材料力学轴向拉压课件.pptx

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1、例：一变截面直杆受力如图，试画该杆的内力图。例：一变截面直杆受力如图，试画该杆的内力图。ABCD20kN30kN50kN112233FA解：杆件受轴载作用解：杆件受轴载作用,A 处反力处反力 FA也为轴也为轴向外力向外力,故内力为轴力故内力为轴力,内力图即轴力图内力图即轴力图求支反力求支反力求内力求内力画内力图（轴力图）画内力图（轴力图）D20kNFN3CD20kN30kNFN2BCD20kN30kN50kNFN1AFN1FA20kN10kN40kN+-+校核校核B+-FN+FN-FB=50kN第1页/共62页Fd1 1d2 2l例：图示重量为例：图示重量为P 的变截面圆杆的质量密度为的变截面

2、圆杆的质量密度为，顶端受轴向外载，顶端受轴向外载 F，考虑自，考虑自重的影响，试画该杆的内力图。重的影响，试画该杆的内力图。Fx解：自重是均匀分布的体积力，在本问题解：自重是均匀分布的体积力，在本问题中其合力作用线与轴线重合是轴载。中其合力作用线与轴线重合是轴载。F-F+PP杆件受力计算中分布外力用沿轴线的分布杆件受力计算中分布外力用沿轴线的分布集度描述集度描述叠加原理适用叠加原理适用若d1=d2=d 则有 为常量FF+P-第2页/共62页拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约定使杆件受拉的轴力为正。轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布

3、，称为轴力图。轴力图要画在与受力图对应的位置。集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小与集中力的大小相等。轴力对截面位置坐标的一阶导数的大小等于外载分布集度的大小。小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。拉压杆的内力拉压杆的内力第3页/共62页2.2 拉压杆的应力拉压杆的应力FFFFN一、平面假设 横截面上的应力几何分析几何分析：根据实验观测，假设变形后横截：根据实验观测，假设变形后横截面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平平面假设面假设。这样，横截面上各处法向线应变相。这样，横截面上各处法

4、向线应变相同，切应变为零。即同，切应变为零。即变形是均匀的变形是均匀的。物性分析物性分析：内力与变形有确定的关系，对于：内力与变形有确定的关系，对于连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上的内力为均匀分布的法向内力。即的内力为均匀分布的法向内力。即为常量为常量为零为零。静力学分析静力学分析：拉应力为正拉应力为正压应力为负压应力为负拉压杆横截面上正应力计算公式拉压杆横截面上正应力计算公式x变截面杆或分布轴载作变截面杆或分布轴载作用下横截面正应力计算用下横截面正应力计算公式适用于轴载作用的杆件。公式适用于轴载作用的杆件。FF第4页/共62页2.2 拉压杆的应力拉

5、压杆的应力FF二、斜截面上的应力二、斜截面上的应力讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分布。布。斜截面上的全应力可分解为正应力和切应力斜截面上的全应力可分解为正应力和切应力FFmmxnmmFFnmmtA 横截面面积横截面面积A 斜截面面积斜截面面积公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。一点处不同方位截面上应力的集合一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌应力全貌)称

6、为称为一点处的应力状态一点处的应力状态。规定方位角以 x轴为起始边逆时针转为正；切应力以使隔离体有作顺时针转动的趋势为正。横截面上横截面上纵截面上纵截面上=45=45o o截面上截面上切应力成对切应力成对单向单向(单轴单轴)应力状态应力状态第5页/共62页例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：作用。已知：F=20=20kN，b=200=200mm，t=10=10mm，=30o。试求。试求焊缝内的应力。焊缝内的应力。FFbt解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力先计算横截面上的应力先计算横截面上的应

7、力再用斜截面应力公式计算要求的应力再用斜截面应力公式计算要求的应力即焊缝处的正应力为即焊缝处的正应力为7.5MPa，切应力为，切应力为4.33MPa。第6页/共62页拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面上正应力为常量，切应力为零。对正应力规定拉应力为正，压应力为负。两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切应力为正。过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉压杆内各点为单向应力状态。拉压杆的应力拉压杆的应力第7页/共

