3、微分中值定理与导数的应用.pptx

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1、（二）主要结论 1.微分中值定理 (1)罗尔(Rolle)定理 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),使 f()=0.(2)拉格朗日(Lagrange)定理 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,则至少存在一点(a,b),使 f(b)-f(a)=f()(b-a).(3)柯西(Cauchy)定理 设 f(x)与F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,且 F(x)0,则至少存在一点(a,b),使第1页/共59页 (4)泰勒(Taylor)定理 设 f(x)在 x0 的某邻域U(x0,)内具有直到 n+1阶的导数,则 xU(x0,),

2、有型余项.此公式称 f(x)的 n 阶泰勒公式.称为Lagrange 当 x0=0时,此公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式,余项形式还有柯西型余项和佩亚诺(Peano)余项Rn(x)=o(|x x0|n).第2页/共59页 3.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,若 f(x)0,则 f(x)在a,b上是单调增加的;若f(x)0,则 f(x)在a,b上是单调减少的.2.洛必达(LHospital)法则 lim f(x)=lim g(x)=0(或),存在或为,则 4.设 f(x)在 x0 处连续,在某去心邻域内可微,当 x 在内从x0左侧经过x0到右侧时,f(x)由正变负,则

3、f(x0)为 f(x)的一个极大值;f(x)由负变正,则 f(x0)为 f(x)的一个极小值.(第一充分条件)5.f(x0)=0,f(x0)0,那么,当 f(x0)0 时,f(x0)为极大值；当 f(x0)0 时,f(x0)为极小值.(第二充分条件)第3页/共59页 6.设 f(x)在(a,b)内具有二阶导数,则当f(x)0时,曲线 y=f(x)在(a,b)内是凹的；当 f(x)0时,曲线 y=f(x)在(a,b)内是凸的.7.设 f(x)在(a,b)内二阶可导,x0(a,b),f(x0)=0,且在 x0 的左、右二阶导数变号,则(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点.(拐点的第一充分条件

4、)8.设 f(x)在x0 处三阶可导,f(x0)=0,f(x0)0,则(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点.(拐点的第二充分条件)9.弧微分公式第4页/共59页 (5)空间曲线：x=(t),y=(t),z=(t),10.曲率与曲率半径 (3)设y(x)0,则曲线 y=f(x)在M(x,y)点的曲率中心D(,)的坐标为第5页/共59页（三）结论补充 1.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,x0是 f(x)在(a,b)内唯一驻点,若 x0是 极大值点,则 x0 必是 f(x)在a,b上的最大值；若 x0是极小值点,则 x0 必是 f(x)在a,b上的最小值.3.设 f(x)在 x

5、0 处具有 n 阶连续导数,且 2.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,若在(a,b)内f(x)0,则 a 是最小值点,b 是最大值点；若在(a,b)内 f(x)0,则 a 是最大值点,b 是最小值点.f(x0)=f(x0)=f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)0,则当 n 为奇数时,f(x0)不是极值；当 n 为偶数时,f(x0)是极值.且当 f(n)(x0)0 时,f(x0)是极大值；当 f(n)(x0)0 时,f(x0)是极小值.第6页/共59页则 y=ax+b 是 y=f(x)的斜渐近线.4.若在 x0 的某邻域内,f(x)具有 n 阶连续导数,且 f(x0)=f(x

6、0)=f(k-1)(x0)=0,f(k)(x0)0,(k n)则当 k 为偶数时,(x0,f(x0)不为 y=f(x)的拐点；当 k 为奇数时,(x0,f(x0)为 y=f(x)的拐点(k 0).5.若均存在,则 x=c 是 y=f(x)的铅直渐近线.则 y=c 是 y=f(x)的水平渐近线.第7页/共59页 6.对于型未定式,可视分子或分母无穷小的阶数,对分子或分母进行佩亚诺替换,替换公式为第8页/共59页 7.设lim u(x)=1,lim v(x)=,则有 lim u(x)v(x)=explimu(x)1v(x).8.设lim(x)=0,lim(x)=0,(x)0,则有 9.设lim(x

