数学模型第四简单的优化模型.pptx

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1、 现实世界中普遍存在着现实世界中普遍存在着优化问题优化问题.建立静态优化模型的关键之一是根据建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的建模目的确定恰当的目标函数目标函数.求解静态优化模型一般用求解静态优化模型一般用微分法微分法.静态优化问题指静态优化问题指最优解是数最优解是数(不是函数不是函数).简单的优化模型简单的优化模型(静态优化静态优化)第1页/共60页3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费.该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存

2、费每日每件1元.试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.要要求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系.第2页/共60页问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次,每次每次100件件,无贮存费无贮存费,准备费准备费5000元元.日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元元.10天生产一次天生产一次,每次每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元元.50天生产一次天生产一次,每次每次50

3、00件件,贮存费贮存费4900+4800+100=122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元元.平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次天生产一次,平均每天费用最小吗平均每天费用最小吗?每天费用每天费用5000元元第3页/共60页 这是一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值.周期短，产量小 周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费

4、用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.第4页/共60页模模 型型 假假 设设1.产品每天的需求量为常数 r；2.每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费为 c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设 r,c1,c2 已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小.4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.第5页/共60页模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均每天总费用

5、平均值（目标函数）值（目标函数）离散问题连续化离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2第6页/共60页模型求解模型求解求 T 使模型解释模型解释定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析参数参数c1,c2,r的微小变化对的微小变化对T,Q的影响的影响T对对c1的的(相相对对)敏感度敏感度 c1增加增加1%,T增加增加0.5%S(T,c2)=1/2,S(T,r)=1/2c2或或r增加增加1%,T减少减少0.5%第7页/共60页经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）用于订货供应情况用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型模型应用模型应用T=10(天),Q=1000(件),C

6、=1000(元)回答原问题回答原问题c1=5000,c2=1，r=100 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2,T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.思考:为什么与前面计算的C=950元有差别?第8页/共60页允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型ABOqQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失.原模型假设：原模型假设：贮存量降到零时贮存量降到零时Q件立即生产出来件立即生产出来(或立即到货或立即到货).现假设：现假设：允许缺货允许缺货,每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3,缺货需补足缺

7、货需补足.T周期周期T,t=T1贮存量降到零贮存量降到零一周期总费用一周期总费用一周期一周期贮存费贮存费一周期一周期缺货费缺货费第9页/共60页每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用一周期总费用求 T,Q 使为与不允许缺货的存贮模型为与不允许缺货的存贮模型相比，相比，T T记作记作TT,Q Q记作记作Q Q.允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型第10页/共60页不允许不允许缺货缺货模型模型记记允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货第11页/共60页允许允许缺货缺货模型模型OqQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮每周期初的存贮量量R每周期的生产量每周期的生产量

8、R（或订货量）（或订货量）Q不允许缺货时的产量(或订货量)第12页/共60页存存 贮贮 模模 型型 存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础,也有实际应用.建模中未考虑生产费用,为什么?在什么条件下可以不考虑(习题1)?建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计),如果生产能力有限(大于需求量的常数),应作怎样的改动(习题2)?第13页/共60页3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80kg重的生猪体重增加重的生猪体重增加2kg.问问题题市场价格目前为市场价格目前为8元元/kg，

9、但是，但是预测预测每天会降低每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售元，问生猪应何时出售?如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响有误差，对结果有何影响?分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.第14页/共60页求求 t 使使Q(t)最大最大10天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元.建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=RC估计估计r=2，

10、若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1=pw 4t第15页/共60页敏感性分析敏感性分析研究研究 r,g微小变化时对模型结果的影响微小变化时对模型结果的影响.估计估计r=2，g=0.1 设设g=0.1不变不变 t 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪每天增加的体重生猪每天增加的体重 r 变大变大1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%.rt第16页/共60页敏感性分析敏感性分析估计估计r=2，g=0.1研究研究 r,g微小变化时对模型结果的影响微小变化时对模型结果的影响.设设r=2不变不变 t 对对g的（相

11、对）敏感度的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低生猪价格每天的降低g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%.gt第17页/共60页强健性分析强健性分析保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售.由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 ,再作计算再作计算.研究研究 r,g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响.w=80+rt w=w(t)p=8gt p=p(t)若若 (10%),则则 （30%）每天收入的增值每天收入的增值 每天投入的资金每天投入的资金 利润第18页/共60页3.3 森林救火森林救

