通原改学习教程.pptx

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1、1通信原理第3章 随机过程第1页/共85页2概率论知识回顾试验包括各种各样的科学试验，甚至是对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。随机试验的特征：1、可以在相同的条件下重复地进行；2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。第2页/共85页3回忆：随机变量的定义随机试验可以用所有可能的试验结果所构成的样本空间来描述概率论知识回顾第3页/共85页4第3章 随机过程3.1 随机过程的基本概念什么是随机过程？随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：第4页/共85页5第3章 随机过程

2、【例】为了研究某台接收机的输出噪声波形，现用示波器对这台接收机的输出噪声波形做n次观测。样本函数 i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程：(t)=1(t),2(t),n(t)是全部样本函数的集合。角度一：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。第5页/共85页6第3章 随机过程角度二：随机过程是随机变量概念的延伸。在任一给定时刻t1上，每一个样本函数 i(t)都是一个确定的数值 i(t1)，但是每个 i(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值 i(t1),i=1,2,n是一个随机变量，记为 (t1)。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，我们

3、又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。第6页/共85页7随机过程是含时间参数的随机变量；随机过程在时间上的抽样是随机变量。随机过程实际上是以时间t t为参数的随机函数，它的样本空间是一系列确知的样本函数的组成的集合，样本空间的每一个样本函数称作一个随机过程的一个实现（realizationrealization）。正是由于随机过程是含时间参数的随机变量，所以随机变量的所有统计特性都可以转移到随机过程上来，只不过多了时间这一维的参数。随机过程随机过程与随机变量的关系与随机变量的关系第7页/共85页8第3章 随机过程随机过程

4、的分布函数设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。随机过程 (t)的一维分布函数：随机过程 (t)的一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。一维分布函数刻画了随机过程在每个个别时刻的统计特性第8页/共85页9第3章 随机过程随机过程 (t)的二维分布函数:（两个时刻随机变量的关系）随机过程 (t)的二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。随机过程 (t)的n维分布函数:（n个时刻随机变量的关系）随机过程 (t)的n维概率密度函数：第9页/共85页10随机过程的数字特征均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值

5、 (t1)是一个随机变量，其均值式中 f 1(x1,t1)(t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t，x1改为x，这样上式就变为第3章 随机过程第10页/共85页11第3章 随机过程 (t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:a(t)第11页/共85页12第3章 随机过程方差方差常记为 2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a(t)的偏离程度。均方值均值平方第12页/共85页13第3章 随机过程相关函数 式中，(t1)和 (t2)分别是在t1

6、和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数式中 a(t1)a(t2)在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2(x1,x2;t1,t2)(t)的二维概率密度函数。第13页/共85页14第3章 随机过程相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1)和a(t2)有一个为0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。第14页/共85页15第15页/共85页16第16页/共85页17第3章 随机过程3.2 平稳随机过程平稳随机过程的定义定义：若一个随机过程(t)的任意

7、有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。第17页/共85页18第3章 随机过程性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：而二维分布函数只与时间间隔 =t2 t1有关：数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔 有关。第18页/共85页19第3章 随机过程数字特征：可见，（1）其均值与t 无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔 有关。把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定

8、是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。第19页/共85页20第3章 随机过程各态历经性问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现

9、的时间平均值来代替。下面，我们来讨论各态历经性的条件。第20页/共85页21第3章 随机过程各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。第21页/共85页22第3章 随机过程“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信

10、系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。第22页/共85页23第3章 随机过程 例3-1 设一个随机相位的正弦波为其中，A和 c均为常数；是在(0,2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望第23页/共85页24第3章 随机过程自相关函数令t2 t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。第24页/共85页25第3章 随机过程(2)求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。第25页/共85页26第3章 随机过程平稳

11、过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义：平稳过程自相关函数的性质 (t)的平均功率 的偶函数 R()的上界即自相关函数R()在 =0有最大值。(t)的直流功率 表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0)=2 。第26页/共85页27请记住“三个代表”方差代表交流功率；均值的平方代表直流功率；R(0)代表总功率（平均功率）。所以：如果已知自相关函数R()，则可以知道此广义平稳过程的总功率、直流功率和交流功率。平稳过程的自相关函数第27页/共85页28第3章 随机过程平稳过程的功率谱密度定义：对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为式中，FT(f)是f(t)的截短函数f