7、)=0,lim(x)=0,第9页/共59页二、归类解析 （一）证明题 1.证明不等式例3-1 试证 x -1时,ex 1+ln(1+x).例3-2 证明当 0 x 2时,4xlnx x2 2x+4 0.例3-3 当 a 为正常数,且0 x +时,证明(x2 2ax+1)e-x 1.例3-4 证明当 x 0时,例3-5 试比较 e 与 e 的大小.例3-6 若 f(x)二阶可导,且 f(a)=f(b)=0(a b),试证明在(a,b)内至少有一点 ,使 第10页/共59页 2.证明等式 例3-7 f(x)与 g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,且 f(a)=f(b),证明存在 (a,b)

8、,使 f()+f()g()=0.例3-8 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微(0 a b),证明存在 (a,b),使 例3-9 设 f(x)与 g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,对于 x(a,b),g(x)0,试证在(a,b)内必有,使 例3-10 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,试证存在 ,(a,b),使 第11页/共59页（二）洛必达法则 例3-11 求 例3-12 求 例3-13 求 例3-14 设 a 0,b 0,a 1,b 1,求 例3-15 求第12页/共59页 例3-17 设 f(x)在 a,+)上连续,当 x a 时,f(x)k 0,其中 k

9、为常数,又 f(a)0,证明：方程 f(x)=0在（三）函数性态 例3-16 设 f(x)在 a,+)中二阶可导,且 f(a)0,f(a)0,又当 x a 时,f(x)0,证明方程 f(x)=0在(a,+)内必有且仅有一个实根.内有唯一实根.例3-18 试证方程 x2=xsinx+cosx 恰有两个实根.例3-19 设(x)在x=0处二阶连续可导,且(0)=0,(0)0,证明曲线 y=f(x)=(1 cosx)(x)在 x=0处必出现拐点.第13页/共59页 例3-20 求 y=x3 6x2+9x 4的极值.例3-21 若在 a 的邻域内 f(x)存在且连续,证明 例3-22 设在a,b上 f

10、(x)0,证明 在a,b上单调增加.例3-23 作函数 第14页/共59页（四）导数应用 例3-24 求单位球的内接正圆锥体,其体积为最大时的高与体积.例3-25 在曲线 y=1 x2(x 0)上求一点P 的坐标,使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小.例3-26 银幕高为 a m,银幕底边高出观众 b m,问观众离银幕多远,才能使观众看图象最清楚,即视角最大？例3-27 求数列第15页/共59页 例3-28 曲线 y=4 x2 与直线 y=2x+1相交于A,B 两点,又C 是曲线弧AB上任一点,求ABC 面积的最大值.例3-29 在曲线 y=x2 x 上求一点P,使P 点到定点

11、A(0,1)的距离最近.例3-30 由直线 y=0,x=8及抛物线 y=x2 围成一个曲边三角形,在曲边 y=x2 上求一点,使曲线在该点的切线与直线 y=0及 x=8所围成的三角形面积最大.第16页/共59页三、同步测试 测试3-1 (一)、填空题（3分4=12分）1.取 f(x)=x3,F(x)=x2,在区间1,2上适合柯西中值定理的 =2.曲线的拐点是3.函数 y=ln(1+x2)的单调减少区间是4.曲线 y=(x 1)2 在 x=1处的曲率半径 R=答案：(-,2第17页/共59页(A)f(x)0,f(x)0;(B)f(x)0,f(x)0;(二)、选择题（4分3=12分）1.函数 f(

12、x)在(-,+)上二阶可导,f(x)为奇函数,在(0,+)上 f(x)0,f(x)0,则 f(x)在(-,0)上有 .2.设两函数 f(x)与g(x)在点x=x0处都取得极小值,则 f(x)g(x)在点x=x0处 .(A)不一定取极值;(B)必取极小值;3.设 f(x)二阶可导,且 f(x)0,f(0)0,则在(0,+)上 必 .(A)单调减少;(B)单调增加;(C)先单调增加,后单调减少;(D)先单调减少,后单调增加.答案：(D)答案：(A)答案：(B)(C)f(x)0,f(x)0;(D)f(x)0,f(x)0;(A)不能取极大值;(D)不能取极值;第18页/共59页(三)、计算题（6分5=