8、62页2.3 拉压杆的变形拉压杆的变形一、拉压杆的轴向变形一、拉压杆的轴向变形FFll1bb1轴向变形轴向变形轴向线应变轴向线应变 拉为正拉为正实验表明，当实验表明，当 F 在一定的范围时，有：在一定的范围时，有：FNFN胡克定律胡克定律,E 称称弹性模量弹性模量或或杨氏模量杨氏模量,与应与应力有相同的量刚力有相同的量刚,EA 称杆的称杆的拉压刚度拉压刚度。第8页/共62页2.3 拉压杆的变形拉压杆的变形二、拉压杆的横向变形二、拉压杆的横向变形FFll1bb1横向变形横向变形横向线应变横向线应变实验表明，实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：在胡克定律适用的范围时，有：即即 横向线应变与轴向线

9、应变恒异号，两者之横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为比的绝对值为一常数，称为泊松比泊松比。弹性模量弹性模量 E 和泊松比和泊松比都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，由实验测得。由实验测得。第9页/共62页例：图示等截面直杆，横截面面积为例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量，弹性模量E，自重为，自重为W。杆的自由端受轴。杆的自由端受轴向力向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面及杆中截面C 的轴向位移。的轴向位移。Fl/2l/2ABCx解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程杆的上端杆

10、的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段的而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段的伸长量。伸长量。将将 x=l 和和 x=l/2 代入，得：代入，得：B、C 两截面的相对轴向位移为：两截面的相对轴向位移为：位移是力的线性函数位移是力的线性函数叠加原理适用叠加原理适用第10页/共62页例：例：图示桁架，在节点图示桁架，在节点 A 承受铅直力承受铅直力 F 作用。已知：杆作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积，横截面面积 A1=100mm2

11、，杆长，杆长 l1=1m；杆；杆2 用硬铝管制成，弹性模量用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积，横截面面积 A2=250mm2；载荷；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。试求节点的水平和铅直位移。FBCA45o21A2AA1AAA1A2AA4A545ol1l2解：取节点解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力为研究对象，计算各杆的轴力FAFN1FN 2(拉伸拉伸)(压缩压缩)节点节点 A 变形后的新位置变形后的新位置 A小变形小变形在小变形下，可用切线代替弧线，则在小变形下，可用切线代替弧线，则A 可视为可视为A的新位置的新位置由几何关系，可求得：由几何关系，可求得：第1

12、1页/共62页拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的关系，即泊松效应。杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得到简化。小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加结果。拉压杆的变形拉压杆的变形第12页/共62页xyzdxdydz单向应力状态单元体微面上的力在变形过程中做的功为单向应力状态单元体微面上的力在变形过程中做的功为弹性体因变形而储存的能量称为弹性体因变形而储存的能量称为应变能应变能(变形能变形能)，线弹性范围

13、内，可通过功，线弹性范围内，可通过功能原理求得。能原理求得。不考虑能量损耗，则力做的功全部转化为单元体的应变能不考虑能量损耗，则力做的功全部转化为单元体的应变能单位体积内储存的应变能，称为单位体积内储存的应变能，称为应变能密度应变能密度，单向应力状态有，单向应力状态有叠加原理不再适用叠加原理不再适用2.4拉压杆的应变能利用外力功计算应变能并不方便，在更多情况下主利用外力功计算应变能并不方便，在更多情况下主要是通过内力功来计算。要是通过内力功来计算。第13页/共62页dxFNFNl+lFFl2.4拉压杆的应变能一、拉压杆的应变能一、拉压杆的应变能第14页/共62页2.4拉压杆的应变能dxFNFN

14、应变能一定是正的量，应变能的计算一般是不能叠加的。但如果一种载荷在另应变能一定是正的量，应变能的计算一般是不能叠加的。但如果一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功，则二者同时作用时的应变能等于两种载荷单独一种载荷引起的位移上不做功，则二者同时作用时的应变能等于两种载荷单独作用时的应变能之和。作用时的应变能之和。一、拉压杆的应变能一、拉压杆的应变能第15页/共62页2.4拉压杆的应变能二、利用能量原理求位移（能量法）二、利用能量原理求位移（能量法）利用实功原理求单力系统外力的相应位移利用实功原理求单力系统外力的相应位移FBCA45o21E1 A1E2 A2第16页/共62页卡氏定理卡氏定理卡氏第

