数字信号处理有限脉冲响应数字滤波器的设计.pptx

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1、2023/3/2517.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，传输函数为(7.1.1)(7.1.2)第1页/共82页2023/3/252式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即()=,为常数(7.1.3)如果()满足下式：()=0-,0是起始相位(7.1.4)严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，

2、即第2页/共82页2023/3/253也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)第3页/共82页2023/3/254(1)第一类线性相位条件证明：将(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有(7.1.7)第4页/共82页2023/3/255按照上式可以将H(z)表示为 将z=e j代入上式

3、，得到：按照(7.1.2)式，幅度函数Hg()和相位函数分别为(7.1.8)(7.1.9)第5页/共82页2023/3/256(2)第二类线性相位条件证明：(7.1.10)令m=N-n-1,则有 同样可以表示为第6页/共82页2023/3/257因此，幅度函数和相位函数分别为(7.1.11)(7.1.12)第7页/共82页2023/3/258第8页/共82页2023/3/259第9页/共82页2023/3/25102.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式，幅度函数Hg()为 式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-

4、1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为第10页/共82页2023/3/2511令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13)(7.1.14)式中 第11页/共82页2023/3/2512按照(7.1.13)式，由于式中cosn项对=0,2皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对=0,2是偶对称的。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。第12页/共82页2023/3/25133)h(n)=-h(N-n-1),N=

5、奇数将(7.1.11)式重写如下：令m=N/2-n,则有(7.1.15)(7.1.16)第13页/共82页2023/3/25144)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：令m=(N-1)/2-n，则有(7.1.17)(7.1.18)令m=N/2-n,则有第14页/共82页2023/3/2515(7.1.19)(7.1.20)第15页/共82页2023/3/25163.线性相位FIR滤波器零点分布特点第 一 类 和 第 二 类 线 性 相 位 的 系 统 函 数 分 别 满 足(7.1.7)式 和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：(7.1.21)图7.1.1 线

6、性相位FIR滤波器零点分布 第16页/共82页2023/3/25174.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有第17页/共82页2023/3/2518(7.1.22)如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，(7.1.23)第18页/共82页2023/3/2519图7.1.2 第一类线性相位网络结构第19页/共82页2023/3/2520图7.1.3 第二类线性相位网络结构第20页/共82页2023/3/25217.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此第21页/共82页2023/

7、3/2522相应的单位取样响应h-d(n)为(7.2.1)(7.2.2)为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将h-d(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)第22页/共82页2023/3/2523我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第23页/共82页2023/3/2524以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以展为傅氏级数，即对(7.2.3)式进行傅里叶变换，

8、根据复卷积定理，得到：(7.2.4)式中，Hd(e j)和RN(e j)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即(7.2.5)第24页/共82页2023/3/2525RN()称为矩形窗的幅度函数；将Ha(ej)写成下式：按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：第25页/共82页2023/3/2526将H(ej)写成下式：(7.2.6)第26页/共82页2023/3/2527 图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响 第27页/共82页2023/3/2528通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H()和

9、原理想低通Hd()差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似为第28页/共82页2023/3/2529下面介绍几种常用的窗函数。设h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为第29页/共82页2023/3/25302.三角形窗(BartlettWindow)(7.2.

10、8)其频率响应为(7.2.9)第30页/共82页2023/3/25313.汉宁(Hanning)窗升余弦窗当N1时，N-1N，第31页/共82页2023/3/2532图7.2.3 汉宁窗的幅度特性第32页/共82页2023/3/25334.哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗(7.2.11)其频域函数WHm(e j)为其幅度函数WHm()为当N1时，可近似表示为第33页/共82页2023/3/25345.布莱克曼(Blackman)窗(7.2.13)其频域函数为其幅度函数为(7.2.14)第34页/共82页2023/3/2535图7.2.4 常用的窗函数第35页/共82页2023/3/253

11、6 图7.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗 第36页/共82页2023/3/2537 图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗第37页/共82页2023/3/25386.凯塞贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)式中 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：第38页/共82页2023/3/2539一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主

12、瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4，如有，再在该点附近找出局部极值点，并用该点代替原来的点。(3)利用和第二步相同的方法，把各频率处使|E()|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。第70页/共82页2023/3/2571图7.4.2 雷米兹算法流程图第71页/共82页2023/3/25723.线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性H-g()分别如下式：奇数 奇数 偶数 偶数 第72页/共82页2023/3/2573经过推导可把H-g()统一表示为Hg()=Q()P()(7.4.13)式中，P()是系数不同的余弦组合式，

13、Q()是不同的常数，四种情况的Q()和P()如表7.4.1所示。第73页/共82页2023/3/2574表7.4.1 线性相位FIR滤波器四种情况 第74页/共82页2023/3/2575表中、和与原系数b(n)，c(n)和d(n)之间关系如下：(7.4.14)第75页/共82页2023/3/2576(7.4.15)(7.4.16)第76页/共82页2023/3/2577将(7.4.13)式代入(7.4.3)式，得到:(7.4.17)(7.4.18)第77页/共82页2023/3/2578图7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位 FIR滤波器程序框图第78页/共82页2023/3/2579

14、图7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性第79页/共82页2023/3/25807.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 首先，从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。第80页/共82页2023/3/2581从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。第81页/共82页2023/3/25课件82感谢您的观看。第82页/共82页