ch134函数极限定义与性质.pptx

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1、第三节第三节 函数极限的定义函数极限的定义一、自变量的变化过程一、自变量的变化过程二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限 新课新课 第一章第一章 第4页/共56页一、自变量的变化过程一、自变量的变化过程第5页/共56页xsinx/x播放播放二、自变量趋向无穷大时函数的极二、自变量趋向无穷大时函数的极限限第6页/共56页如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划函数函数“无限接近无限接近”.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:即即 如何表示如何表示 x 与与 f(x)无限接近于无限接近于A？先

2、分先分 x +与与 x -来说明来说明第7页/共56页定义定义 设设 f(x)在在 x 0有定义有定义,对对任意给定的无论任意给定的无论多么小的正数多么小的正数 ,总总存在正数存在正数 X,当当 x X 时，时，恒有恒有|f(x)A|，则称常数则称常数 A 是函数是函数 f(x)当当 x+时的极限时的极限.1.x+时时 f(x)的极限的极限第8页/共56页几何意义几何意义第9页/共56页2.x-时时 f(x)的极限的极限定义定义 设设 f(x)在在 x 0有定义有定义,对对任意给定的正数任意给定的正数 ,总总存在正数存在正数 X,当当 x-X 时，恒有时，恒有|f(x)A|0,总总存在正数存在

3、正数 0,只要只要 f 的定义域中的点的定义域中的点 x 满足满足0|x x0|时时，恒恒有有|f(x)A|成成立立，则则称称常数常数 A 是函数是函数 f(x)当当 x x0时的极限时的极限,简称简称 A 是是 f(x)在在 x0 处的极限处的极限.第18页/共56页说明说明如：如：也并也并不是唯一不是唯一.第19页/共56页2.几何解释几何解释:第20页/共56页例例1.证证第21页/共56页例例2证证函数在点函数在点x=1处处没有定义没有定义.第22页/共56页例例3证证用定义证明用定义证明 的过程的过程：1.把把|f(x)A|化简化简为为|f(x)A|k|x x0|;2.要要|f(x)

4、A|,只要只要 k|x x0|;4.验证验证.第23页/共56页重要结论重要结论幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数等角函数等基本初等函数基本初等函数，在其定义域内的每点处，在其定义域内的每点处的的极限极限都存在且都存在且等于函数等于函数在该点处的在该点处的值值.第24页/共56页2.单侧极限单侧极限:问题：问题：设设如何证明如何证明?第25页/共56页左极限定义左极限定义右极限定义右极限定义第26页/共56页定理定理由此有由此有第27页/共56页左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例4证证重点重点第28页/共56页5例例 5解：由

5、图可知解：由图可知第29页/共56页(如作业如作业P P1818 二二6)6)第30页/共56页四、函数极限的性质四、函数极限的性质定定理理1 若若极极限限 (或或 )存存在在，则则极限是惟一的极限是惟一的.1.1.极限的惟一性极限的惟一性第31页/共56页M-Myxoy=f(x)I有界有界函数的有界性函数的有界性:设设f(x)在区间在区间I上有定义上有定义则称则称 f(x)在在I 上上有界有界.否则否则称称无界无界.例：例：无界无界2.有极限的函数的有极限的函数的局部局部有界性有界性v 补充补充第32页/共56页函数有界的另一种定义函数有界的另一种定义:设设 f(x)在区间在区间 I 内有定

6、义内有定义,若若 M1 和和 M2 使使x I,都有都有 M1 f(x)0?不能不能!第36页/共56页定理定理(保序性保序性)推论推论由此也可证由此也可证“极限的唯一性极限的唯一性”?不能不能!当当但但 A=B=0第37页/共56页4.函数极限的归并性函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理例如例如,则则第38页/共56页例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在都存在,且相等且相等.(.(Heine定理，又称定理，又称归并原则归并原则)即即第39页/共56页判别极限不存在的一个命题判别极限不存在的一个命题例例6第40页/共56页例例6证证二者不相等二者不相等,另证另证第41页/共56页五、小结五、小结1.函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)第42页/共56页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 2.第43页/共56页