15、一定理：卡氏第一定理：在线弹性范围内，有在线弹性范围内，有当第当第 i 个广义位移有一微小增量个广义位移有一微小增量 时，应变能的增量为：时，应变能的增量为：卡氏第二定理：卡氏第二定理：当第当第 i 个广义力有一微小增量个广义力有一微小增量 时，余能的增量为：时，余能的增量为：卡氏第二定理仅适用于线弹性范围卡氏第二定理仅适用于线弹性范围第17页/共62页F1=FBCA45o21E1 A1E2 A2第18页/共62页FBCA45o21E1 A1E2 A2单位力法单位力法第19页/共62页FBCA45o21E1 A1E2 A21BCA45o21BCA45o21第20页/共62页与外力保持平衡的内力

16、，称为与外力保持平衡的内力，称为可能内力可能内力。满足位移边界条件和变形连续条件的。满足位移边界条件和变形连续条件的位移称为位移称为可能位移可能位移。与作用力系无因果关系的可能位移，相对该力系称为。与作用力系无因果关系的可能位移，相对该力系称为虚位虚位移移。力在虚位移上做的功，称为。力在虚位移上做的功，称为虚功虚功。平衡力系在刚体位移上做的虚功为零。平衡力系在刚体位移上做的虚功为零。变形体的变形体的虚功原理虚功原理(虚位移原理虚位移原理)为：在外力作用下处于平衡的弹性体，任给一为：在外力作用下处于平衡的弹性体，任给一种虚位移。则外力在虚位移上做的虚功等于内力在虚变形上做的虚功。也可理种虚位移。

17、则外力在虚位移上做的虚功等于内力在虚变形上做的虚功。也可理解为外力虚功全部转化为虚应变能。解为外力虚功全部转化为虚应变能。虚功原理虚功原理单位力法：单位力法：更广泛的意义下是否成立？更广泛的意义下是否成立？第21页/共62页相应虚广义位移和虚变形为：相应虚广义位移和虚变形为：在一组广义力作用下平衡的结构，在一组广义力作用下平衡的结构，在某种因素作用下产生微小的可能位移在某种因素作用下产生微小的可能位移 。以整体为对象计算，虚功为：以整体为对象计算，虚功为：将杆件视为无数微段的组合，虚功为：将杆件视为无数微段的组合，虚功为：ABCDEdxFNFNdxFNFN+dFN在小变形情况下虚功在小变形情况

18、下虚功原理适用于一般可变原理适用于一般可变形体。形体。以弹性杆系说明：以弹性杆系说明：第22页/共62页受各因素作用的实际结构，相应广义位移和变形：受各因素作用的实际结构，相应广义位移和变形：单位力法：计算结构指定位移的一般方法单位力法：计算结构指定位移的一般方法假设结构受与欲求位移相应的假设结构受与欲求位移相应的单位广义力单位广义力，将，将在结构引起支反力和内力：在结构引起支反力和内力：(平衡的力状态平衡的力状态)实际位移一定是可能位移。在小变形下，可作实际位移一定是可能位移。在小变形下，可作为虚位移。为虚位移。(变形协调的位移状态变形协调的位移状态)则：则：单位力法单位力法单位力法适用于小

19、变形下一般可变形体单位力法适用于小变形下一般可变形体(线弹性、非线性弹性线弹性、非线性弹性)的位移计算。结的位移计算。结果为正时，表示位移方向与假设单位力方向一致，为负表示两者方向相反。果为正时，表示位移方向与假设单位力方向一致，为负表示两者方向相反。ABCDEABCDE第23页/共62页其中实际变形是由载荷引起的其中实际变形是由载荷引起的载荷作用产生的位移计算载荷作用产生的位移计算对线弹性直杆结构，有：对线弹性直杆结构，有：该式称为该式称为莫尔定理莫尔定理，式中积分称为，式中积分称为莫尔积分莫尔积分。适用于线弹性杆件结构。适用于线弹性杆件结构。由卡氏定理也可得到和莫尔定理相同形式的位移计算公

