线性代数 行列式的性质幻灯片.ppt

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1、线性代数 行列式的性质第1页，共30页，编辑于2022年，星期一性质性质2.互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式的值变号行列式的值变号.i 行行k行行2第2页，共30页，编辑于2022年，星期一推论：推论：如果行列式如果行列式某两行（列）对应元素相同，某两行（列）对应元素相同，则行列式的值为零。则行列式的值为零。例例1 计算计算如如3第3页，共30页，编辑于2022年，星期一性质性质3.如果行列式如果行列式某行某行(列列)所有元素都乘数所有元素都乘数 k，等于数，等于数 k 乘此行列式。乘此行列式。推论推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以行列式的某一行（列）中所有元

2、素的公因子可以提到行列式的外面提到行列式的外面推论推论2 行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为0.4第4页，共30页，编辑于2022年，星期一例例2 计算计算推论推论3行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零此行列式的值为零证明证明i 行行j行行5第5页，共30页，编辑于2022年，星期一性质性质4(拆分性质拆分性质).若行列式若行列式某行（列）元素为某行（列）元素为两数之和，两数之和，则可拆成则可拆成两行列式两行列式的的和。和。注注：此性质可进一步推广此性质可进一步推广。6第6页，共3

3、0页，编辑于2022年，星期一性质性质5(乘加法则乘加法则).把行列式的把行列式的某行某行(列列)的的各元素各元素乘以乘以不不为零的数为零的数 k 后加到另一行后加到另一行(列列)的对应元素上，行列式值的不的对应元素上，行列式值的不变。变。7第7页，共30页，编辑于2022年，星期一证明：将第j行拆分=左边8第8页，共30页，编辑于2022年，星期一【分析】【分析】利用行列式性质化为三角形行列式。利用行列式性质化为三角形行列式。例例3 3 计算四阶行列式计算四阶行列式9第9页，共30页，编辑于2022年，星期一【总结】【总结】化上三角形行列式的基本步骤：化上三角形行列式的基本步骤：如果第一行第

4、一个元素为如果第一行第一个元素为0 0，先将第一行（列）与其他行（列）交换，先将第一行（列）与其他行（列）交换，使得第一行第一个元素不为使得第一行第一个元素不为0 0，注意符号注意符号；然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列的然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为元素除了第一个元素外其余元素全为0 0；再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行列式，依次再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对角线上元素乘积就是行列做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对角线上元素乘

5、积就是行列式的值。式的值。练习练习 计算行列式计算行列式10第10页，共30页，编辑于2022年，星期一解解11第11页，共30页，编辑于2022年，星期一12第12页，共30页，编辑于2022年，星期一13第13页，共30页，编辑于2022年，星期一14第14页，共30页，编辑于2022年，星期一 利用性质计算行列式利用性质计算行列式2.手段：手段：观察行列式的特点，元素的规律，利用行观察行列式的特点，元素的规律，利用行列式性质，植树造列式性质，植树造“0”，化简行列式。化简行列式。1.目标：目标：化为三角形行列式；化为三角形行列式；0*0*0*0*,15第15页，共30页，编辑于2022年

6、，星期一1 计算计算解：解：练习练习 16第16页，共30页，编辑于2022年，星期一2 计算计算【分析】【分析】除主对角线元素外，其他元素都相等，可以利除主对角线元素外，其他元素都相等，可以利用乘加法则化出一些用乘加法则化出一些0。17第17页，共30页，编辑于2022年，星期一3.计算计算法一法一：同：同 题题2的解法。的解法。法二法二：由于各行：由于各行(列列)元素之和相等，将每行元素之和相等，将每行(列列)各各元素加到第一行元素加到第一行(列列)，则第一行，则第一行(列列)元素相同，元素相同，从而可以从而可以提取公因子提取公因子。该方法具有普遍性。该方法具有普遍性。18第18页，共30

7、页，编辑于2022年，星期一4、计算计算19第19页，共30页，编辑于2022年，星期一【注】【注】形如形如的箭头形（或爪形）行列式，可利用性质将其的箭头形（或爪形）行列式，可利用性质将其一条边化出若干一条边化出若干0，得三角形行列式。，得三角形行列式。,20第20页，共30页，编辑于2022年，星期一5、计算计算【分析】【分析】相邻两行有部分相同的对应元素，而且，相邻两行有部分相同的对应元素，而且，越往下相邻两行相同的元素越多。越往下相邻两行相同的元素越多。21第21页，共30页，编辑于2022年，星期一6 6、计算计算n阶行列式阶行列式解解第i列提取(课下练习)22第22页，共30页，编辑

8、于2022年，星期一23第23页，共30页，编辑于2022年，星期一24第24页，共30页，编辑于2022年，星期一解解7 7、计算计算【注】【注】行列式的计算，方法不是唯一的。行列式的计算，方法不是唯一的。(课下练习)25第25页，共30页，编辑于2022年，星期一性质性质1.1.行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质2.互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式的值变号行列式的值变号.性质性质3.如果如果行列式行列式某行某行(列列)所有元素都乘数所有元素都乘数 k，等于数，等于数 k 乘此行列式。乘此行列式。推论推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子

9、行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面可以提到行列式的外面推论推论2 行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为为0.推论推论3行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零此行列式的值为零【小结】【小结】26第26页，共30页，编辑于2022年，星期一性质性质4(拆分性质拆分性质).若行列式若行列式某行（列）元素为两数和，则某行（列）元素为两数和，则可拆成两行列式的和。可拆成两行列式的和。性质性质5(乘加法则乘加法则).把行列式的把行列式的某行某行(列列)的的各元素各元素乘以不为乘以不为零的数零的数 k 后加到另一行后加到另一行(列列)的对应元素上，行列式值的的对应元素上，行列式值的不变。不变。27第27页，共30页，编辑于2022年，星期一作业作业 习题一习题一8(3)(4),9(2),10(3)(4),11(2)(3)(4),12(2)(3),13(2)28第28页，共30页，编辑于2022年，星期一思考题思考题29第29页，共30页，编辑于2022年，星期一解解30第30页，共30页，编辑于2022年，星期一