王孝武主编现代控制理论基础件.pptx

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1、1.1 1.1 状态空间表达式状态、状态变量和状态空间状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻 的值以及 的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻 的状态。（状态变量的选择可以不同）状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。第1页/共84页例例：如下图所示电路，为输入量，为输出量。建立方程：初始条件：和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量第2页/共84页状态空间表达式前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：该

2、方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。第3页/共84页设：则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：其中第4页/共84页第5页/共84页如果矩阵A,B,C,D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系

3、统。第6页/共84页严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。第7页/共84页1.线性定常系统：2.线性时变系统：3.非线性定常系统：4.非线性时变系统：第8页/共84页状态变量的选取（1）状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定（2）状态变量选取的非惟一性（3）系统状态变量的数目是惟一的在前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为输出方程为：第9页/共84页状态空间表达式建立的举例例例1-11-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律即：选择

4、状态变量则：第10页/共84页机械系统的系统方程为该系统的状态图如下第11页/共84页例例1-21-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为系统运动方程式为（式中，为电动势常数；为转矩常数；为折合到电动机轴上的转动惯量；为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）第12页/共84页可选择电枢电流 和角速度 为状态变量，电动机的电枢电压 为输入量，角速度 为输出量。状态空间表达式状态图如下：第13页/共84页例例1-31-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。单级倒立摆系统是控制理论应用的一个典型的对象模型。设小球的重心坐标为：则在水平方向，应用牛顿第二定律：第14页/共84

5、页转动方向的力矩平衡方程式：第15页/共84页而有：线性化：当 和 较小时，有化简后，得求解得：第16页/共84页选择状态变量 ，为系统输入，为系统输出状态图为第17页/共84页1.2 1.2 由微分方程求状态空间表达式一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。这里分两种情况：1、微分方程中不含输入信号导数项，（即中的内容）2、微分方程中含有输入信号导数项，（即中的内容）第18页/共84页微分方程中不含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为选取状态变量则有写成矩阵形式第19页/共84页状态图如下：一般情况下，n 阶微分方程为：

6、选择状态变量如下：第20页/共84页写成矩阵形式：系统的状态图如下：第21页/共84页微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为（一）待定系数法选择状态变量：其中，待定系数为：第22页/共84页于是写成矩阵形式第23页/共84页系统的状态图第24页/共84页一般情况下，n 阶微分方程为：选择 n 个状态变量为系统方程为第25页/共84页系统状态图如下第26页/共84页（二）辅助变量法设 n 阶微分方程为：假设初始条件为零（在分析和设计控制系统时通常都假设初始条件为零），对上式进行Laplace变换，求传递函数引入辅助变量 z第27页/共84页返回到微分方程形式：以及选择状态变量

7、如下：第28页/共84页写成矩阵形式注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。第29页/共84页例例1-41-4 已知描述系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。解解 （1）待定系数法选择状态变量如下其中第30页/共84页于是系统的状态空间表达式为（2）辅助变量法假设初始条件为零,引入辅助变量z选择状态变量第31页/共84页于是系统的状态空间表达式为第32页/共84页1.3 1.3 传递函数矩阵传递函数系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。1.3.1 传递函数单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为在初始松弛时，求Laplace变换，并且

8、化简状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）第33页/共84页因为传递函数A的特征值与传递函数特征根的关系：1.无零极点对消时：A的特征值=传递函数的极点2.有零极点对消时：A的特征值=传递函数的极点+对消的极点由上式可见：传递函数的分母多项式，与求系统矩阵A特征值的方程左边一致。第34页/共84页例例1-51-5 系统状态方程式为求系统传递函数。解解：第35页/共84页传递函数矩阵状态空间表达式为进行拉普拉斯变换如果 存在，则如果 ，则状态变量对输入向量(输入到状态)的传递函数矩阵：第36页/共84页而输出对输入向量(输入到输出)的传递函

9、数矩阵：其结构为式中，表示只有第 j 个输入作用时，第 i 个输出量 对第 j 个输入量 的传递函数。第37页/共84页例例1-71-7 线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。解解第38页/共84页正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）如果当 时，是有限常量，则称有理函数 是正则的。若 ，则称 是严格正则的。非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的，因为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器为非正则系统，假如输入信号带有高频污染经过微分器输出可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍，信噪比变得很小。第39