20、式。由卡氏定理也可得到和莫尔定理相同形式的位移计算公式。第24页/共62页例：图示桁架两杆横截面积均为例：图示桁架两杆横截面积均为 A，材料的物理关系为，材料的物理关系为|=c|1/2，c 是与材料有关是与材料有关的常数，在的常数，在 D 节点作用一横力节点作用一横力 F，求节点，求节点 D 的铅直位移和水平位移。的铅直位移和水平位移。解：桁架各杆内只有轴力，由位移计算公式：解：桁架各杆内只有轴力，由位移计算公式：式中：式中：外力作用下各杆内力和应力为：外力作用下各杆内力和应力为：则：则：求铅直位移求铅直位移Dy，在，在 D 点加向下的单位力，有点加向下的单位力，有FDCEh30 o12CDE

21、h30 o12O第25页/共62页例：图示桁架两杆横截面积均为例：图示桁架两杆横截面积均为 A，材料的物理关系为，材料的物理关系为|=c|1/2，c 是与材料有关是与材料有关的常数，在的常数，在 D 节点作用一横力节点作用一横力 F，求节点，求节点 D 的铅直位移和水平位移。的铅直位移和水平位移。求水平位移求水平位移Dx，在，在 D 点加向右的单位力，有点加向右的单位力，有FDCEh30 o12CDEh30 o12O第26页/共62页例：图示结构各杆长例：图示结构各杆长 l，当支座，当支座 B 发生沉陷发生沉陷，试求节点试求节点 D 的水平位移和铅直位移。的水平位移和铅直位移。其他因素引起的位

22、移计算其他因素引起的位移计算解：静定结构支座位移不会引起附加内力，也不解：静定结构支座位移不会引起附加内力，也不会产生变形。结构只有刚体位移。会产生变形。结构只有刚体位移。ABCDEF=1ABCDEABCDEF=1求铅直位移，在节点求铅直位移，在节点 D 加向下的单位力加向下的单位力求水平位移，在节点求水平位移，在节点 D 加向右的单位力加向右的单位力第27页/共62页例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆AB及弹性杆及弹性杆件件1 组成组成，杆长，杆长 l=1m，弹性杆材料的线膨胀弹性杆材料的线膨胀系数系数l=1.210-5 oC-1。试求当杆。试求当杆1的温度升高的温度升高T=50 oC

23、 时时B点的铅直位移。点的铅直位移。解：随着温度的改变，物体会发生膨胀或解：随着温度的改变，物体会发生膨胀或收缩，即温度变形，引起结构各点位移。收缩，即温度变形，引起结构各点位移。由单位力法：由单位力法：ACBa/43a/41lA1B1ACBa/43a/41l1CAFRBFN1B点的铅直位移为点的铅直位移为1.8 mm。第28页/共62页应力应力-应变图应变图 -曲线曲线F/A2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能一、低碳钢在拉伸时的力学性能一、低碳钢在拉伸时的力学性能弹性阶段弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失撤除外力后变形可完全消失线弹性阶段线弹性阶段 OA非线性弹

24、性阶段非线性弹性阶段 AD屈服阶段屈服阶段 产生残余变形产生残余变形，应力基本不变而应力基本不变而变形继续增加。变形继续增加。强化阶段强化阶段 要使变形增加，需要加大应力。要使变形增加，需要加大应力。颈缩阶段颈缩阶段ldDACBGHOFAA1l1比例极限比例极限弹性极限弹性极限屈服极限屈服极限强度极限强度极限伸长率伸长率(延伸率延伸率)断面收缩率断面收缩率冷作硬化冷作硬化拉伸图拉伸图强度指标：强度指标：屈服极限屈服极限强度极限强度极限塑性指标：塑性指标：伸长率伸长率断面收缩率断面收缩率称为称为塑性材料塑性材料，称为称为脆性材料脆性材料。第29页/共62页2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料

