随机变量及其分布第2讲.pptx

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1、回顾：1）分布函数的定义，几何意义2）0-1分布，均匀分布，泊松分布用于什么情形，分布律表达如何，如何简写？1第1页/共60页2例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解 若x0,则Xx是不可能事件,于是 F(x)=PXx=0.若0 x2,由题意,P0Xx=kx2,k是某一常数,为了确定k的值,取x=2,有P0X2=22k.但已知P0X2=1,故得k=1/4,即第2页/共60页3于是若x 2,由题意X x是必然事件,于是F(x)=P Xx=1.综上所述,即得X 的分布函数为

2、第3页/共60页4它的图形是一条连续曲线如图所示x1231/21OF(x)第4页/共60页5另外,容易看到本例中的分布函数F(x)对于任意 x 可以写成形式这就是说,F(x)是非负函数f(t)在区间(-,x)上的积分,在这种情况下我们称 X 为连续型随机变量.其中第5页/共60页64 连续型随机变量及其概率密度第6页/共60页7如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任意实数x 有则称 X 为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X 的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量的分布函数是连续函数.在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量.本课程只讨论这两种随机

3、变量.第7页/共60页8由定义知道,概率密度f(x)具有以下性质:第8页/共60页9由性质2知道介于曲线y=f(x)与Ox 轴之间的面积等于1.由性质3知道X 落在区间(x1,x2 的概率 P x1X x2等于区间(x1,x2上的曲线y=f(x)之下的曲边梯形面积.Oxf(x)1Oxf(x)x1x21第9页/共60页课堂练习：10(1)已已知，一个连续型随机变量的概率密度函数为f(x),则其分布函数为：_(2)知一个连续型的随机变量的分布函数为F(x),其概率密度函数在x点上连续，则f(x)=_(请用F(x)的函数表达来表示)(3)连续型随机变量落在区间a,b的概率在几何上的意义为：（请作简图

4、表示）(4)思考：f(a)的直观含义是什么呢？(5)在连续型中 P(X=a)=0，a为任意常数，怎么理解这一点？第10页/共60页11由性质4在f(x)的连续点x 处有看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似,这就是为什么称f(x)为概率密度的原因.由(4.2)式知道,若不计高阶无穷小,有P(x 0,则由X=a a-D-Dx X a得0 P X=a P a-D-Dx X a=F(a)-F(a-D-Dx).在上述不等式中令D Dx0,并注意到X为连续型随机变量,其分布函数F(x)是连续的,即得P X=a=0.(4.4)第16页/共60页17因此,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,

5、可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间.例如有 P a X b=P a X b=P a Xb.在这里,事件X=a并非不可能事件,但有PX=a=0.这就是说,若A是不可能事件,则有P(A)=0;反之,若P(A)=0,并不一定意味着A是不可能事件.以后当提到一个随机变量X的概率分布时,指的是它的分布函数;或者,当X是连续型时指的是它的概率密度,当X是离散型是指的是它的分布律.第17页/共60页18介绍三种重要的连续型随机变量第18页/共60页19课堂练习：如果一个随机变量的概率密度函数为试确定常数c第19页/共60页20(一)均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间(a,b)上服

6、从均匀分布,记为XU(a,b).第20页/共60页21如果X U(a,b),则它落在(a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.事实上，任给长度为 l 的子区间(c,c+l),a c c+l b,有这一点也可以从其概率密度函数，以及概率的几何含义结合起来理解第21页/共60页22由(4.1)式得X的分布函数为（请同学们自行求解，在此略）Oab1F(x)x第22页/共60页23例2 设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900 1100.求R的概率密度及R落在950 1050 的概率.解 按题意,R的概率密度为试求P800R0为常数,则称X服从参数为q的指数分布.容易得

7、到X的分布函数为课堂练习：服从参数为_ 的指数分布第24页/共60页25f(x)的图形:Oxf(x)123123q=1/3q=1q=2第25页/共60页26如X 服从指数分布,则任给s,t 0,有 PXs+t|X s=PX t(4.9)事实上性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.简单介绍在计算机科学中的排队论第26页/共60页两个描述首事件发生的分布指数分布：在一个无记忆的连续时间随机过程中直到首事件出现的时间模型（也是唯一无记忆性的连续分布）几何分布：唯一无记忆的离散型分布，一系列独立的伯努利试验中直到首次成功的次数模型27第27页/共60页28(三)正态分

8、布 设连续型随机变量X 的概率密度为其中m,s(s 0)为常数,则称X 服从参数为m,s 的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X N(m,s2).第28页/共60页29f(x)具有的性质:1,曲线关于x=m m对称.这表明对于任意h 0有 P m m-h X m m=P m m X m m+h.2,当x=m m 时取到最大值X 离m 越远,f(x)的值越小.这表明对于同样长度的区间,当区间离 m 越远,X 落在这个区间上的概率越小.在x=m s 处曲线有拐点.曲线以Ox 轴为渐近线.第29页/共60页30练习：如X N(m m,s s2),如图1所示Oxf(x)图2图3图1第30页/共60