10、页/共84页闭环系统传递函数矩阵于是闭环系统的传递矩阵为或第40页/共84页传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式

11、不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。第41页/共84页1.4 1.4 离散系统的数学描述状态空间表达式首先，考察三阶差分方程1.差分方程中不含有输入量差分项选取状态变量写成矩阵形式第42页/共84页可以表示为其中输出方程或者其中第43页/共84页推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统选取状态变量 ，系统状态方程输出方程第44页/共84页2.差分方程中含有输入量差分项先考察3阶线性定常差分方程选择状态变量待定系数为：第45页/共84页系统状态方程为即：输出方程为即：第46页/共84页多输入-

12、多输出线性时变离散系统状态空间表达式当 、和 的诸元素与时刻 无关时，即得线性定常离散系统状态空间表达式 1.4.2 脉冲传递函数（矩阵）对线性定常离散系统状态空间表达式进行 z 变换如果 存在，则第47页/共84页如果初始松弛，则其中 为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵 系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵例例1-91-9 已知线性定常离散系统方程为求其脉冲传递函数矩阵解解第48页/共84页对于SISO线性定常离散系统系统脉冲传递函数为第49页/共84页1.5 1.5 线性变换 我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。由于它们都是同一个系

13、统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。本章学习线性变换，是为后续章节的学习内容做铺垫。第50页/共84页等价系统方程1.线性定常系统（1）为n 维状态向量；为r 维输入向量；为m维输出向量；、为相应维数的矩阵。引入非奇异变换矩阵P或者代入方程（1）其中第51页/共84页于是，系统状态方程变为（2）方程（1）与方程（2）互为等价方程2.线性时变系统（3）引入变换矩阵或者对上式求导并代入第52页/共84页可以得到又由可以得到（4）方程（3）与方程（4）互为等价方程第53页/共84页线性变换的基本性质

14、1.线性变换不改变系统的特征值线性定常系统系统的特征方程为等价系统的特征方程为可见线性变换不改变系统的特征值注意：以上推导过程用到线性代数中的公式：第54页/共84页2.线性变换不改变系统的传递函数矩阵时的传递函数矩阵可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变注意：以上推导过程用到线性代数中的公式：第55页/共84页化系数矩阵 A 为标准形在这里，所谓标准形是指：对角形、约当形、模态形设 是 矩阵 A 的特征值，如果存在一个n 维非零向量 使 或成立，则称 为 A 的对应于特征值 的特征向量 而1.化矩阵 A 为对角阵若n 个特征值互异，则令第56页/共84页例例1-101-10 将矩阵 化

15、为对角阵解解解出变换矩阵第57页/共84页如果矩阵 A 具有这样形式范德蒙特矩阵变换矩阵第58页/共84页2.化矩阵 A 为约当形如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n,这时不能化为对角阵，只能化为约当形。确定变换矩阵可以得到：第59页/共84页变换矩阵为例例1-121-12 化矩阵 为标准形矩阵解解得出求二重特征根对应的特征向量第60页/共84页得到而由得到求特征值 对应的特征向量得到第61页/共84页因此设特征值为当特征值为共轭复数时，可以将矩阵化为模态阵3.化矩阵 A 为模态阵在此情况下，A 的模态形为第62页/共84页设 为对应于 的特征向量，则令则变换矩阵例例1-13

16、1-13 将 化为模态形解解特征值为解得因此第63页/共84页1.6 1.6 组合系统的数学描述 工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称为组合系统。组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和反馈等3种连接方式构成的。下面以两个子系统 和 构成的组合系统进行介绍。第64页/共84页的系统方程为传递函数矩阵为的系统方程为传递函数矩阵为1.6.1 并联连接系统方程第65页/共84页传递函数矩阵1.6.2 串联连接第66页/共84页串连组合后系统方程传递函数矩阵所以1.6.3 反馈连接组合后系统方程为第67页/共84页传递函数矩阵为或（1-125）（1-

