的电势为：沿沿y轴向的电场：轴向的电场：第34页/共75页218第35页/共75页8.2 8.2 8.2 8.2 非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程(一一)傅立叶级数法傅立叶级数法方法：方法：方法：方法：（1 1）确定相应齐次问题的本征函数）确定相应齐次问题的本征函数对于非齐次泛定方程对于非齐次泛定方程对于非齐次泛定方程对于非齐次泛定方程如何求解？如何求解？如何求解？如何求解？方法之一：傅里叶级数法（本征函数法

22、）。方法之一：傅里叶级数法（本征函数法）。方法之一：傅里叶级数法（本征函数法）。方法之一：傅里叶级数法（本征函数法）。本题的齐次本征值问题是满足边界条件边界条件的本征函数本征函数是例例1 1：求定解问题求定解问题第36页/共75页比较比较 系数：系数：37即转为求Tn(t)的定解问题！（2 2）将）将u(x,t)按本征函数（傅里叶级数）展开：按本征函数（傅里叶级数）展开：（3 3）将级数代入泛定方程求展开系数）将级数代入泛定方程求展开系数Tn n(t)，导出，导出Tn(t)的的常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程：常微分方程常微分方程:第37页/共75页确定定解问题确定定解问题Tn（t）的

23、的初始条件初始条件初始条件初始条件：38上式上式 分别是分别是 的傅里叶展开系数：的傅里叶展开系数：由由u（x,t）的初始条件和傅里叶级数展开定理：的初始条件和傅里叶级数展开定理：又由傅里叶级数展开定理初始条件改写为：又由傅里叶级数展开定理初始条件改写为：即：即：第38页/共75页39比较余弦函数（基）前的系数得比较余弦函数（基）前的系数得T Tn n(t t)的初始条件的初始条件的初始条件的初始条件：第39页/共75页解解40方程解：方程解：（1 1）由初始条件由初始条件4023,n=L解解（2 2）解解由初始条件由初始条件第40页/共75页（3 3）当当n=1=1时，时，解解 设方程有形式

24、为设方程有形式为 的特解，并代入原方程的特解，并代入原方程特解为特解为齐次方程的齐次方程的通解通解最终解：最终解：第41页/共75页(二二)冲量定理法冲量定理法利用叠加原理把解分解为利用叠加原理把解分解为42I I齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件的齐次方的齐次方程程IIII零初值非齐次方程零初值非齐次方程零初值非齐次方程零初值非齐次方程(冲量定理法冲量定理法)第42页/共75页1 1、冲量定理法的基本思想、冲量定理法的基本思想1 1）持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；）持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；定解问题中，持续力是定解问题中，持续力是作用时间作用时间0-t表为瞬

25、时力的叠加表为瞬时力的叠加43 F(x,)(t-)d 为作用在短时间区间为作用在短时间区间(,+d)上上冲量为冲量为F(x,)d 的的“瞬时瞬时”力，该瞬时力引起的振动力，该瞬时力引起的振动记为记为第43页/共75页2 2）持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。）持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。瞬时力引起的位移定解问题瞬时力引起的位移定解问题由于瞬时力作用时间(,+d)极短，作用结束后弦线来不及振动由冲量定理判断其作用后的由冲量定理判断其作用后的速度，考虑单位长度的弦：速度，考虑单位长度的弦：44第44页/共75页2 2、数学检验：、数学检验：边界条件：边界条件：初始条件：初

26、始条件：积分积分号下的求导公式：号下的求导公式：45第45页/共75页非齐次方程非齐次方程例例2:2:解：解：由边界条件：由边界条件：代入泛定方程：代入泛定方程：46第46页/共75页代入初始条件：代入初始条件：47第47页/共75页由初始条件决定由初始条件决定由外力决定由外力决定48第48页/共75页输运方程问题仿照处理输运方程问题仿照处理49定解问题定解问题问题转化为定解问题问题转化为定解问题第49页/共75页50定解定解u(x,t)的解的解第50页/共75页2第51页/共75页设：8.3 8.3 8.3 8.3 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的

27、处理1 1、一般处理方法、一般处理方法非齐次方程非齐次方程第一类非齐次边界条件第一类非齐次边界条件非零初值非零初值则：解：令函数 使u(x,t)构成下列关系第52页/共75页即有：即：现在定解问题转换为：齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件第53页/共75页仍设：则：解：令函数 使u(x,t)构成下列关系例1 求下列定解问题得出矛盾解，所以应改变！新设：p和q是常数第54页/共75页设：则：解：令函数 使u(x,t)构成下列关系例1 求下列定解问题现在：第55页/共75页即：现在定解问题转换为：齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件第56页/共75页 由于弦在由于弦在x=

28、l端受迫作振动端受迫作振动Asint,它一定存在它一定存在特解特解特解特解v(x,t),满足齐次方程、非齐次边界条件。满足齐次方程、非齐次边界条件。例例2 2572 2、特殊处理方法、特殊处理方法弦的弦的x=0=0端固定，端固定，x=l端受迫作振动端受迫作振动Asint,弦的初位移和初弦的初位移和初速度皆为零，求弦的振动。速度皆为零，求弦的振动。解：本题定解问题为：解：本题定解问题为：又由于弦在又由于弦在x=l端点的振动为端点的振动为Asint,则弦上任一点的振则弦上任一点的振动动特解特解特解特解可以写作可以写作 第57页/共75页把把v代入波动方程，得代入波动方程，得58易证易证第58页/共

29、75页由位置的初始条件得出由位置的初始条件得出：59简化为简化为：由速度的初始条件得出由速度的初始条件得出：第59页/共75页8.4 8.4 8.4 8.4 泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程无时间变量无时间变量不能用冲量定理法，（可用格林函数法）不能用冲量定理法，（可用格林函数法）非齐次方程非齐次方程特解法特解法特解法特解法设定特解设定特解设定特解设定特解待求待求拉普拉斯方程拉普拉斯方程圆域圆域 上求解泊松方程的边值问题上求解泊松方程的边值问题例例1 1:60泊松方程泊松方程极坐标极坐标第60页/共75页根据设想必须进一步设为此设注意：设定：设定：第61页/共75页由设定得出原定解问题转化为下

30、列新定解问题运算得出第62页/共75页边界条件边界条件63上述定解问题的解为：上述定解问题的解为：解在圆心处的值有限，要求：解在圆心处的值有限，要求：D D0 0=0,=0,D Dmm=0,=0,C Cmm=0=0即有即有第63页/共75页例例2 2：64解解：方法：通过齐次化泛定方程建立本征方程设定：设定：根据设想必须进一步设为此设：定解问题转化为：第64页/共75页65本征问题：本征解：边值条件确定展开系数：第65页/共75页先确定先确定Cn66注意上式在注意上式在n n是偶数是偶数是偶数是偶数n=2k时为零，即时为零，即C2k=0。为此只有奇数项。为此只有奇数项 边值条件确定展开系数关系改为：第66页/共75页的联立代数方程的联立代数方程67第67页/共75页68第68页/共75页本征解：第69页/共75页2第70页/共75页教学重点：总结了一般有界波动问题和输运问题，以及一般有界稳定场问题的解法。8.5 8.5 分离变量法小结分离变量法小结第71页/共75页第72页/共75页第73页/共75页关于无界区域的求解问题，见第12，13，14章第74页/共75页75感谢您的观看。第75页/共75页