统计学数据分布特征的描述幻灯片.ppt

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1、统计学数据分布特征的描述统计学数据分布特征的描述1第1页，共45页，编辑于2022年，星期二对单变量截面数据的特征描述，主要有四个方面：集中趋势、离散程度、偏态与峰度。各各各各类类类类代代代代表表表表性性性性的的的的数数数数量量量量特特特特征征征征值值值值代表值是多少代表值是多少代表值是多少代表值是多少代表性有多大代表性有多大代表性有多大代表性有多大代表性可靠吗代表性可靠吗代表性可靠吗代表性可靠吗集中趋势的度量集中趋势的度量集中趋势的度量集中趋势的度量离散趋势的度量离散趋势的度量离散趋势的度量离散趋势的度量分布特征的度量分布特征的度量分布特征的度量分布特征的度量平均指标平均指标平均指标平均指标

2、变异指标变异指标变异指标变异指标偏度峰度指标偏度峰度指标偏度峰度指标偏度峰度指标基本基本基本基本公式公式公式公式简单式简单式简单式简单式加权加权加权加权式式式式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式

3、公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数中位数中位数中位数中位数众数众数众数众数极差极差极差极差平均差平均差平均差平均差标准差标准差标准差标准差离散系数离散系数离散系数离散系数原点矩原点矩原点矩原点矩中心距中心距中心距中心距N N N N阶矩阶矩阶矩阶矩第三章第三章第三章第三章 数据分布特征的描述数据分布特征的描述数据分布特征的描述数据分布特征的描述2第2页，共45页，编辑于202

4、2年，星期二第三章第三章第三章第三章 数据分布特征的描述数据分布特征的描述数据分布特征的描述数据分布特征的描述第一节第一节 统计变量集中趋势的测定统计变量集中趋势的测定第二节第二节 统计变量离散程度的测定统计变量离散程度的测定第三节第三节 变量分布的偏度与峰度变量分布的偏度与峰度第四节第四节 利用利用ExcelExcel计算描述统计指标计算描述统计指标3第3页，共45页，编辑于2022年，星期二第一节第一节第一节第一节 统计变量集中趋势的测定统计变量集中趋势的测定统计变量集中趋势的测定统计变量集中趋势的测定一一 测定集中趋势的指标及其作用测定集中趋势的指标及其作用二二 数值平均数数值平均数三三

5、 众数与中位数众数与中位数4第4页，共45页，编辑于2022年，星期二一、测定集中趋势的指标及其作用一、测定集中趋势的指标及其作用集中趋势集中趋势(Central tendency)较大和较小的观测值出现的频率比较低，大多数观测值密集分布在中心附近，较大和较小的观测值出现的频率比较低，大多数观测值密集分布在中心附近，使得全部数据呈现出向中心聚集或靠拢的态势。使得全部数据呈现出向中心聚集或靠拢的态势。测度集中趋势的指标有两大类：测度集中趋势的指标有两大类：数值平均数数值平均数是根据全部数据计算得到的代表值，主要有算术平均是根据全部数据计算得到的代表值，主要有算术平均数、调和平均数及几何平均数；数

6、、调和平均数及几何平均数；位置代表值位置代表值根据数据所处位置直接观察或根据与特定位置有关的根据数据所处位置直接观察或根据与特定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。5第5页，共45页，编辑于2022年，星期二测定集中趋势指标的作用测定集中趋势指标的作用1反映变量分布的集中趋势和一般水平。反映变量分布的集中趋势和一般水平。如用平均工资了解职工工资分布的中心，反映职工工资如用平均工资了解职工工资分布的中心，反映职工工资的一般水平。的一般水平。2可用来比较同一现象在不同空间或不同阶段的发展水平。可用来比较同一现象在不同空间或不同阶段的发展

7、水平。不受总体规模大小的影响；不受总体规模大小的影响；在一定程度上使偶然因素的影响相互抵消。在一定程度上使偶然因素的影响相互抵消。3可用来分析现象之间的依存关系。可用来分析现象之间的依存关系。如研究劳动者的文化程度与收入的关系。如研究劳动者的文化程度与收入的关系。4平均指标也是统计推断中的一个重要统计量，是平均指标也是统计推断中的一个重要统计量，是进行统计推断的基础。进行统计推断的基础。年份年份人均可支配人均可支配收入收入人均消费人均消费性支出性支出19922.0271.67219932.5772.11119943.4962.85119954.2833.53819964.8393.919199

