理学高等数学速成教程.pptx

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1、第一章第一章函数与极限函数与极限主要内容主要内容（一）函数（一）函数极限的概念（二）函数极限的运算（二）函数极限的运算（三）函数连续的概念（三）函数连续的概念高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第1页/共59页左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无

2、穷小及其性质及其性质唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第2页/共59页含 用极极限限运算类型1.常规型:2.特殊型:分段点处极限:型:倒数求无穷小A0型:有界变量与无穷小量之积和式极限:先求和式再求极限分解因式消零因子用最高次或“最大”项除分子分母含(反)三角函数用洛必达法则洛必达法则定积分的定义洛必达法则高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽

3、水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第3页/共59页函函数数连连续续概念点连续特殊：左连续右连续区间连续在区间上每一点都连续的函数初等函数连续性基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间上连续函数性质最大值和最最大值和最小值定理小值定理有界性定理有界性定理零点定理零点定理 介值定理介值定理MBCAmab高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第4页/共59页例例含含 的的 型型:解解拼、配、凑拼、配

4、、凑典型例题典型例题洛必达法则解解高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第5页/共59页例例4 4解法讨论解解:含含 的的 型型:高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第6页/共59页例例4 4解解:解法讨论常用等价无穷小常用等价无穷小高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利

5、水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第7页/共59页5、例例解解:含含 的的 型型:高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第8页/共59页5、例例解解:解解:求极限的方法求极限的方法求极限的方法求极限的方法(技巧技巧技巧技巧)注意注意注意注意:高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第9页/共59页例例6 6解解高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学

6、复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第10页/共59页例例讨论:零点定理零点定理 高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第11页/共59页例例证明证明讨论:由零点定理知,综上,高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第12页/共59页高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学

7、复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第13页/共59页主要内容主要内容（一）导数与微分的概念（一）导数与微分的概念（二）导数与微分的运算（二）导数与微分的运算第二章第二章 导数与微分导数与微分高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第14页/共59页导导数数的的概概念念导数的定义导数的定义=几何意义几何意义可导与连续可导与连续的关系的关系函数可导一定连续，但连续不一定可导.01高阶导数的定义高

8、阶导数的定义记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第15页/共59页导导数数的的运运算算求导法则和、差、积、商和、差、积、商的求导法则的求导法则反函数的导数反函数的导数复合函数的求导法则复合函数的求导法则初等函数的求导分解成基本初等函数分解成基本初等函数(复合复合),或或常数与基本初等函数的和、差、常数与基本初等函数的和、差、积、商积、商.基本初等函数基本初等函数或常数的导数或常数的导数特殊求导方法隐函数求导隐函数求导隐函数求

9、导法则隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直用复合函数求导法则直接对方程两边求导接对方程两边求导.对数求导法对数求导法方法方法方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函然后利用隐函数的求导方法求出导数数的求导方法求出导数.参数方程所确定参数方程所确定的函数的导数的函数的导数方法方法方法方法:高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第16页/共59页微微分分可微的条件可微的条件可微的条件可微的条件微分的求法微分的求法微分的求法微分的求

10、法求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性近似计算的近似计算的近似计算的近似计算的基本公式基本公式基本公式基本公式函数增量的近似值函数的近似值高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第17页/共59页例例1 1解解典型例题典型例题典型例题典型例题高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学

11、院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第18页/共59页例例2 2解解两边取对数高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第19页/共59页例例3 3解解解解高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第20页/共59页主要内容主要内容重要理论重要理论重要理论重要理论-中值定理中值定理中值定理中值定理导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用导数在求极限

12、中的应用导数在求极限中的应用-洛比达法则洛比达法则洛比达法则洛比达法则应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形第三章 中值定理与导数的应用高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第21页/共59页Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理重要理论重要理论重要理论重要理论-中值定理中值定理中值定理中值定理高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利

13、水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第22页/共59页方方法法导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用-洛比达法则洛比达法则洛比达法则洛比达法则高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第23页/共59页最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形高等数学复习课

14、件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第24页/共59页函函函函数数数数的的的的性性性性质质质质单调性单调性的判别法单调区间的求法函数极值函数极值的定义函数极值的求法函数最值最值存在判别法函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法,()高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第25页/共59页典典典典型型型型例例例例题题题题重要理论重要理论重

15、要理论重要理论中值定理中值定理中值定理中值定理导数在求极导数在求极导数在求极导数在求极限中的应用限中的应用限中的应用限中的应用-洛比达法则洛比达法则洛比达法则洛比达法则应用导数研究应用导数研究应用导数研究应用导数研究讨论讨论讨论讨论函数性质函数性质函数性质函数性质及作图形及作图形及作图形及作图形恒等式恒等式恒等式恒等式.不等式的证明不等式的证明不等式的证明不等式的证明方程解的判定或证明方程解的判定或证明方程解的判定或证明方程解的判定或证明求求求求极限极限极限极限讨论函数性质及作图形讨论函数性质及作图形讨论函数性质及作图形讨论函数性质及作图形不等式的证明不等式的证明不等式的证明不等式的证明技巧技

16、巧造造辅助函数辅助函数高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第26页/共59页P223 P223 证明多项式 在 上不可能有两个零点.分析:反证法 由罗尔定理矛盾设有两个零点高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第27页/共59页P223 4.设 ,证明多项式 在 内至少有一个零点 分析:造辅助函数技巧造辅助函数技巧设想造辅助函数适合于中值定理高等数学复