12、火森林失火后，要确定派出消防队员的数量森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间决定

13、由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最小之和最小.第19页/共60页 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.t1t2OtBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论单位时间转而讨论单位时间烧毁面积烧毁面积 dB/dt(森林烧毁的速度森林烧毁的速度).第20页/共60页模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt

14、与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度火势蔓延速度).2）t1 t t2,降为降为 x(为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度速度).4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3.假设假设1）的解释）的解释 rB火势以失火点为中心，均匀向四火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径周呈圆形蔓延，半径 r与与 t 成正比成正比.面积面积 B与与 t2 成正比成正比dB/dt与 t 成正比第21页/共60页模型建立模型建立bOt1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）第22页/共60页模型建立模型建立目标函

15、数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果解释结果解释 /是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数其中其中 c1,c2,c3,t1,为已知参数为已知参数bOt1t2t第23页/共60页模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估计可估计,c2 x c1,t1,x c3,x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻,火火势蔓延速度势蔓延速度,每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么?,可可设置一

16、系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量 x第24页/共60页3.4 消费者消费者的选择的选择背景背景消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱，选择购买若干种需要的商品.根据经济学的一条最优化原理“消费者追求最大效用”，用数学建模的方法帮助消费者决定他的选择.假定只有甲乙两种商品供消费者购买，建立的模型可以推广到任意多种商品的情况.第25页/共60页当消费者购得数量分别为x1,x2的甲乙两种商品时，得到的效用可用函数u(x1,x2)度量，称为效用函数.效用函数效用函数 利用等高线概念在x1,x2平面上画出函数u 的等值线,u(x1,x2)=c 称为等效用线等效用线就是等效用线就

17、是“实物交换模型实物交换模型”中中的的无差别曲线无差别曲线，效，效用就是那里的用就是那里的满意满意度度.Ox2u(x1,x2)=cx1c增加增加 一族单调减、下凸、互不相交的曲线.第26页/共60页效用最大化模型效用最大化模型 p1,p2甲乙两种商品的单价,y消费者准备付出的钱 x1,x2 购得甲乙两种商品数量QABy/p2y/p1x1x2几何分析几何分析 x2u(x1,x2)=cx1Oc增加增加u(x1,x2)=c 单调减、下凸、互不相交.在条件 p1 x1+p2 x2=y 下使效用函数u(x1,x2)最大.AB必与一条等效用线相切于Q点(消费点).Q(x1,x2)唯一.消费线AB第27页/

18、共60页模型求解模型求解引入拉格朗日乘子构造函数与几何分析得到的 Q 一致等效用线u(x1,x2)=c的斜率 消费线AB的斜率第28页/共60页结果结果解释解释效用函数效用函数的构造的构造等效用线等效用线u(x1,x2)=c 所确定的函数所确定的函数 x2(x1)单调减、下凸单调减、下凸.解释条件中正负号的实际意义解释条件中正负号的实际意义充分条件当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大.边际效用商品数量 增加一个单位时效用的增量 第29页/共60页效用函数效用函数u(x1,x2)几种常用的形式几种常用的形式 购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根购买两种商品费用之比与二者价格之比

19、的平方根成正比成正比,比例系数是参数比例系数是参数与与之比的平方根之比的平方根.u(x1,x2)中参数中参数 ,分别度量甲乙两种商品对消费分别度量甲乙两种商品对消费者的效用，或者消费者对甲乙两种商品的偏爱者的效用，或者消费者对甲乙两种商品的偏爱.第30页/共60页 购买两种商品费用之比购买两种商品费用之比只取决于只取决于,与价格无关与价格无关.u(x1,x2)中中,分别分别度量两种商品的效用或者度量两种商品的效用或者偏爱偏爱.实际应用时实际应用时根据对最优解的分析，决定采用根据对最优解的分析，决定采用哪种效用函数，并由经验数据确定其参数哪种效用函数，并由经验数据确定其参数.效用函数效用函数u(

20、x1,x2)几种常用的形式几种常用的形式第31页/共60页效用最大化模型应用举例效用最大化模型应用举例 例例1 1 征销售税还是征收入税征销售税还是征收入税 政府从消费者身上征税的两种办法:销售税 根据消费者购买若干种商品时花的钱征税 收入税 根据消费者的收入征收所得税 利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 征税前设甲乙两种商品的单价为p1,p2，消费者准备花的钱为y,等效用线为u(x1,x2)=c，消费点为Q(x1,x2).第32页/共60页l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1,x2)=cOx2x1l 例例1 1 征销售税还是征收入

