D112对坐标曲线积分24580.pptx

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1、1)“大化大化小小”.2)“常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第1页/共33页3)“近似近似和和”4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)第2页/共33页2.定义定义.设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作第3页/共33页若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,

2、对坐标的曲线积分也可写作类似地,第4页/共33页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!第5页/共33页二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有第6页/共33页特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 第7页/共33页例例1.计算计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数,则解法2 取 y 为参数,则从点的一段.第8页/共33页例例2.计算计算其中 L 为(

3、1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则第9页/共33页例例3.计算计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解:(1)原式(2)原式(3)原式第10页/共33页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第11页/共33页例例4.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周第12页/共33页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示

4、 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结第13页/共33页3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第14页/共33页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :第15页/共33页11.1.3、设、设AB为由点为由点A(0，)到点到点B(，0)的直线段，则的直线段，则(A)(B)1 (C)0(D)1C解：AB所在直线方程为第16页/共33页11.1.4、设、设C是抛物线是抛物线y2=x上从上从(1，1)到到(1，1)的一段弧，则的一段弧，则(A)(B)(C)(D)0，B第17页/共33页11.2.2、设、设L为曲线为曲线y2=x上从点上从点(0，0)

5、到点到点(1，1)的一段，的一段，则曲线积分则曲线积分第18页/共33页11.3.3、计算曲线积分 ，式中L是A(0，1)沿曲线y=cosx到B(解：原式)的一段。第19页/共33页11.3.4、计算曲线积分 ，其中L是从A(3，3)沿曲线y2=3x到B(3，3)的弧段。第20页/共33页 11.3.5、计算曲线积分 ，其中L是正向圆周 x2+y2=1.第21页/共33页11.3.40、计算曲线积分 ，其中C为曲线x=2t,y=t2,z=t2,0t1.解：11.3.6、第22页/共33页11.3.7、设C为由坐标轴和直线 正向边界。试求 .解：边界，其中，0 x2；：，x从2到0，：，y从3到

6、0围成的三角形的第23页/共33页11.3.8、曲线积分 中的路径L为由点(0，0，0)到点(1，2，3)的直线段。，0t1 解：直线段L：试计算此曲线积分。原式第24页/共33页11.3.14、计算 ，其中L是从点O(0，0)经点A(0，1)到点B(1，1)的折线段。第25页/共33页(1，0，0)，(0，1，0)和(0，0，1)。试求曲线积分 11.3.15、设T为有问闭折线ABCA，这里的A、B、C点分别为第26页/共33页11.3.20、计算 ，式中L是圆周 的逆时针方向。第27页/共33页 11.3.21、计算曲线积分 ，其中r是曲线 上从t=0到 的一段。第28页/共33页11.3.22、计算曲线积分 其中r是从点O(0，0，0)到A(1，2，3)的直线段。第29页/共33页11.3.25、力 =x,y,x的作用下，质点从(0，0，0)点沿L：移至(1，2，1)点，求力 所做的功。第30页/共33页 11.3.41、=x,y,x的作用下，质点从(0，0，0)点沿L：移至(1，2，1)点，求力 所做的功。力第31页/共33页第32页/共33页感谢您的欣赏！第33页/共33页