17、习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第28页/共59页P224 5.P224 5.设 在 上连续,在 内可导,且 ,证明存在一点 ,使 .分析:设想造辅助函数适合于中值定理造辅助函数技巧造辅助函数技巧高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第29页/共59页P224 10.证明不等式分析:单调递增性造辅助函数技巧造辅助函数技巧单调递增性高等数学复习课件高等数学复习

18、课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第30页/共59页例例解解奇函数高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第31页/共59页作图极大值拐点极小值高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第32页/共59页主要内容主要内容第四章 不定积分不定积分的概念不定积分的概念

19、不定积分的概念不定积分的概念不定积分计算方法及类型不定积分计算方法及类型不定积分计算方法及类型不定积分计算方法及类型基本要求：正确进行不定积分的计算基本要求：正确进行不定积分的计算高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第33页/共59页不定积分的概念与性质不定积分的概念原函数或或原函数存在定理连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.不定积分的定义基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.不定积分的性质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（

20、此性质可推广到有限多个函数之和的情况）高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第34页/共59页不定积分计算方法及类型直接积分法直接积分法被积函数进行恒等变形，使用基本积分表计算不定积分的方法换元积分法换元积分法第一类换元法第一类换元法第二类换元法第二类换元法分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式特殊类型函数特殊类型函数的积分法的积分法有理函数的积分有理函数的积分将有理函数化为部分分式之和的积分.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积

21、分解决方法解决方法 作代换去掉根号作代换去掉根号.多项式；万能置换公式三角代换、倒代换、根式代换（凑微分法）高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第35页/共59页典型例题典型例题典型例题典型例题例例1 1解解单一化思想单一化思想高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第36页/共59页例例2 2解解单一化思想单一化思想万能置换公式万能置换公式高等数学复习

22、课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第37页/共59页例例9 9解解单一化思想单一化思想高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第38页/共59页例例3 3解解高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第39页/共59页例例6 6解解高等数学复习课件

23、高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第40页/共59页例例7 7解解高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第41页/共59页例例8 8解解高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第42页/共59页主要内容主要内容第五章 定积分及其应用定积分的概念定积

24、分的概念定积分的概念定积分的概念 性质性质性质性质定积分计算方法及类型定积分计算方法及类型定积分计算方法及类型定积分计算方法及类型基本要求：正确进行不定积分的计算基本要求：正确进行不定积分的计算高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第43页/共59页定定积积分分定积分的概念定积分的定义定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值特殊和式的极限定积分的性质性质1性质2性质3性质4性质5推论（1）（2）性质6（估计值的大致范围）性质7（中

25、值定理）积分中值公式高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第44页/共59页定定积积分分定积分计算 积分上限函数定义定义性质性质(导数导数)微积分基本公式(牛顿莱布尼茨公式)定积分的换元法分部积分法分部积分公式分部积分公式广义积分无穷限的广义积分dtttfdxxfba =b ba aj jj j)()()(无界函数的广义积分积分上限函数积分上限函数高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业

26、技术学院安徽水利水电职业技术学院第45页/共59页典型例题典型例题典型例题典型例题P259 10设积分上限函数积分上限函数解解解解:求 在 上的表达式，并讨论在 内的连续性。在 内连续性。高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第46页/共59页P332 6P332 6P332 6P332 6作辅助函数分析：高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第47页/

27、共59页计算下列极限P331 2其中 连续分析：罗比塔法则罗比塔法则高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第48页/共59页计算下列极限P331 2其中 连续分析：中值公式中值公式:两大作用：两大作用：(1)(1)曲边梯形的面积等于矩形的面积曲边梯形的面积等于矩形的面积 (2)(2)定积分式变为一般的函数关系式定积分式变为一般的函数关系式高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安

28、徽水利水电职业技术学院第49页/共59页计算下列极限P331 21 分析：中值公式中值公式:两大作用：两大作用：(1)(1)曲边梯形的面积等于矩形的面积曲边梯形的面积等于矩形的面积 (2)(2)定积分式变为一般的函数关系式定积分式变为一般的函数关系式2 分析：高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第50页/共59页高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第

29、51页/共59页定定积积分分的的应应用用平面图平面图形的面形的面积积直角坐标系极坐标系体积体积旋转体的体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第52页/共59页P344 10P344 10求由抛物线 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值123456-6-4-2246分析：高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第53页

30、/共59页P344 10P344 10求由抛物线 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值123456-6-4-2246分析：过焦点的弦面积的最小值高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第54页/共59页求下列各曲线所围成图形的公共部分面积P344 8P344 80.511.522.53-1.5-1-0.50.511.5高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院

31、第55页/共59页求下列各曲线所围成图形的公共部分面积P344 8P344 8-1-0.50.51-0.250.250.50.7511.25高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第56页/共59页P351 6P351 6求园盘 绕 旋转所成的体积1 1）选取变量选取变量或或元素元素2 2）3 3）累加累加分析：高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第57页/共59页.P351 4P351 4用积分法证明球缺的体积分析：1 1）选取变量选取变量或或元素元素2 2）3 3）累加累加高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第58页/共59页感谢您的观看！第59页/共59页