13、30分）1.求2.求3.求4.求5.求第19页/共59页(四)、综合题（8分4=32分）1.在椭圆内嵌入面积最大且边平行于坐标 2.已知矩形的周长为 24,将它绕一边旋转而构成一立体,问矩形的长、宽各为多少时,所得立体的面积最大.3.已知点(1,3)为曲线 y=x3+ax2+bx+14的拐点,试求 a,b 的值.4.讨论 y=xe-x 的增减性,凹凸性,极值,拐点,渐近线,并绘出图形.答案:a=-3 b=-9轴的矩形.答案:长：8；宽：4第20页/共59页(五)、证明题（7分2=14分）1.试证当 x 0时,ex 1 (1+x)ln(1+x).2.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微

14、(0 a b),试证存在 (a,b),使 2 f(b)f(a)=(b2 a2)f()第21页/共59页测试3-2 (一)、填空题（3分4=12分）1.设 y=x ln(1+x2)的单调增加区间是 2.设 在点 处的曲率 k=3.设 的凸区间为 4.函数 y=x 3x 的极小值点是 x=答案：(-,+)第22页/共59页(二)、选择题（4分3=12分）1.设函数 y=f(x)对一切 x 满足 x f(x)+3x f(x)2 =1 e-x,若 f(x0)=0,x0 0,则 .(A)x0 是 f(x)的极小值点;(B)x0 是 f(x)的极大值点；(C)x0 不是 f(x)的极值点;(D)(x0,f

15、(x0)是曲线 y=f(x)的拐点.2.函数 y=f(x)在函数 x=x0 处取得极值,则 .3.若 3a2 5b 0,则方程 x5+2ax3+2bx+4c=0必 .答案：(A)答案：(C)答案：(B)(A)f(x0)0;(B)f(x0)0；(C)f(x0)=0或 f(x0)不存在;(D)f(x0)不存在.(A)无实根;(B)有唯一实根；(C)有两个不同实根;(D)有三个不同实根.第23页/共59页(三)、计算题（6分5=30分）1.求2.求3.求4.求5.求第24页/共59页(四)、综合题（8分4=32分）1.设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1处取得极小值-2,求a,b的值.2.设

16、函数 f(x)=x3+ax,当|x|2时,|f(x)|4,求a的取值范围.3.讨论方程 1 x tanx=0在(0,1)内的实根情况.4.求答案:a=0,b=-3答案:只有一个实根答案:a第25页/共59页(五)、证明题（7分2=14分）1.设 ,且 f(x)0,试证 f(x)x.2.设 f(x)在 a,b上二阶连续可导，A(a,f(a)，B(b,f(b)连线与曲线 y=f(x)交于C(c,f(c)(a c b),试证存在一点 (a,b)，使 f()=0.第26页/共59页证 令 f(x)=ex 1 ln(1+x),则 有 f(0)=0,f(0)=2 0，即 ex 1+ln(1+x).例3-1

17、 试证 x -1时,ex 1+ln(1+x).故 f(0)为 f(x)的极小值,也是 f(x)于(-1,+)内最小值,因此 f(x)f(0)，第27页/共59页例3-2 证明当 0 x 2时,4xlnx x2 2x+4 0.证 令 f(x)=4xlnx x2 2x+4,则 f(x)=4lnx 2x+2,令 f(x)=0,得驻点 x=1,这是唯一驻点.而 故 x=1是 f(x)的极小值点.又当0 x 2时,f(x)0,故曲线 y=f(x)在(0,2)内是凹的,故 x=1既是极小值点,又是最小值点,从而在 0 x 2中,有 f(x)f(1)=1 0，从而 4xlnx x2 2x+4 0.第28页/

18、共59页例3-3 当 a 为正常数,且0 x +时,证明(x2 2ax+1)e-x 1.证 令 f(x)=ex (x2 2ax+1),则 f(x)=ex 2x+2a,f(x)=ex 2,f(x)=ex 0.令 f(x)=0,得 x=ln2,f(x)在 x=ln2 处取得最小值,即 f(x)f(ln2)=2 2ln2+2a 0,从而 f(x)在 0,+)上单调增加,即当 0 x +时 f(x)f(0)=0,就是 ex (x2 2ax+1)0，亦即 (x2 2ax+1)e-x 1.第29页/共59页例3-4 证明当 x 0时,证 令故 f(x)单调减少.又所以即本题也可以用拉格朗日中值定理证明：令

