量子力学教程第十三讲.pptx

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1、 4.4 幺正变换 Matrix representation of formula for quantum mechanism学 习 内 容重点难点 幺正变换的基本性质掌握算符和矢量的幺正变换第1页/共15页 如图，两个平面直角坐标系的基矢满足如图，两个平面直角坐标系的基矢满足 a.a.正交归一性：正交归一性：b.b.完完备备性性：(平平面面上上任任何何一一个个矢矢量量均均可可用用它它们展开们展开)先找基矢之间的变换关系。先找基矢之间的变换关系。式中，式中，为基矢之间的变换矩阵。为基矢之间的变换矩阵。4.4 4.4 幺正变换第2页/共15页 因为因为 再来找矢量再来找矢量 在两个不同坐标系中

2、的变换关系。在两个不同坐标系中的变换关系。所以所以 即即 容易验证，变换矩阵容易验证，变换矩阵 满足满足 因为因为 是实矩阵，所以是实矩阵，所以 ，因此，因此 满满足足这这样样性性质质的的矩矩阵阵，称称为为幺幺正正矩矩阵阵，由由它它联联系系的的变变换换称称为为幺幺正正变变换换。第3页/共15页一、A表象与B表象的变换关系（基矢变换）设力学量算符设力学量算符 、的本征方程分别为的本征方程分别为 其中其中 和和 均为正交归一完备系。均为正交归一完备系。将将 按按 展开展开 展开系数为展开系数为 就就是是变变换换矩矩阵阵。通通过过它它可可以以把把 表表象象的的基基矢矢用用 表表象象的的基基矢表示出来

3、。矢表示出来。展开式的矩阵表示为展开式的矩阵表示为 第4页/共15页或简记为或简记为 利用基矢组利用基矢组 的正交归一性，得的正交归一性，得 即即 同理，可以证明同理，可以证明 因此因此 所以，变换矩阵为所以，变换矩阵为幺正矩阵幺正矩阵，它所表示的变换为幺正变换。，它所表示的变换为幺正变换。（矩阵表示）（矩阵表示）第5页/共15页二、力学量算符由A表象到B表象的变换 在在 表象和表象和 表象中，力学量表象中，力学量 的矩阵元公式分别为的矩阵元公式分别为 所以所以 即即 这就是力学量算符这就是力学量算符 由由 表象到表象到 表象的变换公式。表象的变换公式。三、态矢量由A表象到B表象的变换 把任意

4、态矢量把任意态矢量 用用 、展开，即展开，即 （矩阵表示）（矩阵表示）或或 第6页/共15页 态矢量态矢量 在在 表象和表象和 表象中的矩阵形式分别为表象中的矩阵形式分别为 有有 即即 或简记为或简记为（矩阵表示）（矩阵表示）这就是态矢量这就是态矢量 由由 表象到表象到 表象的变换公式。表象的变换公式。第7页/共15页四、幺正变换的重要性质 1 1幺正变换不改变算符的本征值。幺正变换不改变算符的本征值。证明：证明：设算符设算符 在在 表象和表象和 表象中的本征值方程分别为表象中的本征值方程分别为 因为因为 所以所以 2 2幺正变换不改变矩阵的迹幺正变换不改变矩阵的迹 证明：证明：矩阵矩阵 的迹的迹 第8页/共15页一、平均值公式（在Q Q表象）4-3 4-3 量子力学公式的矩阵表示第9页/共15页 第10页/共15页二、本征方程的矩阵表示二、本征方程的矩阵表示(在表象中表示）在表象中表示）第11页/共15页 F与均是矩阵与均是矩阵第12页/共15页解出本征方程的本征值1,2,.n.将本征值分别代入方程(1)可求出对应的本征函数久期方程:第13页/共15页三、薛定谔方程矩阵表示三、薛定谔方程矩阵表示矩阵元公式矩阵元公式第14页/共15页感谢您的观看！第15页/共15页