25、在拉伸和压缩时的力学性能二、其他材料在拉伸时的力学性能二、其他材料在拉伸时的力学性能塑性材料塑性材料名义屈服极限名义屈服极限或或屈服强度屈服强度F/AO脆性材料脆性材料直到拉断也没有明显的残余变形，直到拉断也没有明显的残余变形，断口为横截面。断口为横截面。第30页/共62页2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能三、材料在压缩时的力学性能三、材料在压缩时的力学性能塑性材料塑性材料屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限脆性材料脆性材料压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限F/AOOF/A压缩试件压

26、缩试件第31页/共62页2.6 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算一、许用应力一、许用应力失效条件：失效条件：工作应力达到材料的极限应力工作应力达到材料的极限应力许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的 许用应力许用应力n为大于为大于1的系数，称安全系数的系数，称安全系数二、强度条件二、强度条件第32页/共62页2.6 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算三、强度计算三、强度计算1.强度校核：给定构件形式、强度校核：给定构件形式、材料、材料、尺寸和载荷工况，尺寸和载荷工况，校核构件是否满足强度校核构件是否满足

27、强度条件。条件。3.确定许用载荷：已知构件形式、确定许用载荷：已知构件形式、材料及材料及尺寸，确定在尺寸，确定在给定作用方式下给定作用方式下载荷载荷的最大许用值的最大许用值。2.确定截面尺寸：给定构件形式、确定截面尺寸：给定构件形式、材料材料和载荷工况，和载荷工况，确定构件所需的最小截确定构件所需的最小截面尺寸。面尺寸。如果最大工作应力超过了许用应力，但超过量在5%以内，在工程设计中仍然是允许的。第33页/共62页2.6 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算四、应力集中对强度计算的影响四、应力集中对强度计算的影响应力集中现象：截面发生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。应力集中现象：截面发

28、生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。K 称为称为应力集中因子应力集中因子(系数系数)1对于对于塑性材料塑性材料制成的构件，静载作用下制成的构件，静载作用下强度计算可以强度计算可以不考虑应力集中不考虑应力集中的影响。的影响。对于对于脆性材料脆性材料制成的构件，制成的构件，强度计算则强度计算则必须考虑应力集中必须考虑应力集中的影响。但铸铁材的影响。但铸铁材料例外。料例外。第34页/共62页例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且 l=2r。工作压力。工作压力 F=3274kN，连杆，连杆 AB 横截面为矩形，高与宽之比横截面为矩形，高与宽之比 h/b=

29、1.4，材料为，材料为45号钢，许用应力号钢，许用应力=90MPa。试设。试设计截面尺寸计截面尺寸h和和b。F F解：连杆解：连杆 AB 为二力杆，工作中受轴载作用为二力杆，工作中受轴载作用ABrlbhBFFNFB计算计算 AB 杆的轴力：杆的轴力：当曲柄为铅直位置时轴力当曲柄为铅直位置时轴力(值值)最大最大(受压受压)确定连杆截面尺寸：确定连杆截面尺寸：max第35页/共62页例：图示三角托架。在节点例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆作用，其中钢拉杆AC由两根由两根6.3（边厚（边厚为为6mm）等边角钢组成，）等边角钢组成，AB杆由两根杆由两根10工字钢组成。材

30、料为工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应钢，许用拉应力力t=160MPa，许用压应力，许用压应力c=90MPa，试确定许用载荷，试确定许用载荷 F。21FBCA30o1m解：求各杆内力与载荷解：求各杆内力与载荷 F 的关系的关系FA30oFN1FN2xy根据强度条件确定许用载荷根据强度条件确定许用载荷AC杆：杆：AB杆：杆：许用载荷许用载荷(拉拉)(压压)查表得：查表得：第36页/共62页2.7 拉压超静定问题拉压超静定问题ABCFFAFB未知力可由平衡方程完全确定的问题称为未知力可由平衡方程完全确定的问题称为静定问题静定问题。未知力的数目超过独立平衡方。未知力的数目超过独立平衡方程的数目，