19、 g(x)=lnx,区间是 x,x+1第30页/共59页例3-5 试比较 e 与 e 的大小.解 由于 e=eeln,问题转化为比较同底数得幂指数 e与 eeln的大小,只要比较 与 eln即可,令 f(x)=x elnx,当 x e 时,f(x)0,f(x)单调增加,而 f(e)=0,从而 f(x)f(e)=0,又 e,故 f()0,有 eln 0,即有 e eeln 从而 e e.第31页/共59页例3-6 若 f(x)二阶可导,且 f(a)=f(b)=0(a b),试证明在(a,b)内至少有一点 ,使 证 此题用Taylor公式来证.分别在 a,b两点将 f(x)展开成Taylor公式,

20、然后将 c上两式相减并取|f()|=max|f(1)|,|f(2)|,有代入,则有第32页/共59页 例3-7 f(x)与 g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,且 f(a)=f(b),证明存在 (a,b),使 f()+f()g()=0.分析 要证 f()+f()g()=0,若能证出 eg()f()+f()g()=0,即可,然而等式的左端正是 F(x)=f(x)eg(x)在 x=处的导数.证 作辅助函数 F(x)=f(x)eg(x)F(x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)又 F(a)=f(a)eg(a)=0,F(b)=f(b)eg(b)=0 由罗尔定理,有 (a,b),使 F()=

21、0，就是 eg()f()+f()g()=0，而 eg()0,故 f()+f()g()=0.第33页/共59页 例3-8 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微(0 a b),证明存在 (a,b),使 证法一 对 f(x)与 g(x)=lnx 在a,b上用柯西中值定理(条件显然满足),得整理即得所证结果，证法二 令容易验证(x)在 a,b上满足罗尔定理的条件,故存在 (a,b),使 ()=0,即第34页/共59页 例3-9 设 f(x)与 g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,对于 x(a,b),g(x)0,试证在(a,b)内必有,使 证 令容易验证(x)在 a,b上满足罗尔定理的条件

22、,故存在 (a,b),使 ()=0,即则 第35页/共59页 例3-10 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,试证存在 ,(a,b),使 证 对 f(x)与 x2在a,b上使用柯西中值定理,存在 (a,b),使再对 f(x)在a,b上使用拉格朗日中值定理,(a,b),使上两式相除即得,(a,b).第36页/共59页 例3-11 求型未定式,若直接使用洛必达法则计算 解 这是会相当麻烦,且很容易出现错误,而如果先作等价无穷小替换,则会简捷得多.因为 sin42x (2x)4,故 原式=第37页/共59页 例3-12 求 解 这是 型未定式,若使用洛必达法则需化为为此要先通分.原式=第

23、38页/共59页 例3-13 求 解法一 这是 1 型未定式,需要取对数.(洛必达法则)原式=e0 =1.第39页/共59页 例3-13 求 解法二 注意到 原式=e0 =1.解法三 利用结论补充公式之7,有 原式=e0 =1.第40页/共59页 例3-14 设 a 0,b 0,a 1,b 1,求 解法一 原式=解法二 原式=第41页/共59页 例3-15 求 解 原式=第42页/共59页 例3-16 设 f(x)在 a,+)中二阶可导,且 f(a)0,f(a)0,又当 x a 时,f(x)0,证明方程 f(x)=0在(a,+)内必有且仅有一个实根.证 唯一性：由 f(x)0知 f(x)在a,

24、+)中单调减少,即当x a 时,f(x)f(a)0,得 f(x)在(a,+)中单调减少.则方程 f(x)=0在a,+)最多只有一个根.由介值定理可知 f(x)=0在即又 f(a)0，存在性：由拉格朗日中值定理 故 f(x)=0在(a,+)内仅有一个实根.内必有实根.第43页/共59页 例3-17 设 f(x)在 a,+)上连续,当 x a 时,f(x)k 0,其中 k 为常数,又 f(a)0,证明：方程 f(x)=0在 内有唯一实根.证 唯一性：由题设在内,f(x)k 0,可知在该区 间内 f(x)单调增加,因此 f(x)至多有一个实根.存在性：由拉格朗日中值定理,再由题设,当 a时,f()k

25、 0,于是有又 f(a)0,由零点定理,f(x)在内至少有一个零点,从而命题得证.第44页/共59页 例3-18 试证方程 x2=xsinx+cosx 恰有两个.证 令 f(x)=x2 xsinx cosx ,则 f(x)=2x xcosx=x(2 cosx)令 f(x)=0,解得 x=0,当 x 0时,f(x)0；x 0时,f(x)0,即函数分段单调.又 f()=f()=2+1 0时,f(0)=1 0,故必有(,0)和(0,),使 f()=0,f()=0,又由 f(x)在(,0)和(0,+)分段单调,故只有两个实根.第45页/共59页 例3-19 设(x)在x=0处二阶连续可导,且(0)=0