12、T(t)所对应的频谱函数第28页/共85页29第3章 随机过程对于平稳随机过程 (t)，可以把f(t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 (t)的功率谱密度可以定义为第29页/共85页30第3章 随机过程功率谱密度的计算维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。第30页/共85页31第3章 随机过程在

13、维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换：即式中 第31页/共85页32第3章 随机过程功率谱密度P (f)具有非负性和实偶性，即有和这与R()的实偶性相对应。第32页/共85页33功率谱(PSD:Power Spectral Density or Power Spectrum)的意义反映了信号的功率

14、在频率域上的分布；功率与功率谱之间的关系类似于概率与概率分布密度之间的关系；第33页/共85页34功率谱(PSD:Power Spectral Density or Power Spectrum)的意义第34页/共85页35第3章 随机过程例3-2 求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。【解】在例3-1中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有 以及由于有所以，功率谱密度为平均功率为 第35页/共85页36第3章 随机过程 3.3 高斯随机过程（正态随机过程）定义如果随机过程 (t

15、)的任意n维（n=1,2,.）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式为：式中 第36页/共85页37第3章 随机过程式中|B|归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk 行列式|B|中元素bjk的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即 第37页/共85页38第3章 随机过程重要性质由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维

16、分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。第38页/共85页39第3章 随机过程如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j k，有bjk=0，则其概率密度可以简化为这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。（高斯过程不相关与统计独立是等价的）高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。第39页/共85页40第3章 随机过程高斯随机变量定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中a 均值 2 方差曲线

17、如右图：提示：只要知道高斯过程的均值和方差，则高斯过程的一维概率密度函数就确定了第40页/共85页41第3章 随机过程性质f(x)对称于直线 x=a，即 a表示分布中心，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a=0和 =1时，称为标准化的正态分布：第41页/共85页42第3章 随机过程正态分布函数 这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：用误差函数表示正态分布函数：令 则有 及 式中 误差函数，可以查表求出其值。第42页/共85页43第3章 随机过程用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中当x 2时，第43页/共85页44第3章

18、 随机过程用Q函数表示正态分布函数：Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：Q函数和分布函数F(x)的关系：Q函数值也可以从查表得到。第44页/共85页45第3章 随机过程3.4 平稳随机过程通过线性系统确知信号通过线性系统（复习）：式中 vi 输入信号，vo 输出信号对应的傅里叶变换关系：随机信号通过线性系统：假设：i(t)是平稳的输入随机过程，a 均值，Ri()自相关函数，Pi()功率谱密度；求输出过程 o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。第45页/共85页46第3章 随机过程输出过程 o(t)的均值 对下式两边取统计平均：得到设输入过程是平稳的，则有 式中，H

19、(0)是线性系统在 f=0处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。第46页/共85页47第3章 随机过程输出过程 o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性，有于是 上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。第47页/共85页48第3章 随机过程输出过程 o(t)的功率谱密度对下式进行傅里叶变换：得出令 =+-，代入上式，得到即结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。应用：由Po(f)的反傅里叶变换求Ro()第48页/共85页49第3章 随机过程输出过程 o(t)的概

20、率分布如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理看，可以表示为：由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和”也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。第49页/共85页50第50页/共85页51第51页/共85页52第3章 随机过程3.5 窄带随机过程 什么是窄带随机过程？若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围 f 内，即满足 f fc的条

21、件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。第52页/共85页53第3章 随机过程典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 第53页/共85页54第3章 随机过程窄带随机过程的表示式式中，a (t)随机包络，(t)随机相位 c 中心角频率显然，a (t)和 (t)的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。包络表达式第54页/共85页55第3章 随机过程窄带随机过程表示式展开可以展开为式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量可以看出：(t)的统计特性由a (t)和 (t)或 c(t)和 s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a (t)和 (t)或 c(t)和 s(t)的统计

22、特性也随之确定。正交表达式或称赖斯表达式第55页/共85页56第3章 随机过程 c(t)和 s(t)的统计特性数学期望：对下式求数学期望：得到 假设(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E(t)=0，所以 假设(t)是一个均值为0，方差为 的平稳高斯窄带过程。第56页/共85页57第3章 随机过程(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式式中因为(t)是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与 有关。因此，若令 t=0，上式仍应成立，它变为第57页/共85页58第3章 随机过程因与时间t无关，以下二式自然成立所以，上式变为再令 t=/2 c，同理可以求得由以上分析可知，若窄带过

