隐函数求导64963学习.pptx
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1、本节讨论本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共33页一、一个方程所确定的隐函数及其导一、一个方程所确定的隐函数及其导数数定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数第2页/共33页两边对 x 求导在的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共33
2、页若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数二阶导数:则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共33页例例1.验证方程验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求第5页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共33页两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共33页定理定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单
3、值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共33页两边对 x 求偏导同样可得则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共33页例例2.设设解法1 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导第10页/共33页解法解法2 利用公利用公式式设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共33页例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第12页/共33页对方程两边求微分:解
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