26、,(0)0,证明曲线 y=f(x)=(1 cosx)(x)在 x=0处必出现拐点.证 f(x)=(1 cosx)(x)+(x)sinx,f(x)=(1 cosx)(x)+(2sinx)(x)+(x)cosx 当 x=0时,f(0)=(0)=0.=3(0)0.故曲线 x=0处必出现拐点.第46页/共59页 例3-20 求 y=x3 6x2+9x 4的极值.解法一 y =3x2 12x+9=3(x 1)(x 3),令 y =0,得驻点x=1,x=3,当x 1时,y 0；当1 x 3时,y 0；当 x 3时,y 0.y 极大(1)=0;y 极小(3)=4.解法二 y =6x 12 y(1)=6 0;

27、y(3)=6 0.由第二充分性得 y 极大(1)=0;y 极小(3)=4.第47页/共59页 例3-21 若在 a 的邻域内 f(x)存在且连续,证明 证法一 由Taylor公式,在 a 的 h 邻域内,有 故 f(a+2h)2f(a+h)+f(a)=h2 f(a)+o(h2)从而 证法二 用洛必达法则,有 第48页/共59页 例3-22 设在a,b上 f(x)0,证明 在a,b上单调增加.证由于 f(x)0,故 f(x)在a,b上单调增加,因此 f(x)f(),故(x)0,(x)在a,b上单调增加.第49页/共59页 例3-23 作函数 解 定义域(,1)(1,+),x=1为间断点 驻点 x

28、1=0,x2=3 使 y =0,得x=0.因为 得 x=1为铅直渐近线.该曲线无水平渐近线.因为 所以 y=x 2是斜渐近线.函数性态表如下第50页/共59页函数性态表 拐点极大间断点第51页/共59页 例3-24 求单位球的内接正圆锥体,其体积为最大时的高与体积.解 设球心到锥底面垂线长 x,则圆锥体高为 1+x (0 x 1),锥底半径为 圆锥体体积为 得唯一驻点 则此时高为第52页/共59页 例3-25 在曲线 y=1 x2(x 0)上求一点P 的坐标,使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小.解 设曲线上点为(x,1 x2),则该点处的切线为 Y=1 2xX+x2,它在两坐

29、标轴上截距分别为故三角形的面积为令 S(x)=0,得故所求点的坐标为第53页/共59页 例3-26 银幕高为 a m,银幕底边高出观众 b m,问观众离银幕多远,才能使观众看图象最清楚,即视角最大？解 如图,观众眼睛为A点,C为银幕底边,AB为 x m,求 tan 最大即可.令 y =0,得唯一驻点则当观众离银幕m时图象最清楚.第54页/共59页 例3-27 求数列证 令令 f(x)=0,得唯一驻点 f(x)取得最大值,而 故 n=7时,数列值最大.第55页/共59页 例3-28 在曲线 y=4 x2 与直线 y=2x+1相交于A,B 两点,又C 是曲线弧AB上任一点,求ABC 面积的最大值.

30、解 如图,设C(x,4 x2),ABC的面积为=2(x2 2x+3),S(x)=4x 4令S(x)=0,得x=1,S(1)=4 0,故S(1)=8为最大值.第56页/共59页 例3-29 在曲线 y=x2 x 上求一点P,使P 点到定点A(0,1)的距离最近.解 设P(x,x2 x),则 d2 =x2+(x2 x 1)2,令 f(x)=x2+(x2 x 1)2,f(x)=2(x 1)2(2x+1),驻点为进一步判断在的左右两侧一阶导数变号,故为所求点.最近距离为第57页/共59页 例3-30 由直线 y=0,x=8及抛物线 y=x2 围成一个曲边三角形,在曲边 y=x2 上求一点,使曲线在该点的切线与直线 y=0及 x=8所围成的三角形面积最大.解 如图,设所求切点为P(x0,x02),切线PT交 x 轴于A,交直线 x=8于B,切线PT的方程为 y x02=2x0(x x0)则于是三角形ABC的面积为则第58页/共59页谢谢您的观看！第59页/共59页