31、仅用平衡方程不能确定所有的程的数目，仅用平衡方程不能确定所有的未知力，称为未知力，称为超静定问题超静定问题。而超出的未知。而超出的未知力数目，称为力数目，称为超静定次数超静定次数。超静定结构都存在多于维持平衡所必需的超静定结构都存在多于维持平衡所必需的约束或杆件，习惯上称为多余约束。多余约束或杆件，习惯上称为多余约束。多余约束的数目即为超静定次数。约束的数目即为超静定次数。FA解除多余约束，代之以相应反力，可得到解除多余约束，代之以相应反力，可得到含有未知外力作用的静定结构含有未知外力作用的静定结构,称为原超静称为原超静定结构的定结构的静定基静定基(基本静定系统基本静定系统)。ADCB12超静

32、定系统受力变形必须满足超静定系统受力变形必须满足平衡条件平衡条件、物理关系物理关系及及变形几何相容关系变形几何相容关系，综合三方，综合三方面考虑，除面考虑，除平衡方程平衡方程外还可建立足够数量外还可建立足够数量的的补充方程补充方程，从而能求解出全部未知力。，从而能求解出全部未知力。第37页/共62页一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆及两弹性杆件件EC 及及FD 组成组成，在，在B端受力端受力 F 作用。两弹作用。两弹性杆的拉压刚度分别为性杆的拉压刚度分别为E1A1 和和E2A2。试求杆。试求杆EC 和和 FD 的内力。的内

33、力。ADCBEFFl/3l/3l/3aE1A1E2A2CDAFHAFVABFN2FFN1解：一次超静定问题，取解：一次超静定问题，取AB 杆为研究对象杆为研究对象变形几何相容条件变形几何相容条件(变形协调条件变形协调条件)：平衡条件：平衡条件：由胡克定律：由胡克定律：联立求解得：联立求解得：平衡方程平衡方程补充方程补充方程结果表明，超静定结构中各杆件的内力与其刚度相关结果表明，超静定结构中各杆件的内力与其刚度相关第38页/共62页或或FAFBABCFlab解：杆件受共线力系作用，为一次超静定。解：杆件受共线力系作用，为一次超静定。FAABCF平衡条件：平衡条件：变形协调条件和胡克定律变形协调条

34、件和胡克定律:求求C 处的位移处的位移(水平位移水平位移)：注意：注意：Ax=l，即变形变形即变形变形协调条件可以用多余约束处的协调条件可以用多余约束处的约束条件表示；所有未知力也约束条件表示；所有未知力也都可用多余反力表示。从这一都可用多余反力表示。从这一点入手，可以导出求解超静定点入手，可以导出求解超静定问题的典型方法。问题的典型方法。一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移处的位移。Ax第39页/共62页一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴

35、力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移处的位移。FAFBABCFlab求解超静定问题的正则方法：求解超静定问题的正则方法：X1ABCF取静定基，将与被解除的多余约束相应的反力取静定基，将与被解除的多余约束相应的反力(或内力分量或内力分量)作为作为基本未知量基本未知量，且用，且用 Xi 表示，表示，相应位移记相应位移记i。静定基与原结构等效的条件静定基与原结构等效的条件为：为：i 和实际约束相同。和实际约束相同。利用平衡条件利用平衡条件:利用多余约束处的变形协调条件利用多余约束处的变形协调条件:-FNF：FF0N：+11得到关于基本未知量的方程，且方程数目与基得到关于基本

36、未知量的方程，且方程数目与基本未知量数目相同，这样的方程或方程组称为本未知量数目相同，这样的方程或方程组称为原超静定问题的原超静定问题的基本方程（正则方程）。基本方程（正则方程）。其中其中ij 是与是与Xj 相应的单位力对位移相应的单位力对位移i 的影响，的影响，称为称为影响系数影响系数。iF 称为称为自由项自由项ABCFF1ABC分别计算分别计算原有外力以及每个基本未知量相应的原有外力以及每个基本未知量相应的单位力单独作用在静定基时的支反力和杆内轴单位力单独作用在静定基时的支反力和杆内轴力，并画出相应的内力图：力，并画出相应的内力图：第40页/共62页一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下