8、75.164.18619985.4254.33219995.8544.61620006.284.99820016.865.30920027.7036.0320038.4726.511合计合计62.97650.0736第6页，共45页，编辑于2022年，星期二二、数值平均数二、数值平均数（一）算术平均数（均值）（一）算术平均数（均值）一组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果一组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果;最常用的数值平均数。最常用的数值平均数。1简单算术平均数简单算术平均数把每项数据直接加总后除以它们的项数。把每项数据直接加总后除以它们的项数。通常用于对未分组的数据计算算术平均数。

9、通常用于对未分组的数据计算算术平均数。计算公式：计算公式：表表 3-13-1男性男性女性女性222222222222222225252525252525252525252525252525252525253030303030303030505030307第7页，共45页，编辑于2022年，星期二二、数值平均数二、数值平均数表表 3-23-2年龄年龄人数（人）人数（人）x xf f22224 42525101030305 550501 1合计合计2020表表 3-13-1男性男性女性女性2222222222222222252525252525252525252525252525252525252

10、53030303030303030505030302加权算术平均数加权算术平均数加权算术平均数的计算公式：加权算术平均数的计算公式：加权加权为了体现各变量值轻重不同的影响作为了体现各变量值轻重不同的影响作用，对各个变量值赋予不尽相同的权数（用，对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi fi）。）。8第8页，共45页，编辑于2022年，星期二二、数值平均数二、数值平均数2加权算术平均数加权算术平均数加权算术平均数的计算公式：加权算术平均数的计算公式：权数（权数（fi，也称权重），也称权重）权数权数指在计算总体平均数或综合水平的过程中对各个数据起着权衡轻重指在计算总体平均数或综合水平的过程中对各个数据

11、起着权衡轻重作用的变量。可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频率）来表示。作用的变量。可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频率）来表示。事实上比重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作用的实质。事实上比重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作用的实质。9第9页，共45页，编辑于2022年，星期二二、数值平均数二、数值平均数产量产量（件（件/人）人）人数（人）人数（人）x xf fxfxf22224 488882525101025025030305 515015050501 15050合计合计20205385382加权算术平均数加权算术平均数权数的性质：权数的性质：加权加权为了体现各变量值轻重不同的

12、影响作用，对各个变量值赋为了体现各变量值轻重不同的影响作用，对各个变量值赋予不尽相同的权数（予不尽相同的权数（fi fi）表表 1 1表表 2 2表表 3 3产量产量（件（件/人）人）人数（人）人数（人）x xf fxfxf22221 1222225255 51251253030101030030050504 4200200合计合计2020647647产量产量（件（件/人）人）人数（人）人数（人）x xf fxfxf22225 511011025255 512512530305 515015050505 5250250合计合计2020635635大变量值组大权数，小变量值组小权数，则平均数就大

13、大变量值组大权数，小变量值组小权数，则平均数就大大变量值组小权数，小变量值组大权数，则平均数就小大变量值组小权数，小变量值组大权数，则平均数就小当权数完全相等（当权数完全相等（f f1=1=f f2=2=fnfn）时，）时，加权算术平均数就成了简单算术平均加权算术平均数就成了简单算术平均数。数。10第10页，共45页，编辑于2022年，星期二表表3 33 3 节能灯泡的使用寿命的分组数据节能灯泡的使用寿命的分组数据使用寿命使用寿命（小时）（小时）组中值组中值x数量数量fXf 频率频率f/fXf/f1000以下以下900218000.020 181000-12001100888000.080 8

14、81200-1400130016208000.160 2081400-1600150035525000.350 5251600-1800170023391000.230 3911800-2000190012228000.120 2282000以上以上2100484000.040 84合合 计计1001542001.000 15423由组距数列计算算术由组距数列计算算术平均数平均数u各组变量值用各组变量值用组中值来代表。组中值来代表。u假定条件是各组内假定条件是各组内数据呈均匀分布或数据呈均匀分布或对称分布。对称分布。u计算结果是近似计算结果是近似值。值。二、数值平均数二、数值平均数11第11页

