D多元函数的微积分.pptx

《D多元函数的微积分.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D多元函数的微积分.pptx（62页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、6.1 6.1 多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的定义二元函数的定义 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 二元函数的极限二元函数的极限 二元函数的连续性二元函数的连续性 小结小结 思考与练习思考与练习第1页/共62页定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。n 二元函数的定义二元函数的定义第2页/共62页例第3页/共62页例2 一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布唯一的温度类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。第4页/共62页 一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。n 二元函数的几何意义二元函数的几何意义第5

2、页/共62页（2）二元函数 z=f(x,y)的图形通常是一张曲面（函数曲面）.第6页/共62页n 二元函数的极限二元函数的极限第7页/共62页小结小结：（）（）第8页/共62页例例 求证求证证明第9页/共62页由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数第10页/共62页性质（最大值和最小值定理）n 二元函数的连续性二元函数的连续性第11页/共62页性质（零点定理）性质（有界性定理）性质（介值定理）第12页/共62页例设解因此第13页/共62页小结：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的连续性，如果要求它在点n n思考题思考题

3、思考题思考题:一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。第14页/共62页6.2 6.2 多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分 偏导数的概念偏导数的概念 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 小结小结 思考与练习思考与练习 高阶偏导数高阶偏导数 全微分的概念和应用（未做）全微分的概念和应用（未做）第15页/共62页n 偏导数的概念偏导数的概念第16页/共62页同理,如果极限导数,记作第17页/共62页偏导函数,简称偏导数,记作第18页/共62页解解根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,并不需要

4、新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.例1第19页/共62页例例2解所以第20页/共62页例3解第21页/共62页意义.n 偏导数的几何意义偏导数的几何意义第22页/共62页如下图所示第23页/共62页例如n 偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系第24页/共62页注注:偏导数存在偏导数存在与连续的区别与连续的区别(1)(1)偏导数存在，不一定连续；偏导数存在，不一定连续；(2)(2)连续，不一定存在偏导数；连续，不一定存在偏导数；第25页/共62页高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设一般来说,这两

5、个偏导数还是可定义二元函数的二阶偏导数如下n 高阶偏导数高阶偏导数第26页/共62页第27页/共62页例例 4 4解解第28页/共62页二阶以上的偏导数称为高阶偏导数第29页/共62页例5解第30页/共62页上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的.为此,给出下面的定理:定理6.1相等.例6第31页/共62页解 因为所以n n小结：小结：小结：小结：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导次序无关。次序无关。第32页/共62页6.3 6.3 多元函数复合函数、

6、隐函数的求导法则多元函数复合函数、隐函数的求导法则 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法 小结小结 思考与练习思考与练习第33页/共62页定理6.5n n 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则第34页/共62页证明第35页/共62页第36页/共62页所以有完全类似地可以证明第二个等式。下面再介绍一特殊情形。第37页/共62页另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似则第38页/共62页 （1）搞清函数的复合关系；（2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。例1解注意：第39页/共62页例2解第40页/共6

7、2页n n 隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法第41页/共62页同理可证定理6.6（隐函数存在定理）第42页/共62页并有注意例3解第43页/共62页例4解第44页/共62页应用上面公式，得第45页/共62页6.4 6.4 多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用 在几何上的应用在几何上的应用 二元函数极值的求法二元函数极值的求法 小结小结 思考与练习思考与练习第46页/共62页 1.空间曲线的切线与法平面n n 在几何上的应用在几何上的应用第47页/共62页即第48页/共62页例1解第49页/共62页于是，切线方程为法平面方程为2.曲面的切平面方程与法线方程为第50页/共62页第51页/共

8、62页例2解或法线方程为第52页/共62页1、二元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理6.7(极值存在必要条件)使n n 二元函数极值的求法二元函数极值的求法第53页/共62页定理6.8（极值存在充分条件）令第54页/共62页第一步第二步第三步第55页/共62页 例3解（1）求驻点解方程组（2）判断驻点是否极值点，若是，说明取得极值情况又由于第56页/共62页2.条件极值与拉格朗日乘数法在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件条件极值问题有如下两种解法。方法1例4解第57页/共62页由一元函数极值存在的必要条件，得所以方法2 （拉格朗日数乘法）第58页/共62页这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。第59页/共62页例例5解作辅助函数令第60页/共62页由前三式，得即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。注注:求二元函数极值的方法求二元函数极值的方法(1)(1)换元法。换元法。(2)(2)拉格朗日数乘法。拉格朗日数乘法。第61页/共62页感谢您的观看！第62页/共62页