9、页31mxOf(x)图3图1图2练习：如X N(m,s2),如图1所示则：X 3 N(m,3s2)的图像约为（图2，图3中选择一个）：第31页/共60页32由(4.10)式得X 的分布函数为1F(x)0.5xOm第32页/共60页33练习：标准正态分布指的是：m m=_,s s=_时的正态分布.其概率密度函数的表达式为：_，通常简写为_;其分布函数的表达式为：_，通常简写为_.第33页/共60页34特别,当m m=0,s s=1时称X 服从标准正态分布.其概率密度和分布函数分别用j j(x)和F F(x)表示,即有易知F(-x)=1-F(x)(4.15)(上式很常用)人们已经编制了F(x)的函

10、数表,可供查用(见附表2,P382).要懂得自己查表哦！如：F(0)=？，F(0.3)=？F(-0.5)=？F(9)=？F(-8)=？第34页/共60页35证由此知ZN(0,1).此证明作了解即可，但是结论很重要第35页/共60页36若X N(m m,s s2),则它的分布函数F(x)可写成:则对于任意区间(x1,x2,有第36页/共60页37例如，设XN(1,4)，查表得练习：设XN(2,4)，求P1X6关键：普通标准正态分布懂得向标准正态分布靠拢，以及F(-x)=1-F(x)第37页/共60页38设XN(m m,s s2),由F F(x)的函数表还能得到:P m m-s s X m m+s

11、 s=F F(1)-F F(-1)=2F F (1)-1=68.26%P m m-2s s X m m+2s s=F F(2)-F F(-2)=95.44%P m m-3s s X z a a=a a,0a a1,(4.18)则称点 z a a 为标准正态分布的上a a 分位点.由 j j(x)的对称性知 z1-a a=-=-z a aa a0.0010.0010.0050.0050.010.010.0250.0250.050.050.100.10z za a3.0903.0902.5762.5762.3272.3271.9601.9601.6451.6451.2821.282zaa第42页/

12、共60页43作业 第二章习题 第57页开始 第20,24 题补充题某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人,临时工20人;报考的人数是1657人,考试满分是400分.考试后得知,考试总平均成绩,即u=166分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,问他能否被录取?能否被聘为正式工?第43页/共60页445 随机变量的函数的分布第44页/共60页45在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣.例如,在一些试验中,所关心的随机变量往往不能由直接测量得到,而它却是某个能直接测量的随机变量的函数.比如我们能测量圆轴的直径d,而关系的却是截面积A=p pd2/4.这里,随机变

13、量A是随机变量d的函数.下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数 Y=g(X),(g()是已知的连续函数)的概率分布.第45页/共60页46例1 设随机变量X具有以下的分布律,试求Y=(X-1)2的分布律.解 Y所有可能值为0,1,4,由PY=0=P(X-1)2=0=PX=1=0.1,PY=1=PX=0+PX=2=0.7,PY=4=PX=-1=0.2,X X-1 10 01 12 2p pk k0.20.20.30.30.10.10.40.4Y Y0 01 14 4p pk k0.10.10.70.70.20.2第46页/共60页47例2 设随机变量X具有概率密度求变量Y=2X+

14、8的概率密度.解 分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).下面先来求FY(y).第47页/共60页48将FY(y)关于y求导数,得Y=2X+8的概率密度为第48页/共60页49例3 设随机变量X具有概率密度 fX(x),-x0时有第49页/共60页50将FY(y)关于y求导数,即得Y的概率密度为(5.1)第50页/共60页51例如:设XN(0,1),其概率密度为则Y=X 2的概率密度为此时称Y服从自由度为1的c2分布.第51页/共60页52定理 设随机变量X具有概率密度f X(x),-x 0 (或恒有g(x)0.此时g(x)在(-,)严格单调增加,它的反函数 h(y)存在,且在(a a

15、,b b)严格单调增加,可导.分别记 X,Y 的分布函数为FX(x),F Y(y).因Y 在(a a,b b)取值,故当y a a 时,FY(y)=P Y y=0;当y b b 时,FY(y)=P Y y=1.当a ay b b 时,FY(y)=P Y y=P g(X)y=P X h(y)=FX h(y).第53页/共60页54FY(y)=FX h(y).将FY(y)关于y求导数,即得Y 的概率密度对于g(x)0(或恒有g(x)0),上述定理依然成立,但此时有 a a=min g(a),g(b),b b=max g(a),g(b).第55页/共60页56例4 设随机变量XN(m m,s s2).试证明X 的线性函数Y=aX+b(a 0)也服从正态分布.证 X的概率密度为现在y=g(x)=ax+b,由这一式子解得由(5.2)式得Y=aX+b的概率密度为第56页/共60页57即有 Y=a X+b N(a m m+b,(as s)2).这就是上一节引理的结果.第57页/共60页58例5 设电压V=A sinQ Q,其中A是一个已知的正试求电压V 的概率密度.解 现在v=g(q)=A sinq第58页/共60页59又,Q Q的概率密度为由(5.2)式得V=A sinQ 的概率密度为第59页/共60页60感谢您的观看！第60页/共60页