15、，共45页，编辑于2022年，星期二表表 3-43-4企企 业业流通费用率（）流通费用率（）商品销售额（万元）商品销售额（万元）流通费用（万流通费用（万元）元）甲甲161600256256乙乙104750475475丙丙124000480480合合 计计11.7004811.700481035012114对相对数求算术平均数对相对数求算术平均数由于各个相对数的对比基础不同，采用简单算术平均通常不合理，需要加由于各个相对数的对比基础不同，采用简单算术平均通常不合理，需要加权。权。u权数的选择必须符权数的选择必须符合该相对数本身的计合该相对数本身的计算公式。算公式。u权数通常为该相对数权数通常为该

16、相对数的分母指标。的分母指标。二、数值平均数二、数值平均数12第12页，共45页，编辑于2022年，星期二5算术平均数的主要数学性质算术平均数的主要数学性质（1）算术平均数与变量值个数的乘积等于各个变量值的总和）算术平均数与变量值个数的乘积等于各个变量值的总和（2）各变量值与算术平均数的离差之总和等于零）各变量值与算术平均数的离差之总和等于零（3）各变量值与算术平均数离差平方之总和为最小）各变量值与算术平均数离差平方之总和为最小 二、数值平均数二、数值平均数13第13页，共45页，编辑于2022年，星期二二、数值平均数二、数值平均数产量产量（件（件/人）人）人数（人）人数（人）总产量总产量（件

17、）（件）x xf fxfxf22224 488882525101025025030305 515015050501 15050合计合计2020538538（二）调和平均数（二）调和平均数（Harmonic mean）对于已分组资料，当对于已分组资料，当已知各组单位总量已知各组单位总量f f，未知，未知各组标志总量各组标志总量m m时，采用加时，采用加权算术平均数。权算术平均数。表表 1 1表表 2 2产量产量（件（件/人）人）总产量总产量（件）（件）人数人数（人）（人）x xm mm/xm/x222288884 42525250250101030301501505 5505050501 1合计

18、合计5385382020商务统计中所应用的调和平均数通常是加商务统计中所应用的调和平均数通常是加权算术平均数的变形权算术平均数的变形 对于已分组资料，当已知对于已分组资料，当已知各组标志总量各组标志总量m m，未知各组单，未知各组单位总量位总量f f时，采用加权调和时，采用加权调和平均数。平均数。对于未分组资料，或虽对于未分组资料，或虽已分组但各组次数相同时，已分组但各组次数相同时，采用简单算术平均数。采用简单算术平均数。14第14页，共45页，编辑于2022年，星期二二、数值平均数二、数值平均数（二）调和平均数（二）调和平均数（Harmonic mean）调和平均数也称为倒数平均数。各变量值

19、的倒数（调和平均数也称为倒数平均数。各变量值的倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。其计）的算术平均数的倒数。其计算公式为：算公式为：对于未分组资料，采用简单调和平对于未分组资料，采用简单调和平均数。均数。对于已分组资料，当已知各组标志总量对于已分组资料，当已知各组标志总量m m，未知各组单位总量，未知各组单位总量f f时，采用加权调和平均数。时，采用加权调和平均数。15第15页，共45页，编辑于2022年，星期二二、数值平均数二、数值平均数【例例】某企业产品的加工要顺次经过前后衔接的五道工序。本月该企业各加工工序的合格率分别为某企业产品的加工要顺次经过前后衔接的五道工序。本月该企业各加工工序的

20、合格率分别为8888、8585、9090、9292、9696，试求这五道工序的平均合格率。，试求这五道工序的平均合格率。本例中各工序的合格率具有环比的性质，企业产品的总合格率等于各工序合格率之连乘积。所以，本例中各工序的合格率具有环比的性质，企业产品的总合格率等于各工序合格率之连乘积。所以，所求的平均合格率应为：所求的平均合格率应为：（三）几何平均数（三）几何平均数（Geometric meanGeometric mean）16第16页，共45页，编辑于2022年，星期二（三）几何平均数（三）几何平均数（Geometric mean）几何平均数几何平均数 n个变量值连乘积的个变量值连乘积的n次