21、税征销售税还是征收入税 对甲商品征销售税,税率为p0 征税前的消费点Q 消费线AB1,B1在B的左边 AB1与l1相切于Q1(x1*,x2*)若改为征 收入税 政府得到的销售税额 p0 x1*征收的税额与销售税额 p0 x1*相同 消费线A2B2与l2相切于Q2,可证B2在B1的右边.l2在l1上？l2在l1下？如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1,对消费者来说征收入税比征销售税好.第33页/共60页例例2 价格补贴给生产者还是消费者价格补贴给生产者还是消费者政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取的两种价格补贴办法：把补贴款直接给生产者 把补贴款发给消费者而让商品涨价 鼓励商

22、品生产,对消费者无影响 让甲商品价格涨到p1+p0,补贴消费者多花的钱 p0 x1*,使仍达到消费点Q lQABu(x1,x2)=cOx1x2lQABx1x2补贴前的消费点Q 消费线 过Q,与l相切于Q 的效用函数值大于Qx1 x2*对消费者更有利 对甲商品生产不利第34页/共60页3.5 生产者的决策生产者的决策背景背景根据经济学的又一条最优化原理“生产者追求最大利润”，用数学建模的方法帮助生产者或供销商做出决策.生产者或供销商根据产品的成本和产值决定投入，按照商品的销售情况制订价格.在市场经济中“消费者追求最大效用”，生产者呢？第35页/共60页最大利润模型最大利润模型 x产品产量f(x)

23、边际产值 x变化一个单位时产值的改变量 c(x)边际成本 x变化一个单位时成本的改变量最大利润在边际产值等于边际成本时达到最大利润在边际产值等于边际成本时达到.假定产品可以全部销售出去变成收入 f(x)产值(收入),c(x)成本 利润 达到最大利润的产量 x*第36页/共60页在产品可以全部销售出去的条件下确定商品价格，在产品可以全部销售出去的条件下确定商品价格，使利润最大使利润最大.产量产量x等于销量，数量无限制等于销量，数量无限制.收入与收入与x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格.成本成本与与 x 成正比，系数成正比，系数 c 即即边际成本边际成本.销量销量x 依于价格依于价格

24、p,x(p)是减函数是减函数.简化假设简化假设求求p使使 r(p)最大最大最优定价模型最优定价模型 利润利润第37页/共60页c/2 成本的一半成本的一半b 弹性系数弹性系数价格上升价格上升1单位时销量的下降幅度单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）（需求对价格的敏感度）a 绝对需求绝对需求(p很小时的需求很小时的需求)b p*a p*a,b可可由由p和和x的统计数据作拟合得到的统计数据作拟合得到 利润达到最大的定价利润利润最优定价模型最优定价模型 第38页/共60页投资费用一定下的产值最大模型投资费用一定下的产值最大模型 x1,x2 甲乙产品的产量c1,c2 甲乙产品的单位成本s总投资费

25、用f(x1,x2)产值函数 在条件 下求x1,x2使产值 f(x1,x2)最大.QABs/c2s/c1x1x2x2f(x1,x2)=vx1Ov增加增加等产值线f(x1,x2)=v单调减、下凸、互不相交.几何分析几何分析 投资线AB必与一条等产值线相切于Q点.与效用最大化模型类似下凸稀缺产品的产值更高 第39页/共60页投资费用一定下的产值最大模型投资费用一定下的产值最大模型 最优解(x1,x2)满足 在条件 下求x1,x2使产值 f(x1,x2)最大.用拉格朗日乘子法求条件极值边际产值当两种产品的边际产值之比等于它们的当两种产品的边际产值之比等于它们的价格之比时，产值达到最大价格之比时，产值达

26、到最大.第40页/共60页产值最大与费用最小的对偶关系产值最大与费用最小的对偶关系 x=(x1,x2)T,c=(c1,c2)投资费用一定的产值最大模型 g(s,c)给定的单位成本c下费用不超过s的最大产值.产值一定的投资费用最小模型 s(v,c)给定的单位成本c下产值不低于v的最小费用.对偶极值问题对偶极值问题 只要解决其中之一,另一个就迎刃而解 成本函数是简单的线性函数 c(x).产值函数f(x)在实际生产过程中常常难以确定.第41页/共60页从成本函数确定产值函数的图解法产值最大与费用最小对偶关系的应用产值最大与费用最小对偶关系的应用 Qf(x)vlABOx1x2 给定v和c求得最小费用s

