D函数图形的描绘D曲率.pptx

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1、12.连续函数的极值的求法(1)极值可疑点:使一阶导数为0 或不存在的点x.(2)第一充分条件:(3)第二充分条件:温故知新：1.可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减定理1：第1页/共30页23.连续函数的最值的求法特别:当 求就是最大(小)值.如果在区间 内可导且只有一个极值点,则这个极大(小)值(2)第2页/共30页34.曲线凹凸的判别定理2：5.求拐点方法:(1)(2)第一判别法:(3)第二判别法:第3页/共30页4第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘函数图形的描绘 第三章 第4页/共30页5无渐近线.某一直线 L 的距离趋于 0,一、一、曲线的渐近线曲线的渐近线1

2、.定义.若曲线 C上的点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与则称直线 L 为曲线C 的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标的差”“横坐标的差第5页/共30页62.需掌握的几类渐近线：1)水平渐近线:2)垂直渐近线:3)斜渐近线:易知:在同一个方向上若有水平渐近线就不会有斜渐近线.第6页/共30页7例1.解:求的渐近线.所以有铅直渐近线且则有斜渐近线所以它没有水平渐近线;第7页/共30页8步骤:1.确定函数的定义域,2.求并求出3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点(如与坐标轴的交点),描绘函数图形.为 0 和不存在的点;并考察其对称性及周期性;函

3、数图形的描绘需综合研究函数性态,是导数应用的综合.二、函数图形的描绘第8页/共30页9例2.解:非奇非偶函数,且无对称性.第9页/共30页10列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极小间断第10页/共30页11作图拐点极小值间断点渐近线：第11页/共30页12 .在区间 上是凸弧;拐点为 在区间 上是凹弧;则函数 f(x)的图形的图形如图所示,例3.例4.设函数 在 内连续,其导函数的图形如图所示,则 有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.第12页/共30页131.曲线(A)没

4、有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:练习：(12数学一，二，三)思考与练习 第13页/共30页14 在工程技术问题中，有时需要研究曲线的弯曲程度，如：桥梁在荷载作用下会产生弯曲程度，因此在设计房屋、桥梁等建筑结构时，都要考虑所允许的弯曲程度，否则会造成质量事故；又如：在公路、铁路的转弯处，为使车辆平稳地转入弯道，需考虑道路的弯曲程度-曲率请读下面文字：第七节一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲率第14页/共30页15一、弧长函数及其微分1.光滑曲线：内具有一阶连续导数(连续转动的s取正号，否则,s取负号.显然：弧

5、长函数是单调增加函数.方向与曲线正向一致时，规定：曲线正向是指依x增大的方向.（2）在上述规定下，就确定了一个弧长函数2.弧长函数大小等于的长度，切线),则称曲线 为光滑曲线.的值s规定如下：（1）光滑曲线上有向弧第15页/共30页163.弧微分-弧长 函数的微分则对应曲线上的点弧s的增量为则因为是单调增加函数于是弧微分为弧微分公式第16页/共30页17则有dydxds4.弧微分的几何意义：就是曲线上点处的切线上的长度.所以称为微分三角形.ds第17页/共30页18二、曲率及其计算公式曲率:是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量)1.影响曲线弯曲程度的因素：(1)切线转角的大小.(单位弧长转角大的

6、弯曲的很)(2)弧的长度.(转角一定,弧短的弯曲的很).)第18页/共30页192.曲率的定义：(1)平均曲率：(2)曲线在点M处的曲率：单位弧段上切线转角的大小.)yxo当时，平均曲率的极限叫做该曲线在点M处即的曲率.则存在，若即 曲率是切线的倾角对弧长的导数的绝对值.第19页/共30页203.曲率的计算公式对于弧 确定了两个函数:故曲率yxo说明:(1)公式中的是函数 的一阶,二阶导数；(2)拐点处的曲率为零.(3)直线上任一点处的曲率为零.直线的曲率处处为零.第20页/共30页21例1.求在点处的曲率.解:又说明:若曲线由参数方程给出,则曲率公式也适用.第21页/共30页22例2.计算圆

7、上任一点处的曲率.解:说明:圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.第22页/共30页23例3.解:显然,有曲率近似计算公式P173例2 第23页/共30页24了解：我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.求此缓和曲线在其两个端点且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.第24页/共30页25三、曲率圆与曲率半径1.定义：设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.2.点M 处曲

8、率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使第25页/共30页26(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.3.曲率与曲率半径的关系:(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);(称为曲线在该点附近的二次近似).即说明：研究曲率圆的意义-近似计算第26页/共30页27例4.设一工件内表面的截痕为 ,现要用砂轮磨削其内表面,问选择直径多大的砂轮比较合适?解:由例3可知,抛物线在顶点处的曲率最大，此时曲率半径最小.在(0,0)处 这时显然,砂轮半径不超过 时，才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.第27页/共30页28内容小结-描述的曲线弯曲程度.(2)曲率:(3)曲率半径:(1)弧微分:练习:P169 4.P177 1,2,4,5.P182总习题三第28页/共30页29解:则P177第5题有实际意义知存在曲率最大的点.故 即为所求，这时第29页/共30页30感谢您的观看！第30页/共30页