21、方根。次方根。简单几何平均数简单几何平均数加权几何平均数加权几何平均数适用于各个变量值之间存在连乘积关系的场合。适用于各个变量值之间存在连乘积关系的场合。主要用于计算现象的平均发展速度；主要用于计算现象的平均发展速度；也适用于对某些具有环比性质的比率求平均。也适用于对某些具有环比性质的比率求平均。二、数值平均数二、数值平均数17第17页，共45页，编辑于2022年，星期二数值平均数小结：数值平均数小结：二、数值平均数二、数值平均数简单式简单式简单式简单式加权式加权式加权式加权式算术算术算术算术平均数平均数平均数平均数调和调和调和调和平均数平均数平均数平均数几何几何几何几何平均数平均数平均数平均

22、数算术和的关算术和的关算术和的关算术和的关系系系系倒数和的关倒数和的关倒数和的关倒数和的关系系系系连乘积的关连乘积的关连乘积的关连乘积的关系系系系由未分组资料计算由未分组资料计算由未分组资料计算由未分组资料计算由已分组资料计算由已分组资料计算由已分组资料计算由已分组资料计算变量值的关变量值的关变量值的关变量值的关系系系系数值平均数数值平均数数值平均数数值平均数的计算的计算的计算的计算18第18页，共45页，编辑于2022年，星期二三、众数与中位数三、众数与中位数（一）众数（一）众数（Mode）众数是一组数据中出现频数最多、频率最高的变量值，常用众数是一组数据中出现频数最多、频率最高的变量值，常

23、用 Mo 表示。表示。如表如表3-2中年龄的众数值中年龄的众数值Mo25。众数代表的是最常见、最普遍的状况，是对现象集中趋势的度量。众数代表的是最常见、最普遍的状况，是对现象集中趋势的度量。可用来测度定性变量的集中趋势；可用来测度定性变量的集中趋势；销售量最大的产品颜色是销售量最大的产品颜色是“白色白色”，则有，则有Mo“白色白色”。可以度量定量变量的集中趋势。可以度量定量变量的集中趋势。从分布曲线的角度看，众数就是变量分布曲线的最高峰所对应的变量从分布曲线的角度看，众数就是变量分布曲线的最高峰所对应的变量值。值。19第19页，共45页，编辑于2022年，星期二组距数列中众数的确定组距数列中众

24、数的确定先找到众数组。先找到众数组。在等距数列中，众数组就是次数最多的组；在等距数列中，众数组就是次数最多的组；在异距数列中，众数组应是频数密度最大的组。在异距数列中，众数组应是频数密度最大的组。根据众数组与其相邻两组的次数差来推算。根据众数组与其相邻两组的次数差来推算。其近似公式为：其近似公式为：下限公式：下限公式：上限公式：上限公式：20第20页，共45页，编辑于2022年，星期二第二节第二节 统计变量离散程度的测定统计变量离散程度的测定测度测度集中趋势集中趋势的指标有两大类：的指标有两大类：数值平均数数值平均数主要有算术平均数、调和平均数主要有算术平均数、调和平均数及几何平均数；及几何平

25、均数；位置代表值位置代表值主要有众数和中位数。主要有众数和中位数。测度测度离中趋势离中趋势的指标也有两大类：的指标也有两大类：数值平均数的代表性数值平均数的代表性主要有主要有极差、平均差、极差、平均差、方差和标准差、离散系数方差和标准差、离散系数；位置代表值的代表性位置代表值的代表性主要有主要有四分位差、四分位差、异异众比例。众比例。21第21页，共45页，编辑于2022年，星期二第二节第二节 统计变量离散程度的测定统计变量离散程度的测定一一 测定离散程度的指标及其作用测定离散程度的指标及其作用二二 极差、四分位差和平均差极差、四分位差和平均差三三 方差和标准差方差和标准差四四 离散系数离散系

