线性代数方程组的高斯消元法幻灯片.ppt
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1、线性代数方程组的高斯消元法第1页,共30页,编辑于2022年,星期一其中其中未知量未知量第第i个方程第个方程第j个个未知量未知量xj的系数的系数常数项常数项全为全为0齐齐次次线线性性方方程程组组否则为非齐次否则为非齐次线性方程组线性方程组第2页,共30页,编辑于2022年,星期一上述线性方程组表示成矩阵形式为上述线性方程组表示成矩阵形式为系数矩阵系数矩阵未知量列向量未知量列向量常数项列向量常数项列向量问题:问题:(1)方程组是否有解方程组是否有解?(2)如果有解如果有解,它有多少解它有多少解?如何求出如何求出 它的所有解它的所有解?为增广矩阵为增广矩阵 高斯消元法就是对方程组作初等变换高斯消元
2、法就是对方程组作初等变换,将其将其 化成同解的阶梯形方程组化成同解的阶梯形方程组.也就是对方程组的增也就是对方程组的增 广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵,再化为再化为 最简形最简形,然后写出对应的解然后写出对应的解.第3页,共30页,编辑于2022年,星期一例例1解线性方程组解线性方程组解解初等行变换第4页,共30页,编辑于2022年,星期一原方程组与矩阵原方程组与矩阵A对应的方程组同解对应的方程组同解,于是可得于是可得例例2解线性方程组解线性方程组第5页,共30页,编辑于2022年,星期一解解初等行变换以以A1的非零行为增广矩阵的线性方程组为的非零行为增广
3、矩阵的线性方程组为可以看出可以看出,每给定每给定x2一个值一个值,唯一的求出唯一的求出x1,x3的一的一组值组值,而而 x2可取任意实数可取任意实数,所以方程组有无数解所以方程组有无数解.自由未知量第6页,共30页,编辑于2022年,星期一方程组的所有解可表示为方程组的所有解可表示为:自由未知量例例3解线性方程组解线性方程组第7页,共30页,编辑于2022年,星期一解解初等行变换以以 为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为 0=1这是一个这是一个矛盾矛盾方程方程,因此原方程组因此原方程组无解无解.综上所述综上所述,线性方程组的解有三种可能的情线性方程组的解
4、有三种可能的情况况:唯一解唯一解,无解无解,无穷多解无穷多解.第8页,共30页,编辑于2022年,星期一 一般地,给出线性方程组一般地,给出线性方程组 Ax=b,用初等行变,用初等行变换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.第9页,共30页,编辑于2022年,星期一其中其中与之对应的阶梯与之对应的阶梯形方程组为形方程组为(3-21)第10页,共30页,编辑于2022年,星期一方程组方程组(3-21)和原方程组和原方程组 Ax=b 同解同解.对于方程组(对于方程组(3-21)的解分几种情况进行讨论)的解分几种情况进行讨论.第一种:第一种:若若dr+1=0且且r=n时,去掉时,去
5、掉“0=0”形式的形式的多余方程,方程组(多余方程,方程组(3-21)具有形式)具有形式(3-22)第11页,共30页,编辑于2022年,星期一 由可莱姆法则,方程组由可莱姆法则,方程组(3-22)有有唯一解唯一解.即即原方程组原方程组Ax=b有唯一解有唯一解.欲求此唯一解,可继续用初等行变换把阶梯欲求此唯一解,可继续用初等行变换把阶梯 形方程组(形方程组(3-22)的增广矩阵化为)的增广矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵.则则Ax=b 的唯一解为的唯一解为第12页,共30页,编辑于2022年,星期一 在这种情况下,方程组的系数矩阵和增广矩在这种情况下,方程组的系数矩阵和增广矩 阵都有阵都有n个
6、非零行个非零行.矩阵矩阵A与矩阵与矩阵A有相同的秩有相同的秩n.总之,当总之,当R(A)=R(A)=n时,方程组时,方程组Ax=b有有唯一解,唯一解,反之亦然反之亦然.第二种情况第二种情况:若若dr+1=0,且且r n 时时,由由(3-20),对应的阶梯形方程组为对应的阶梯形方程组为(3-23)第13页,共30页,编辑于2022年,星期一 把方程组把方程组(2-23)的增广矩阵进一步化为行最简的增广矩阵进一步化为行最简形矩阵之后形矩阵之后,可以得到可以得到(3-24)其中其中是自由未知量是自由未知量,共有共有(n-r)个个,当这当这(n-r)个自由未知量取不同的值时个自由未知量取不同的值时,就
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