非机理模型在数学建模中的应用.pptx

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1、例例1.报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价)售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量.存在一个合适的购进量一、一、概率论在建模中的应用概率论在建模中的应用第1页/共40页每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的等于每天收入的期望第2页/共40页建建模模 设每天购进 n 份，日平均收入为日平均收入为 G(n)求 n 使 G(n)最大 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c调查需求量的随机

2、规律每天需求量为 r 的概率 f(r),r=0,1,2准准备备第3页/共40页求解求解将r视为连续变量第4页/共40页结果解释结果解释nP1P2取n使 a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱Orp第5页/共40页二、二、数据的统计描述与分析数据的统计描述与分析 数理统计学是以概率论为基础，从实际观测资料出发，研究如何合理的搜集资料（数据）来对随机变量的分布函数、数字特征等进行估计、分析和推断。更具体地说：数理统计学是研究从一定总体中随机抽出一部分（称为样本）的某些性质，以此对所研究总体的性质作出推测性的判断。具体包括：参数估计、假设检验、方差分析、回归分析及马尔可夫链等。沈阳建筑大学沈

3、阳建筑大学 理学院理学院第6页/共40页 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差。进行成批生产时，标定值表示一批零件参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望，在生产部门无特别要求时，容差通常规定为均方差的3倍。例例2.2.零件的参数设计零件的参数设计沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院背景介绍背景介绍第7页/共40页 某粒子分离器某参数由7 7个零件的参数决定，经验公式为 y的目标值为y0=1.5。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失1000元；当y偏离y00.3时，产品为

4、废品，质量损失9000元。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第8页/共40页表1 1 零件参数标定值容许范围及其成本标准值容许范围标准值容许范围C C等等B B等等A A等等x x1 10.075,0.1250.075,0.125/2525/x x2 20.225,0.3750.225,0.37520205050/x x3 30.075,0.1250.075,0.12520205050200200X X4 40.075,0.1250.075,0.1255050100100500500X X5 51.125,1.8751.125,1.8755050/X X6 612,2012,2010102

5、525100100 x x7 70.5625,0.93750.5625,0.9375/2525100100 零件参数的标定值有一定容许变化范围，容差分A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为1%，B等为5%，C等为10%。7个零件参数标定的容许范围及不同容差等级的成本见表1（符号“/”表示无此等级的零件）。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第9页/共40页 考虑当成批生产，每批产量1000个时，如原设计7个零件参数的标定值：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，容差均取便宜的等级。请综合考虑y偏离y0的损失和零件成本，重

6、新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低多少？沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第10页/共40页 目标函数为总费用，它由两部分组成：一是零件的成本；二是由于产品的参数y偏离目标值y0造成的损失。因此，原问题可归结为在一定约束条件下的非线性规划问题。1 1、问题的分析、问题的分析 由于零件在加工制造过程中存在多种随机因素，如零件安装的误差，刀具的磨损，测量的误差等等，因此，由中心极限定理知零件的参数可以看成是服从正态分布的随机变量。设七个零件的加工是独立的，则七个零件的参数可视作相互独立的正态随机变量，即设2 2、关于零件参数的假设、关于零件参数的假设沈阳建筑大学沈阳

7、建筑大学 理学院理学院第11页/共40页3 3、模型的初步建立、模型的初步建立 由于产品的参数y为零件参数的函数，也是随机变量，记l(y)为生产一件产品造成的损失，则l(y)是随机函数，且可表达为：(1)其中生产一件产品的平均损失费用 (2)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第12页/共40页4 4、模型中变量的分布及参数的求解、模型中变量的分布及参数的求解（1）首先估计y的分布 需要解决下面两个问题：用什么分布描述y？估计出分布后，如何计算相应的参数？可采用模拟的办法产生一批X=(X1,X2,X7)的样本，这样就得到了y的模拟样本，由此可以对y的分布进行统计分析。沈阳建筑大学沈阳建筑大学