26、数五五 异众比率异众比率 22第22页，共45页，编辑于2022年，星期二一、测定离散程度的指标及其作用一、测定离散程度的指标及其作用1.说明数据的分散程度，反映变量的稳定性、均衡性。说明数据的分散程度，反映变量的稳定性、均衡性。数据之间差异越大，变量的稳定性或均衡性越差。数据之间差异越大，变量的稳定性或均衡性越差。2.衡量平均数的代表性。衡量平均数的代表性。离散程度越大，平均数的代表性就越小。离散程度越大，平均数的代表性就越小。3.统计推断的重要依据统计推断的重要依据判别统计推断前提条件是否成立，判别统计推断前提条件是否成立，衡量推断效果好坏的重要尺度。衡量推断效果好坏的重要尺度。23第23

27、页，共45页，编辑于2022年，星期二二、极差、四分位差和平均差二、极差、四分位差和平均差（一）极差（一）极差（Range）极差是一组数据的最大值（极差是一组数据的最大值（xmax）与最小值（）与最小值（xmin）之差，通常用）之差，通常用 R 表示。表示。对于总体数据而言，极差也就是变量变化的范围或幅度大小，也称为全距对于总体数据而言，极差也就是变量变化的范围或幅度大小，也称为全距组距数列中，极差组距数列中，极差最高组的上限最高组的上限-最低组的下限。最低组的下限。优缺点：计算简便、含义直观、容易理解。它未考虑数据的中间分布情况，不优缺点：计算简便、含义直观、容易理解。它未考虑数据的中间分布

28、情况，不能充分说明全部数据的差异程度。能充分说明全部数据的差异程度。24第24页，共45页，编辑于2022年，星期二二、极差、四分位差和平均差二、极差、四分位差和平均差（二）四分位差（二）四分位差第第3四分位数（四分位数（Q3）与第）与第1四分位数（四分位数（Q1）之差，常用）之差，常用Qd表示。计算公式为：表示。计算公式为：实质上是两端各去掉四分之一的数据以后的极差，表示占全部数据一半的中间数实质上是两端各去掉四分之一的数据以后的极差，表示占全部数据一半的中间数据的离散程度。四分位差越大，表示数据离散程度越大。据的离散程度。四分位差越大，表示数据离散程度越大。优缺点：是在一定程度上对极差的一

29、种改进，避免了极端值的干扰。但它对数据优缺点：是在一定程度上对极差的一种改进，避免了极端值的干扰。但它对数据差异的反映仍然是不充分的。差异的反映仍然是不充分的。四分位差是一种顺序统计量，适用于定序数据和定量数据。尤其是当用中位数来测度数四分位差是一种顺序统计量，适用于定序数据和定量数据。尤其是当用中位数来测度数据集中趋势时。据集中趋势时。25第25页，共45页，编辑于2022年，星期二二、极差、四分位差和平均差二、极差、四分位差和平均差（三）平均差（三）平均差（Average Deviation）平均差平均差各个数据与其均值的离差绝对值的算术平均数，反映各个数据与其均值的平均差各个数据与其均值

30、的离差绝对值的算术平均数，反映各个数据与其均值的平均差距，通常以距，通常以A.D表示。计算公式为：表示。计算公式为：优缺点：平均差含义清晰，能全面地反映数据的离散程度。但取离差绝对值进行平均，优缺点：平均差含义清晰，能全面地反映数据的离散程度。但取离差绝对值进行平均，数学处理上不够方便，在数学性质上也不是最优的。数学处理上不够方便，在数学性质上也不是最优的。已分组数据：已分组数据：未分组数据：未分组数据：26第26页，共45页，编辑于2022年，星期二三、方差和标准差三、方差和标准差（一）（一）方差（方差（Variance）的概念和计算）的概念和计算方差是各个数据与其均值的离差平方的算术平均数

31、方差是各个数据与其均值的离差平方的算术平均数.总体方差（总体方差（2）的计算公式为：）的计算公式为：样本方差（通常用样本方差（通常用 S2 表示）分母应为（表示）分母应为（n-1）。）。已分组数据：已分组数据：未分组数据：未分组数据：27第27页，共45页，编辑于2022年，星期二三、方差和标准差三、方差和标准差标准差（标准差（standard Deviation）：方差的算术平方根。）：方差的算术平方根。总体标准差一般用总体标准差一般用 表示。其计算公式为：表示。其计算公式为：样本标准差（样本标准差（S）分母应为（）分母应为（n-1）。）。标准差比方差更容易理解。在社会经济现象的统计分析中，