23、程(t)是平稳的，则 c(t)和 s(t)也必然是平稳的。第58页/共85页59第3章 随机过程进一步分析，下两式应同时成立，故有上式表明，同相分量 c(t)和正交分量 s(t)具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函数，所以同理可证 第59页/共85页60第3章 随机过程将代入下两式得到即上式表明(t)、c(t)和 s(t)具有相同的平均功率或方差。第60页/共85页61第3章 随机过程根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到因为(t)是高斯过程，所以，c(t1)，s(t2)一定是高斯随机变量，从而 c(t)、s(t)也是高斯过程。根

24、据可知，c(t)与 s(t)在 =0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此 c(t)与 s(t)也是统计独立的。第61页/共85页62第3章 随机过程结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它的同相分量 c(t)和正交分量 s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的 c和 s是互不相关的或统计独立的。第62页/共85页63第3章 随机过程a(t)和 (t)的统计特性联合概率密度函数 f(a ,)根据概率论知识有由可以求得第63页/共85页64第3章 随机过程于是有式中a 0,=(0 2)第64页/共85页65第3章 随机过程a 的一维概率密度函数可见，a

25、 服从瑞利(Rayleigh)分布。第65页/共85页66第3章 随机过程 的一维概率密度函数可见，服从均匀分布。第66页/共85页67第3章 随机过程结论一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位 (t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与 (t)是统计独立的，即有 第67页/共85页68第3章 随机过程3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声的表示式式中 窄带高斯噪声 正弦波的随机相位，均匀分布在0 2 间 A和 c 确知振幅和角频率于是有式中均值为0，方差为第68页/共85页69第3章 随机过程正弦波加窄带高斯噪声的

26、包络和相位表示式包络：相位：第69页/共85页70第3章 随机过程正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。第70页/共85页71第3章 随机过程讨论当信号很小时，即A 0时，上式中(Az/n2)很小，I0(Az/n2)1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。当(Az/n2)很大时，有这时上式近似为高斯分布，即第71页/共85页72第3章 随机过程包络概率密度函数 f(z)曲线第72页/共85页73第3章 随机过程正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性F()余弦信号加窄带高斯噪声的随机相位分布与信噪比有关，在小信噪比时，噪声起主导作用，随机相位接近于均匀分布；在大

27、信噪比时，信号起主导作用，随机相位集中在信号相位的附近，信噪比越大相位集中程度越高。第73页/共85页74第3章 随机过程3.7 高斯白噪声和带限白噪声白噪声n(t)定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度或 单边功率谱密度式中 n0 正常数白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：第74页/共85页75第3章 随机过程白噪声和其自相关函数的曲线：第75页/共85页76第3章 随机过程白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范

28、围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。第76页/共85页77第3章 随机过程低通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。功率谱密度由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在|f|fH内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。自相关函数第77页/共85页78第3章 随机过程功率谱密度和自相关函数曲线由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。从图可以看出，低通噪声的带宽为 ，平均功率

29、为 ，就是说噪声方差 为 第78页/共85页79第3章 随机过程带通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为式中fc 中心频率，B 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为第79页/共85页80第3章 随机过程自相关函数第80页/共85页81第3章 随机过程带通白噪声的功率谱从图可以看出，带通噪声的带宽为B，平均功率为 ，就是说噪声方差 为 第81页/共85页82第3章 随机过程窄带高斯白噪声通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特

30、性见3.5节。平均功率 第82页/共85页83第3章 随机过程小 结1.掌握随机过程数字特征的定义。2.理解广义平稳，狭义平稳，各态历经性的定义及物理意义。3.了解平稳随机过程的相关函数与功率谱密度之间的关系，自相关函数的性质。4.掌握一维高斯分布，了解高斯过程性质。5.了解概率积分，误差函数的定义及相互关系。6.了解窄带过程的正交及包络，相位的表示法，包络相位的一维分布。7.了解正弦波加窄带高斯噪声的一维分布。8.掌握机过程通过线性系统的数字特征，功率谱密度，相关函数的关系。第83页/共85页84第3章 随机过程作 业3.2节：3、5、63.3节：83.4节：9、14 第84页/共85页85感谢您的观看！第85页/共85页