37、的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移处的位移。FAFBABCFlab求解超静定问题的正则方法：求解超静定问题的正则方法：X1ABCF在原载荷和满足基本方程的在原载荷和满足基本方程的 Xi 同时作用下的同时作用下的静定基与原结构等效。静定基与原结构等效。利用叠加原理求关心的力学量利用叠加原理求关心的力学量:（静定基上）（静定基上）-FNF：FF0N：+11ABCFF1ABC杆内轴力：杆内轴力：支反力：支反力：指定位移：指定位移：第41页/共62页一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力

38、图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移处的位移。FAFBABCFlab解：解：一次超静定一次超静定X1ABCF分别计算各影响系数和自由项分别计算各影响系数和自由项代入方程求解得代入方程求解得+-FNF：F0N：F11第42页/共62页一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移处的位移。FAFBABCFlab解：解：一次超静定一次超静定X1ABCFFb/lFa/l-+求支反力：求支反力：+-FNF：F0N：F11求轴力并画轴力图：求轴力并画轴力图：第43页/共62页一、外力

39、作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移处的位移。FAFBABCFlab解：解：一次超静定一次超静定X1ABCF求求C 处的位移处的位移(水平位移水平位移)：+-FNF：F0N：F11ABC1-F0Nc：1在在C 处加水平单位力处加水平单位力第44页/共62页F0NAC：+1一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移处的位移。FAFBABCFlab解：解：一次超静定一次超静定X1ABCF+-FNF：

40、F0N：F11在在A和和C 处加一对水平单位力处加一对水平单位力1ABC1第45页/共62页二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆及两弹性杆件件1 及及2 组成组成，两弹性杆的材料与横截面积两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量均相同，已知材料的弹性模量E=210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l=1.210-5 oC-1。试求。试求当杆当杆1的温度升高的温度升高T=50 oC 时时,杆杆1 和和 2的正应力。的正应力。解：随着温度的改变，物体会发生膨胀或解：随着温度的改变，物体会发生膨胀或收缩，即温度变形，对超静定结构收缩，即

41、温度变形，对超静定结构,这种温这种温度变形会受到限制从而产生相应的应力度变形会受到限制从而产生相应的应力,称称为为热应力热应力(温度应力温度应力)。变形协调条件及补充方程：变形协调条件及补充方程：平衡条件及平衡方程：平衡条件及平衡方程：变形分析：一次超静定结构变形分析：一次超静定结构,假如没有杆假如没有杆2的的限制限制,杆杆1由于温度升高可自由伸长到由于温度升高可自由伸长到A1,而因而因杆杆2的限制的限制,实际伸长到实际伸长到A。FN2CAFRBFN1ACBa/43a/41l2ABA1B1第46页/共62页二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆

42、及两弹性杆件件1 及及2 组成组成，两弹性杆的材料与横截面积两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量均相同，已知材料的弹性模量E=210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l=1.210-5 oC-1。试求。试求当杆当杆1的温度升高的温度升高T=50 oC 时时,杆杆1 和和 2的正应力。的正应力。解：解：联立求解得：联立求解得：各杆内的热应力：各杆内的热应力：FN2CAFRBFN1ACBa/43a/41l2ABA1B1第47页/共62页二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆及两弹性杆件件1 及及2 组成组成，两弹性杆的材料与横截面积

43、两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量均相同，已知材料的弹性模量E=210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l=1.210-5 oC-1。试求。试求当杆当杆1的温度升高的温度升高T=50 oC 时时,杆杆1 和和 2的正应力。的正应力。解：采用正则方法，去掉多余约束解：采用正则方法，去掉多余约束，代之，代之以未知内力以未知内力X1，得到原结构的静定基。，得到原结构的静定基。多余约束处位移条件：多余约束处位移条件：正则方程为：正则方程为：ACBa/43a/41l21CAFRBBAC1X12X1TBTl1XBXl221计算影响系数和自由项：计算影响系数和自由项：第48页/共62页二、

44、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆及两弹性杆件件1 及及2 组成组成，两弹性杆的材料与横截面积两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量均相同，已知材料的弹性模量E=210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l=1.210-5 oC-1。试求。试求当杆当杆1的温度升高的温度升高T=50 oC 时时,杆杆1 和和 2的正应力。的正应力。解：解：ACBa/43a/41l21CAFRBBAC1X12X1TBTl1XBXl221求解得：求解得：第49页/共62页而对超静定结构，各杆件的变形受到约束，而对超静定结构，各杆件的变形受到约束，一般会产