17、126）应当指出，在反馈连接的组合系统中，或 存在的条件是至关重要的。否则反馈系统对于某些输入就没有一个满足式（1-125）或式（1-126）的输出。就这个意义来说，反馈连接就变得无意义了。第68页/共84页1.7 1.7 利用MATLAB进行模型转换1.7.1 传递函数与状态空间表达式之间的转换1.连续系统状态空间表达式 MATLAB是当今世界上最优秀的科技应用软件之一，它以强大的科学计算能力和可视化功能，简单易用的编程语言以及开放式的编程环境等一些显著的优点，使得它在当今许许多多科学技术领域中成为计算机辅助分析和设计、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。在本书中，用它作为系统分析和设计

18、的软件平台，更显示出独特的优势。本节利用MATLAB实现数学模型的转换。可以用ss命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格式为 sys=ss(A,B,C,D)，其中A，B，C，D为描述线性连续系统的矩阵。当sys1是一个用传递函数表示的线性定常系统时，可以用命令sys=ss(sys1)，将其转换成为状态空间形式。也可以用命令sys=ss(sys1,min)计算出系统sys的最小实现。第69页/共84页例例1-151-15 控制系统微分方程为求其状态空间表达式。解解可以先将其转换成传递函数 输入下列命令语句执行结果为第70页/共84页这个结果表示，该系统的状态空间表达式为注意，在输入命令中，s

19、ys=ss(G)也可以改用A,B,C,D=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和sys=ss(G)近似，也可以计算出矩阵A、B、C、D。第71页/共84页2.离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式为 和连续系统状态空间表达式的输入方法相类似，如果要输入离散系统的状态空间表达式，首先需要输入矩阵G、H、C、d，然后输入语句 ，即可将其输入到MATLAB的workspace中，并且用变量名来表示这个离散系统，其中T为采样时间。如果Gyu表示一个以脉冲传递函数描述的离散系统，也可以用ss(Gyu)命令，将脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。例例1-161-16 假设某离散系统的脉

20、冲传递函数为采样周期为 ，将其输入到MATLAB的workspace中，并且绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。第72页/共84页 解解 输入下列语句语句执行的结果为再输入语句 ，绘制出零、极点分布图如下第73页/共84页在执行完上述语句后，Gyu已经存在于MATLAB的workspace中，这时再执行语句执行结果为 结果表示，离散系统的状态空间表达式为第74页/共84页求传递函数矩阵 在已知线性定常系统中的A、B、C和D矩阵之后，则该系统的传递函数矩阵可以按下式求出例例1-171-17 已知系统状态方程为输入以下语句 解解第75页/共84页 其中inv(

21、)函数是求矩阵的逆矩阵，而simple()函数是对符号运算结果进行简化。执行结果如下这表示第76页/共84页线性变换1.化为对角矩阵 函数eig()可以计算出矩阵A的特征值以及将A阵转换成对角阵的线性变换矩阵。其语句格式为Q,D=eig(A)，则D为对角阵并且对角线上各元素为矩阵A的特征值，满足 ，因为 即：。例例1-181-18 线性控制系统的状态方程为 试作线性变换 ,要求变换后系统矩阵A为对角阵。解解先求出系统矩阵的特征值，Q阵可以选择为由特征值构成的范德蒙特矩阵。输入语句可以求出A阵的特征值为 1、2和3。因此 第77页/共84页输入以下语句执行结果如下 由以上计算数据可得系统经过线性

22、变换后的方程为 第78页/共84页也可以输入语句运行结果为 再计算线性变换矩阵P，并且验证结果如下 可见，两种线性变换虽然不同，却都可以将A阵转换为对角阵第79页/共84页2.化为约当矩阵 在MATLAB中用函数命令jordan()来求矩阵的约当标准形。其命令格式为：Q,J=jordan(A)。输入参量A是系数矩阵，输出参量J是矩阵A 的约当标准形矩阵，而 就是线性变换矩阵，满足 。例例1-191-19 将 化为标准形矩阵。解解首先输入语句 运行结果为可见，不满秩，即矩阵A的特征值中有重特征值,并且A的独立特征向量的个数小于n。第80页/共84页因此输入语句语句执行结果为计算结果表明，矩阵A的约当阵为 。我们验证如下 执行结果为所计算出的结果表明，满足 第81页/共84页补充例题:系统如图所示，初始状态松弛，其中 、为输入，为输出。、。请建立系统的状态空间表达式。第82页/共84页第第1 1章章 结束结束第83页/共84页感谢您的观看！第84页/共84页