27、(v,c)=s 画出直线AB:cx=sx=(x1,x2)T,c=(c1,c2)f(x)v的点在AB上方,且AB上有一点Q位于l:f(x)=v上 改变c重复上述过程,得到一系列不同斜率的直线 区域f(x)v在直线上方,其边界是等产值线l:f(x)=v 包包络络线线 改变v重复上述过程,得到一系列等产值线 第42页/共60页3.6 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动.给血管壁以营养给血管壁以营养.克服血液流动的阻力克服血液流动的阻力.消耗能量与取决于血管的几何形状消耗能量与取决于血管的几何形状.在长期进化中动物血管的几何形状已经在长期

28、进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则达到能量最小原则.研究在能量最小原则下，血管分支处研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度粗细血管半径比例和分岔角度.问问题题第43页/共60页模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面.血液流动近似于黏性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于黏性流体在刚性管道中的运动.血液给血管壁的能量随管血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度加而增加，管壁厚度d近近似与血管半径似与血管半径r成正比成正比.qq1q1ABBCHLll1

29、rr1 q=2q1r/r1,?考察血管考察血管AC与与CB,CB第44页/共60页黏性流体在刚黏性流体在刚性管道中运动性管道中运动 pA,C压力差，压力差，黏性系数黏性系数克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量E1 提供营养消耗能量提供营养消耗能量E2 管壁内表面积管壁内表面积 2 rl管壁体积管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设qq1q1ABBCHLll1rr1 第45页/共60页模型建立模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量机体为血流提供能量第46页/共60页模型求

30、解模型求解qq1q1ABBCHLll1rr1 第47页/共60页模型模型解释解释生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax,毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 观察：狗的血管观察：狗的血管血管总条数血管总条数推论推论n=？第48页/共60页3.7 冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米的成本为每立方米0.1英镑英镑.专家建议从专家建议从9600km远的南极用拖船远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水运送冰山，取代淡化海水.从经济角度研究冰山运输

31、的可行性从经济角度研究冰山运输的可行性.建模准备建模准备1.日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑）最大运量（最大运量（m3）4.06.28.05 105106107第49页/共60页2.燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/km）3.融化速率（融化速率（m/天）天）与南极距离与南极距离(km)船速船速(km/h)0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(m3)船速船速(km/h)105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 1

32、9.8建模准备建模准备第50页/共60页建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较.模型模型假设假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600km.冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同.到达目的地后到达目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85m3水水.建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型

33、船型,船速船速船型船型船型船型,船速船速船型船型第51页/共60页第第t天融天融化速率化速率模模型型建建立立1.冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u(km/h)与南极距离与南极距离d(km)融化速率融化速率r(m/天）天）r是是 u 的线性函数的线性函数d4000时时u与与d无关无关航行航行 t 天天,d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd第52页/共60页1.冰山融化规律冰山融化规律 冰山初始半径冰山初始半径R0，航行，航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积t天时体积天时体积总航行天数总航行天数选定选定u,V0

34、,航行航行t天时冰山体积天时冰山体积到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积第53页/共60页2.燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/km)q1对对u线性线性,对对lgV 线性线性选定选定u,V0,航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q(英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用第54页/共60页 V0 5 105 106 107 f(V0)4.0 6.2 8.0 3.运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山初始体积冰山初始体积V0的日的日租金租金 f

35、(V0)（英镑）（英镑）航行天数航行天数总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用冰山运输总费用冰山运输总费用第55页/共60页冰山到达目的地冰山到达目的地后得到的水体积后得到的水体积3.运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每立方运送每立方米水费用米水费用 到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积第56页/共60页模型求解模型求解选择船型和船速选择船型和船速,使冰山到达目使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(km/h),V0=107(m3)，Y(u,V0)最小最小V0只能取离

36、散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用）用枚举法枚举法计算计算第57页/共60页结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0).有关部门认为，只有当计算出的有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水

37、的成本时，才考虑其可行性低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.大型拖船大型拖船V0=107(m3),船速船速 u=45(km/h),冰山到达目冰山到达目的地后每立方米水的费用的地后每立方米水的费用 Y(u,V0)约约0.065(英镑英镑).虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙但是模型假设和构造非常简化与粗糙.第58页/共60页冰冰 山山 运运 输输 模型来自实际问题的可行性研究模型来自实际问题的可行性研究.收集数据是建模的重要准备工作收集数据是建模的重要准备工作.根据数据得到的经验公式是建模的基础根据数据得到的经验公式是建模的基础.冰山形状的球形假设简化了计算冰山形状的球形假设简化了计算,这个这个假设的合理性如何假设的合理性如何?如果改变它呢如果改变它呢?第59页/共60页感谢您的观看。第60页/共60页