45、生附加内力，相应的应力称为一般会产生附加内力，相应的应力称为装配装配应力应力或或初应力初应力。二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由三根例：图示结构由三根杆杆件件组成组成，各杆的拉压刚度分别为各杆的拉压刚度分别为E1A1、E 2A 2和和E 3A 3，因制，因制造误差，杆造误差，杆3 比其应有的长度比其应有的长度 l 短了短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：杆件制成后尺寸有微小误差是难免的。解：杆件制成后尺寸有微小误差是难免的。在静定结构中在静定结构中,这种误差只会使结构形状略这种误差只会使结构形状略为改变，不会引起附加内力。为改变，不会引起附加

46、内力。AA1l2231FN1FN2FN3AAAA0AAAA0A第50页/共62页二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由三根例：图示结构由三根杆杆件件组成组成，各杆的拉压刚度分别为各杆的拉压刚度分别为E1A1、E 2A 2和和E 3A 3，因制，因制造误差，杆造误差，杆3 比其应有的长度比其应有的长度 l 短了短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：解：AA1l2231FN1FN21AA123X1第51页/共62页二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由三根例：图示结构由三根杆杆件件组成组成，各杆的拉压刚度分别为各杆的拉压刚度分别为E1A1、E

47、 2A 2和和E 3A 3，因制，因制造误差，杆造误差，杆3 比其应有的长度比其应有的长度 l 短了短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：解：AA1l2231FN1FN21AA123X1第52页/共62页二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由三根例：图示结构由三根杆杆件件组成组成，各杆的拉压刚度分别为各杆的拉压刚度分别为E1A1、E 2A 2和和E 3A 3，因制，因制造误差，杆造误差，杆3 比其应有的长度比其应有的长度 l 短了短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：解：AA1l2231FN1FN21AA123X

48、1求解得：求解得：（受拉）（受拉）（受压）（受压）第53页/共62页二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由三根例：图示结构由三根杆杆件件组成组成，各杆的拉压刚度分别为各杆的拉压刚度分别为E1A1、E 2A 2和和E 3A 3，因制，因制造误差，杆造误差，杆3 比其应有的长度比其应有的长度 l 短了短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：解：AA1l2231FN1FN21AA123X1当：当：（受拉）（受拉）（受压）（受压）第54页/共62页ABCDFll123456X1F123456例：内力一次超静定桁架如图，设各杆例：内力一次超静定桁架如图，设各杆

49、 EA 相同，试求两种情况下的各杆轴力：相同，试求两种情况下的各杆轴力：(1)在载荷在载荷 F 作用下。作用下。(2)结构上无载荷结构上无载荷(F=0),但杆但杆5 升温升温 ,材料线膨胀系数为材料线膨胀系数为 。解：解：(1)取静定基，正则方程为：取静定基，正则方程为：第55页/共62页ABCDFll123456X1F123456例：内力一次超静定桁架如图，设各杆例：内力一次超静定桁架如图，设各杆 EA 相同，试求两种情况下的各杆轴力：相同，试求两种情况下的各杆轴力：(1)在载荷在载荷 F 作用下。作用下。(2)结构上无载荷结构上无载荷(F=0),但杆但杆5 升温升温 ,材料线膨胀系数为材料

50、线膨胀系数为 。解：解：(1)取静定基，正则方程为：取静定基，正则方程为：由由第56页/共62页ABCDFll123456X1F=0123456例：内力一次超静定桁架如图，设各杆例：内力一次超静定桁架如图，设各杆 EA 相同，试求两种情况下的各杆轴力：相同，试求两种情况下的各杆轴力：(1)在载荷在载荷 F 作用下。作用下。(2)结构上无载荷结构上无载荷(F=0),但杆但杆5 升温升温 ,材料线膨胀系数为材料线膨胀系数为 。(2)正则方程为：正则方程为：由由第57页/共62页2.8 连接部分的强度计算连接部分的强度计算工程中拉压杆与其他构件之间常用螺栓、销钉及铆钉等连接件相互连接。连工程中拉压杆