8、 理学院理学院第13页/共40页 这里采用MATLAB软件编程进行试验，然后使用histfit(y)指令根据模拟y的样本画出的直方图及其正态密度的拟合。用上面的程序计算的结果，看来本问题将y视为正态分布是合理的。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第14页/共40页（2）对所提出的y为正态分布进行假设检验及参数 的相应估计拟合检验法来检验y y是否服从正态分布方法：皮尔逊 N(,2)，这里和2可以由y的样本进行矩估计或极大似然估计，对均值得检验可直接调用ztest、ttest指令来完成，其调用格式如下：h,p,ci=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)：均方差sigma

9、为已知。h,p,ci=ttest(x,mu,alpha,tail)：均方差sigma为未知。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第15页/共40页 从结果看：p=0.8387，并不是小概率事件，且h=0，因此所提原假设（即H0:=0）成立，结果表明：Y仍为正态分布，即：其概率密度函数为：因此，大批生产时平均每件产品的质量损失费用为：(3)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第16页/共40页5 5、模型解析表达式最终的确定、模型解析表达式最终的确定产品总费用零件总成本质量损失费用。生产一批1000件产品总费用的目标函数可写成 设cij为第i个参数取第j个容差等级时所需成本，第1，2，3容差

10、等级分别表示A，B，C等级。设dij为0-1变量，如果第i个参数取第j个容差等级则取值为1，否则取值为0。(4)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第17页/共40页最终数学模型如下：(5)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第18页/共40页回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.不涉及回归分析的数学原理和方法.通过实例讨论如何选择不同类型的模型.对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进.由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型.三、三、统计回归模型统计回归模型沈阳建

11、筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第19页/共40页例例3.3.香皂的销售量香皂的销售量 问问题题建立香皂销售量与价格、广告投入之间的模型;预测在不同价格和广告费用下的香皂销售量.收集了30个销售周期本公司香皂销售量、价格、广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万块)价格差（元）广告费用(百万元)其他厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第20页/共40页基本模型基本模型

12、y 公司香皂销售量x1其他厂家与本公司价格差x2公司广告费用x2yx1yx1,x2解释变量(回归变量,自变量)y被解释变量（因变量）0,1,2,3 回归系数 随机误差（均值为零的正态分布随机变量）沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第21页/共40页MATLAB 统计工具箱 模型求解模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)输入 x=n 4数据矩阵,第1列为全1向量alpha(置信水平,0.05)b 的估计值 bintb的置信区间 r 残差向量y-xb rintr的置信区间 Stats检验统计量 R2,F,p,s2 yn维数据向量输出 由数据 y,x

13、1,x2估计 参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0 1 2 3沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第22页/共40页结果分析结果分析y的90.54%可由模型确定 参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F

14、=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0 1 2 3F远超过F检验的临界值 p远小于=0.05 2的置信区间包含零点(右端点距零点很近)x2对因变量y 的影响不太显著x22项显著 可将x2保留在模型中 模型从整体上看成立沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第23页/共40页销售量预测销售量预测 价格差x1=其他厂家价格x3-本公司价格x4估计x3调整x4控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流 若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道

15、销售额在 7.8320 3.7 29（百万元）以上控制x1通过x1,x2预测y(百万支)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第24页/共40页模型改进模型改进x1和x2对y的影响独立 参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0426 0 1 2 3参数参数估计值置信区间29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906-7.6080-12.6932

16、 -2.5228 0.67120.2538 1.0887-1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019状态转移阵 沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第37页/共40页模型建立模型建立 状态概率 马氏链的基本方程正则链 稳态概率分布 w 满足 wP=w已知初始状态，可预测第n周初库存量Sn=i 的概率n,状态概率 正则链沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第38页/共40页第n周失去销售机会的概率 n充分大时 模型求解模型求解 从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。1.估计失去销售机会的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019存贮策略的评价指标存贮策略的评价指标0.105沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页