32、标准差比方差标准差比方差更容易理解。在社会经济现象的统计分析中，标准差比方差的应用更为普遍，经常被用作测度数据与均值差距的标准尺度的应用更为普遍，经常被用作测度数据与均值差距的标准尺度分组数据：分组数据：未分组数据：未分组数据：28第28页，共45页，编辑于2022年，星期二计算平均差和方差、标准差计算平均差和方差、标准差使用寿命（小时）使用寿命（小时）组中值组中值 (x x)试验数量（只）试验数量（只）f f 频率频率 （f f/f f)(x x15421542)|x|x1542|f1542|f(x x15421542)2 2*f*f10001000以下以下9009002 20.020 0.

33、020-642-642128412848243288243281000-12001000-1200110011008 80.080 0.080-442-44235363536156291215629121200-14001200-14001300130016160.160 0.160-242-242387238729370249370241400-16001400-16001500150035350.350 0.350-42-421470147061740617401600-18001600-18001700170023230.230 0.230 15815836343634574172574

34、1721800-20001800-20001900190012120.120 0.120 358358429642961537968153796820002000以上以上210021004 40.040 0.040 5585582232223212454561245456合计合计1001001.000 1.000 20324203246743600674360029第29页，共45页，编辑于2022年，星期二三、方差和标准差三、方差和标准差（二）方差的主要数学性质（二）方差的主要数学性质常数的方差等于零。常数的方差等于零。a为常数为常数,则则 变量的线性函数的方差等于变量系数的平方乘以变量的方

35、差。设变量的线性函数的方差等于变量系数的平方乘以变量的方差。设a,b为常数，为常数，y=a+bx，则有：，则有：分组条件下，总体的方差等于组间方差与各组方差平均数之和。分组条件下，总体的方差等于组间方差与各组方差平均数之和。组间方差组间方差各组方差平均数各组方差平均数30第30页，共45页，编辑于2022年，星期二三、方差和标准差三、方差和标准差（三）标准化值（三）标准化值（Z-score）标准化值或标准得分也称为标准化值或标准得分也称为Z值。值。对于来自不同均值和标准差的个体的数据，往往不能直接对比。这就需要将它们转对于来自不同均值和标准差的个体的数据，往往不能直接对比。这就需要将它们转化为

36、同一规格、尺度的数据后再比较。化为同一规格、尺度的数据后再比较。标准化值实际上是将不同均值和标准差的总体都转换为均值为标准化值实际上是将不同均值和标准差的总体都转换为均值为0、标准差为、标准差为1的总体，的总体，将各个体的数据转换为它在其总体中的相对位置。将各个体的数据转换为它在其总体中的相对位置。31第31页，共45页，编辑于2022年，星期二三、方差和标准差三、方差和标准差假定某班学生先后两个两次进行了难度不同的综合考试，第一次考试成绩的均值和标假定某班学生先后两个两次进行了难度不同的综合考试，第一次考试成绩的均值和标准差分别为准差分别为80分和分和10分，而第二次考试成绩的均值和标准差分

37、别为分，而第二次考试成绩的均值和标准差分别为70分和分和7分。张分。张某第一、二次考试的成绩分别为某第一、二次考试的成绩分别为92分和分和80分，那么全班相比较而言，他哪一次考分，那么全班相比较而言，他哪一次考试的成绩更好呢？试的成绩更好呢？解：由于两次考试成绩的均值和标准差不同，每个学生两次考试的成绩不宜直接解：由于两次考试成绩的均值和标准差不同，每个学生两次考试的成绩不宜直接比较。比较。利用标准化值进行对比，表明第二次考试的成绩更好一些。利用标准化值进行对比，表明第二次考试的成绩更好一些。32第32页，共45页，编辑于2022年，星期二三、方差和标准差三、方差和标准差（四）（四）对称钟形分

