D多变量函数的微分和偏导数.pptx

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1、一、多变量函数的微分定义8.3.1 设 在 的邻域中有定义，记 ，如果存在常数A,B使得当时，有则称 在 M0 处可微，并称为 在M0的微分，记成第1页/共39页是的线性主部。定理8.3.1 如果f(x,y)在M0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在M0(x0,y0)处连续。第2页/共39页定义定义8.3.1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:二、多变量函数的偏导数第3页/共39页同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,

2、记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在,第4页/共39页例例1.求求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共39页例例2.设设证:例3.求的偏导数.解:求证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共39页偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,第7页/共39页若 在(x,y)处可微，则偏导数也叫偏微商，这种叫法源于其本质上是一个一元函数微商，但对于二元函数而言不具有商的性质，只是一种记

3、号。第8页/共39页二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的第9页/共39页函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：注意：但在该点不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!第10页/共39页二元函数可微则偏导数存在。但偏导数存在，函数不一定可微。定理8.3.2 如果 z=f(x,y)的两个偏导数在M0(x0,y0)处都是连续的，则 f(x,y)在M0(x0,y0)处可微。第11页/共39页例如,三元函数 u

4、=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的可微与偏导数的概念可以推广到二元以上的函可微与偏导数的概念可以推广到二元以上的函数数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)可微的定义为第12页/共39页例5.求 在（1，2，3）处的偏导数。第13页/共39页三、高阶偏导数三、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:第14页/共39页类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于

5、x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为第15页/共39页例例6.求函求函数数解:注意:此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 第16页/共39页例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共39页例例7.证明函数证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共39页则证明 目录 上页 下页 返回 结束 证:令则令定理.8.3.3.第19页/共39页同样第20页/共39页在点连续,得第21页/共39页例如,对

6、三元函数 u=f(x,y,z),说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等第22页/共39页把区域 D 中有 n 阶连续偏导数的函数全体记作把区间 I 中有 n 阶连续导数的一元函数全体记作第23页/共39页作业作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P6668 1（3）,2（9）,9（1）；11；13；17。第24页/共39页第四节第四节一元复合函数求导法则微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数的微分法 第八章 第

7、25页/共39页本节内容:一、复合函数求导的链式法则二*、Jacobi矩阵三、方向导数和梯度四、全微分的不变性五、例题第26页/共39页一、复合函数求导的链式法则定理8.4.1.若函数 可微，和 有一阶偏导数，则 z 对 x 和 y 有偏导数，并有写成矩阵形式：第27页/共39页一般地，设 可微，而第28页/共39页例例1.设设解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共39页例例2.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共39页例3.证明函数 u=1/r 满足方程其中 。Laplace方程，调和函数第31页/共39页 若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证:设 t

8、 取增量t,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u,v,第32页/共39页(全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共39页若定理中 说明说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.第34页/共39页 中间变量多于两个的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共39页又如又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共39页例例4.设设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第37页/共39页为简便起见,引入记号例例5.设设 f 具有二阶连续偏导数,求解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页