线性代数基本问题的软件实现幻灯片.ppt

《线性代数基本问题的软件实现幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数基本问题的软件实现幻灯片.ppt（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线性代数基本问题的软件实现第1页，共30页，编辑于2022年，星期一一、构造矩阵一、构造矩阵1、输入和构造矩阵矩阵是一个数表，在Mathematica中构造并输入一个已知矩阵就相当于构造一个表。例如，键入 tt=a,b,c在Mathematica中就构造了一个名为tt的3维向量a,b,c；键入t0=1，2，3，4，5，6则得到一个名为t0的2行3列的矩阵。第2页，共30页，编辑于2022年，星期一2、也可利用工具栏或菜单输入矩阵点击工具栏上的矩阵输入的工具，就会得到一个二行二列的矩阵输入框，若不是二行二列的矩阵，可通过按Ctrl+Enter键增加一行，按Ctrl+,键增加一列，用鼠标选定一行（

2、或一列），按Del键可删除一行(或一列）。通过这样的操作，就可输入任意一个矩阵。下面的图演示了这个过程。第3页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第4页，共30页，编辑于2022年，星期一矩阵的输出默认是数表形式，也可利用MatrixForm命令将其输出为矩阵想形式。如果要访问一个矩阵的某一个元素，比如t0的第一行第二列元素，用t01,2就代表该元素。第5页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第6页，共30页，编辑于2022年，星期一3、利用系统函数生成矩阵Mathematica提供了很多生成向量和矩阵的命令，简述如下表所示。命令功能Tablef,i,n用f生成包含n个元素的向量Arr

3、aya,n生成一个a1,a2,an的向量Rangen生成一个1,2,n的向量Rangem,n生成一个m,m+1,n的向量Rangem,n,d生成一个m,m+d,n的向量Lengthlist计算向量的长度第7页，共30页，编辑于2022年，星期一命令功能Tablef,i,m,j,n生成一个mn矩阵Arraya,m,n生成一个mn矩阵,元素为a(i,j)DiagonalMatrixlist对角矩阵，以list为对角线元素IdentityMatrixn生成一个nn单位矩阵Partlist,i 或listi提取矩阵的第i行Partlist,i,j或listi,j提取矩阵的第i行第j列元素Dimensi

4、onslist矩阵的阶数第8页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第9页，共30页，编辑于2022年，星期一示例（续）第10页，共30页，编辑于2022年，星期一二、矩阵的基本运算 矩阵运算是线性代数的基本内容。常规的矩阵运算有矩阵的加减法、数乘、乘法、行列式，转置和逆矩阵等。在Mathematica中只要一个运算符或调用一个函数即可完成上述运算下表给出了矩阵加法和乘法的一般形式 第11页，共30页，编辑于2022年，星期一矩矩阵阵基本运算基本运算说说明明A+cA为矩阵，c为标量，c与A中每个元素相加A+BA,B为同类型矩阵或向量,A与B的对应元素相加c AA为矩阵，c为标量,c与A中每个

5、元素相乘A.B矩阵A与B相乘，要求A的列数等于B的行数u.v向量u与v的内积（行向量乘列向量）OuterTimes,u,v列向量u乘行向量vCrossu,v向量u与v的外积(对三维向量而言，即为向量积)第12页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第13页，共30页，编辑于2022年，星期一示例（续）第14页，共30页，编辑于2022年，星期一二、矩阵的运算下表列出矩阵的其他一些运算矩矩阵阵运算函数运算函数说说明明DetA计算方阵A的行列式TransposeA表示A的转置矩阵InverseA表示A的逆矩阵MinorsA，k 给出A的所有k阶子式，返回结果为一个表TrA计算A的迹(4.0版)M

6、atrixPowerA,n表示An RowReduceA给出用行初等变换将矩阵A化为规范的阶梯形矩阵。显然，此运算可求出矩阵A的秩。此函数也可归属解方程组函数第15页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第16页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第17页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第18页，共30页，编辑于2022年，星期一示例求下列矩阵的秩及行向量组的一个极大无关组，并将其余行向量表成它的线性组合：Mathematica没有直接求矩阵秩的函数，但我们可以通过RowReduce函数求出行最简形，从而求出矩阵的秩。注意由于是求行向量组的极大无关组，所以应求AT的出行最简形。第

7、19页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第20页，共30页，编辑于2022年，星期一三、求解线性系统对于线性方程组Ax=b，若方程组有惟一解，由用Solve函数即可求解。但更好的方法是用NullSpace函数和LinearSolve函数。首先用NullSpace函数求出Ax=0的基础解系，再用LinearSolve函数求出Ax=b的一个解（如果存在的话），由此就可求出Ax=b的通解。第21页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第22页，共30页，编辑于2022年，星期一示例（续）第23页，共30页，编辑于2022年，星期一四、特征值与特征向量下表列出求特征值与特征向量的函数矩矩阵阵运

8、算函数运算函数说说明明EigenvaluesA计算A的特征值(准确形式，结果为一个表)EigenvectorsA计算A的特征向量(准确形式，结果为一个表)Eigensystem A给出A的特征值,特征向量的一个表 EigenvaluesNA计算A的特征值(数值解，结果为一个表)EigenvectorsNA 计算A的特征向量(数值解，结果为一个表)第24页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第25页，共30页，编辑于2022年，星期一示例（续）第26页，共30页，编辑于2022年，星期一五、向量正交化运算向量正交化运算 在Mathematica的LinearAlgebraOrthogonalization程序包中有对向量单位化和对一组向量正交化的函数。下面仅列出施密特正交化函数。向量正交化运算函数向量正交化运算函数说说明明GramSchmidtv1,v2,，将向量组v1,v2,单位正交化 第27页，共30页，编辑于2022年，星期一示例第28页，共30页，编辑于2022年，星期一例试求一个正交变换，将二次型化为标准形式第29页，共30页，编辑于2022年，星期一示例（续）第30页，共30页，编辑于2022年，星期一