38、布中的对称钟形分布中的3 法则法则3 法则法则关于钟形分布的一个近似的或经验的法则：关于钟形分布的一个近似的或经验的法则：变量值落在变量值落在-3 ，+3 范围以外的情况极为少见。因此通常将落在区间范围以外的情况极为少见。因此通常将落在区间-3 ，+3 之外的数据称为异常数据或称为离群点。之外的数据称为异常数据或称为离群点。x99.73%68.27%95.45%33第33页，共45页，编辑于2022年，星期二四、离散系数四、离散系数前面的各变异指标都是有计量单位的，它们的数值大小不仅取决于数据的离散前面的各变异指标都是有计量单位的，它们的数值大小不仅取决于数据的离散程度，还要受数据本身水平高低

39、和计量单位的影响。程度，还要受数据本身水平高低和计量单位的影响。对不同变量（或不同数据组）的离散程度进行比较时，只有当它们的平均水平和计对不同变量（或不同数据组）的离散程度进行比较时，只有当它们的平均水平和计量单位都相同时，才能利用上述变异指标来分析；否则，须利用离散系数来比较量单位都相同时，才能利用上述变异指标来分析；否则，须利用离散系数来比较它们的离散程度。它们的离散程度。例如，哪个变量的差异较大：体重，还是身高？例如，哪个变量的差异较大：体重，还是身高？例如，体重的差异哪个较大：父亲，还是婴儿？例如，体重的差异哪个较大：父亲，还是婴儿？父亲：平均体重父亲：平均体重=70 kg，标准差，标

40、准差=5 kg 婴儿：婴儿：5 kg，1 kg34第34页，共45页，编辑于2022年，星期二四、离散系数四、离散系数离散系数是极差、四分位差、平均差或标准差等变异指标与算术平均数的比率，以离散系数是极差、四分位差、平均差或标准差等变异指标与算术平均数的比率，以相对数的形式表示变异程度。相对数的形式表示变异程度。将极差与算术平均数对比得到极差系数，将极差与算术平均数对比得到极差系数，将平均差与算术平均数对比得到平均差系数。将平均差与算术平均数对比得到平均差系数。最常用的离散系数是就标准差来计算的，称之为标准差系数：最常用的离散系数是就标准差来计算的，称之为标准差系数：离散系数大，说明数据的离散

41、程度大，其平均数的代表性就差；反之亦然离散系数大，说明数据的离散程度大，其平均数的代表性就差；反之亦然.35第35页，共45页，编辑于2022年，星期二五、异众比率五、异众比率 异众比率是指非众数值的次数之和在总次数中所占比重，其公式为：异众比率是指非众数值的次数之和在总次数中所占比重，其公式为：主要用于衡量一组数据以众数为分布中心的集中程度，即衡量众数代表一组数据一般水平的主要用于衡量一组数据以众数为分布中心的集中程度，即衡量众数代表一组数据一般水平的代表性。其值越小，数据集中程度越高，众数代表性越大。代表性。其值越小，数据集中程度越高，众数代表性越大。36第36页，共45页，编辑于2022

42、年，星期二第三节第三节 变量分布的偏度与峰度变量分布的偏度与峰度一一 矩（动差矩（动差）二二 偏度（偏度（Skewness）三三 峰度（峰度（Kurtosis）37第37页，共45页，编辑于2022年，星期二一、矩（动差一、矩（动差）矩（动差矩（动差）一系列刻画数据分布特征的指标的统称。一系列刻画数据分布特征的指标的统称。变量值与数值变量值与数值 a 之离差的之离差的 K 次方的平均数称为变量次方的平均数称为变量 x 关于关于 a 的的 K 阶矩，即：阶矩，即：38第38页，共45页，编辑于2022年，星期二K 阶原点矩阶原点矩（当（当a=0 时）时）是数据的是数据的K次方的平均数次方的平均数

