闭区间上连续函数性质74745.pptx

《闭区间上连续函数性质74745.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《闭区间上连续函数性质74745.pptx（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、有限闭区间上连续函数的基本定理基本定理第1页/共35页评注：第2页/共35页证明：二、最值定理第3页/共35页abxyo在区间内部取得最大值和最小值yabxo在区间端点取得最大值关于最值定理的说明：在闭区间 a,b 上连续的函数,一定能取得它的最大值和最小值。可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。第4页/共35页三、介值定理证明：第5页/共35页xyoab注:定理说明 对于闭区间上的连续函数,函数值之间的数还是函数值第6页/共35页四、零点定理证明：o第7页/共35页证明：求证方程 在（-1,5)内必有实根练习1由零点存在定理可知，原方程在-1，5内必有根。第8页/共35页解答:而

2、求证方程 至少有两个实根练习2所以方程 在区间 和 内各有一个实根第9页/共35页例例.证明方程证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则第10页/共35页*三三.一致连续性一致连续性已知函数在区间 I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在 I 上一致连续.显然:第11页/共35页例如例如,但不一致连续.因为取点则 可以任意小但这说明在(0,1 上不一致连续.定理4.上一致连续.(证明略)第12页/共35页备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证：证明令且根据零

3、点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.第13页/共35页例例.设设 f(x)定义在区间定义在区间上,若 f(x)在连续,提示:且对任意实数证明 f(x)对一切 x 都连续.第14页/共35页1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:第15页/共35页习题课：一、连续与间断习题课：一、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点第16页/共35页有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质

4、闭区间上连续函数的性质例2.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提示:第17页/共35页有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例例3.设函数设函数试确定常数 a 及 b.第18页/共35页例例4.设设 f(x)定义在区间定义在区间上,若 f(x)在连续,提示:且对任意实数证明 f(x)对一切 x 都连续.第19页/共35页证:证明:若 令则给定当时,有又根据有界性定理,使取则在内连续,存在,则必在内有界.第20页/共35页上连续,且恒为正,例例5.设设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即证明:即 第21页/共35页上连续,且 a c d b

5、,例例6.设设在必有一点证:使即由介值定理,证明:故 即 第22页/共35页二、二、极限极限1.极限定义的等价形式(以 为例)(即 为无穷小)有2.极限存在准则及极限运算法则第23页/共35页3.无穷小无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:4.两个重要极限 6.判断极限不存在的方法 5.求极限的基本方法 或注:代表相同的表达式第24页/共35页例例7.求下列极限：求下列极限：提示:无穷小有界第25页/共35页令令第26页/共35页则有复习:若第27页/共35页例例8.确定常数确定常数 a,b,使使解:原式可变形为故于是而第28页/共35页例例9.当当时,是的几阶无穷小?解:设其为 x 的 k 阶无穷小,则因故第29页/共35页阅读与练习阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.解:x=1 为第一类可去间断点 x=1 为第二类无穷间断点 x=0 为第一类跳跃间断点第30页/共35页 2.求求解:原式=1(2000考研)注意此项含绝对值第31页/共35页3.求解:令则利用夹逼准则可知第32页/共35页有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例.设函数试确定常数 a 及 b.第33页/共35页第34页/共35页感谢您的观看！第35页/共35页