43、一阶原点矩即算术平均数；一阶原点矩即算术平均数；二阶原点矩即平方平均数。二阶原点矩即平方平均数。K 阶中心矩矩阶中心矩矩（当（当a=均值均值 时）时）是以均值为中心计算的离差是以均值为中心计算的离差 K 次方的平均数次方的平均数k=1时，称为一阶中心矩，它恒等于时，称为一阶中心矩，它恒等于0，即，即 m1=0；k=2时，称为二阶中心矩，也就是方差，即时，称为二阶中心矩，也就是方差，即m2=2。39第39页，共45页，编辑于2022年，星期二二、偏度（二、偏度（Skewness）偏度偏度指数据分布的不对称程度或偏斜程度。指数据分布的不对称程度或偏斜程度。以以 对称分布对称分布 为标准来区分为标准

44、来区分偏态分布又分左偏（负偏）和右偏（正偏）偏态分布又分左偏（负偏）和右偏（正偏）.左偏分布左偏分布（负偏）（负偏）右偏分布右偏分布（正偏）（正偏）40第40页，共45页，编辑于2022年，星期二偏态的测度方法偏态的测度方法（一）由均值与众数（中位数）之间的关系求偏态系数（一）由均值与众数（中位数）之间的关系求偏态系数一般有：一般有：-3 0 +3 极左偏态极左偏态 对称分布对称分布 极右偏态极右偏态41第41页，共45页，编辑于2022年，星期二（二）由三个四分位数之间的关系求偏态系数（二）由三个四分位数之间的关系求偏态系数值域：值域：-1 Sk 1 -1 0 +1 极左偏态极左偏态 对称分

45、布对称分布 极右偏态极右偏态42第42页，共45页，编辑于2022年，星期二（三）利用（三）利用 3 阶中心矩来计算偏度系数。阶中心矩来计算偏度系数。测定偏度最常用的方法测定偏度最常用的方法原理：若分布不对称，则原理：若分布不对称，则 3 阶中心矩不为阶中心矩不为0。不对称程度愈严重，。不对称程度愈严重，3 阶中心矩的阶中心矩的绝对值愈大。为消除量纲的影响，可除以绝对值愈大。为消除量纲的影响，可除以 3。0 对称分布对称分布 左偏分布左偏分布 右偏分布右偏分布43第43页，共45页，编辑于2022年，星期二三、峰度（三、峰度（Kurtosis）峰度峰度是指变量的集中程度和分布曲线的陡峭（或平坦

46、）的程度。是指变量的集中程度和分布曲线的陡峭（或平坦）的程度。对峰度的度量通常以正态分布曲线为比较标准，分为正态峰度、尖顶峰度和平顶峰对峰度的度量通常以正态分布曲线为比较标准，分为正态峰度、尖顶峰度和平顶峰度度.平顶分布平顶分布尖峰分布尖峰分布尖顶峰度的分布曲线比正态分布曲线更加尖峭、尖顶峰度的分布曲线比正态分布曲线更加尖峭、更高更窄；更高更窄；平顶峰度的分布曲线比正态分配曲线更为平缓、平顶峰度的分布曲线比正态分配曲线更为平缓、更低更扁平。更低更扁平。44第44页，共45页，编辑于2022年，星期二峰度系数峰度系数原理：分布曲线的尖峭程度与偶数阶中心矩的数值大小有直接关系。以四阶中原理：分布曲

47、线的尖峭程度与偶数阶中心矩的数值大小有直接关系。以四阶中心矩心矩m4为基础，为了消除量纲的影响，再除以标准差的四次方为基础，为了消除量纲的影响，再除以标准差的四次方4所得到的相所得到的相对数即可衡量峰度。对数即可衡量峰度。对于正态分布曲线有：对于正态分布曲线有：m4/4=3，故峰度系数为：，故峰度系数为：当当K=0时，分布曲线为正态曲线；时，分布曲线为正态曲线；当当K0时，为尖顶曲线，表示数据比正态分布更集中在均值附近；时，为尖顶曲线，表示数据比正态分布更集中在均值附近；K的数的数值越大，则变量分布曲线之顶端越尖峭；值越大，则变量分布曲线之顶端越尖峭；当当K0时，为平顶曲线，表示数据比正态分布更分散；时，为平顶曲线，表示数据比正态分布更分散；K的数值越小，则的数值越小，则变量分布曲线之顶端越平坦。变量分布曲线之顶端越平坦。45第45页，共45页，编辑于2022年，星期二