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1、电磁场第二章PPT本讲稿第一页，共九十三页主主 要要 内内 容容库仑定律、电场强度、电位、场方程、边界条件、电场能量与能量密度库仑定律、电场强度、电位、场方程、边界条件、电场能量与能量密度2.1 库仑定律与电场强度库仑定律与电场强度 2.1.1 库仑定律库仑定律 真空中两个点电荷之间的作用力的大小与两点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线，同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。1、库仑定律表述库仑定律表述：本讲稿第二页，共九十三页2、表示式、表示式式中：R=r-r表示从r到r的矢量；R是r到r的距离；R是R的单位矢量；0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，其

2、值为 。注意注意：点电荷q同样受到q的作用力，如为F，且F=-F，即两点电荷之间的作用力符合牛顿第三定律。点电荷q 受到q的作用力为F表示为库仑定律只能直接用于点电荷。本讲稿第三页，共九十三页 对对于于实实际际的的带带电电体体，一一般般应应该该看看成成是是分分布布在在一一定定区区域域内内的的电电荷荷，称称其其为为分分布布电电荷荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情况。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情况。3、电荷、电荷与电荷分布与电荷分布：电荷体密度电荷体密度：在电荷分布区域内，取体积元V，若其中的电量为q，则电荷体密度为电电荷荷面面密密度度：如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为

3、电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元S内的电量为q，则面密度为 单位是库/米2(C/m2)单位是库/米3(C/m3)本讲稿第四页，共九十三页点电荷的密度点电荷的密度：电荷集中在一个体积为零的几何点上，这个电荷为点电荷。利用函数，其体密度 电电荷荷线线密密度度：对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。若线元l内的电量为q，则线密度为 单位是库/米(C/m)。以上的V、S、l趋于零，是指相对于宏观尺度而言很小的含意，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是相对于微观尺度，该体积、面积、线元又是足够大，它包含了大量的带电粒子，这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。本讲稿

4、第五页，共九十三页2.1.2 电场强度电场强度 点电荷q对点电荷q的作用力，是由于q在空间产生电场，电荷q在电场中受力。1、电场引入、电场引入：2、电场强度、电场强度：用电场强度来描述电场，空间一点的电场强度定义为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r处，试验电荷q受到的电场力，则为 点电荷q在真空中产生电场本讲稿第六页，共九十三页 n个点电荷在真空中产生电场（遵从叠加原理）点电荷q所在点r称为源点，试验电荷q所在点r称为场点。对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为 本讲稿第七页，共九十三页面电荷产生的电场强度为 线电荷产生的电场强度为 本讲稿第八页，共九十三

5、页例例 2-1 一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。解解：取坐标系如图，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为l。本讲稿第九页，共九十三页所以 本讲稿第十页，共九十三页2.2 高斯定理高斯定理 1、立体角立体角：若S是封闭曲面，则对点电荷所在点o立体角面元dS对点电荷所在点o立体角本讲稿第十一页，共九十三页2、电场强度的通量、电场强度的通量：电场强度通过任一曲面的通量称为电通电场强度通过任一曲面的通量称为电通，就是，就是电场强度在曲电场强度在曲面面S上的面积分，以上的面积分，以 表示表示,即即 3、高斯定理、高斯定理：表述：表述：真空中静电场的电场强度通过任一真

6、空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面封闭曲面的电通等于的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。即给出通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的即给出通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。关系。积分形式积分形式本讲稿第十二页，共九十三页 证明：先考虑点电荷的电场穿过任意闭曲面S的通量：若q位于S内部，上式中的立体角为4；若q位于S外部，上式中的立体角为零。对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为 证毕本讲稿第十三页，共九十三页微分形式微分形式表述：表述：真空中任意一点的电场强度的散度等于真空中任意一点的电场强度的散度等

7、于该点该点的电荷密度的电荷密度与真空介电常数之比。即给出任意一点电场强度的空间变化与该点与真空介电常数之比。即给出任意一点电场强度的空间变化与该点电荷分布的关系。电荷分布的关系。证明：由于体积V是任意的，所以有 本讲稿第十四页，共九十三页 例例 2-2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为0的电荷，试求任意点的电场强度。解：解：当ra时，故故 本讲稿第十五页，共九十三页当ra)(ra)(ra)积分路径与电场分量方向一致，由此可求出电位当ra时本讲稿第二十八页，共九十三页 例例 2-6 若半径为a的导体球面的电位为U0,球外无电荷，求空间的电位。解：解：即 采用球坐标由 得 本讲稿第二十九页，

8、共九十三页再对其积分，得 由已知条件确定常数。在导体球面上，电位为U0，无穷远处电位为零。分别将r=a、r=代入上式，得 这样解出两个常数为 所以 本讲稿第三十页，共九十三页（1 1）高斯定律中的电量高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包围的全部正负电荷所包围的全部正负电荷的总和。的总和。静电场特性的进一步认识：静电场特性的进一步认识：（2 2）静电场的电场线是不可能闭合的静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。，而且也不可能相交。（3 3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无关。真空中的静电线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一

9、样，它是一种保守场。场和重力场一样，它是一种保守场。（4）已知电荷分布的情况下，可以利用已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度高斯定理计算电场强度，或者可，或者可以通过以通过电位求出电场强度电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场，或者直接根据电荷分布计算电场强度强度等三等三种计算静电场的方法。种计算静电场的方法。本讲稿第三十一页，共九十三页2.4 电偶极子电偶极子 1、电偶极子、电偶极子 由间距很小的两个等量异号点电荷电荷组成的系统。2、电偶极矩、电偶极矩 用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向，它定义为电荷q乘以有向距离l，即 电偶极矩是一个矢量。本讲稿第三十二页，共九十

10、三页3、电偶极子在空间任意点、电偶极子在空间任意点P的电位为的电位为 其中，r1和r2分别表示场点P与q和-q的距离。P4、电偶极子在空间任意点、电偶极子在空间任意点P的电场计算的电场计算 条件：l r 时，r表示坐标原点到P点的距离。本讲稿第三十三页，共九十三页P由余弦定理由得本讲稿第三十四页，共九十三页从而有 则电场强度在球坐标中的表示式为 或电偶极子在空间任意点P的电位与r2成反比。电偶极子在空间任意点P的电场与r3成反比。本讲稿第三十五页，共九十三页电偶极子的电场分布具有轴对称性。5、电偶极子的电场分布图、电偶极子的电场分布图本讲稿第三十六页，共九十三页2.5 电介质中的场方程电介质中

11、的场方程2.5.1 介质的极化介质的极化 表述为单位体积中电矩的矢量和，极化强度的单位是C/m2。1、介质的极化、介质的极化 在外电场的作用下，或者电介质的分子产生附加电矩，或者固有偶极矩沿外电场取向。电介质的极化分为非极性分子的极化（位移极化）和极性分子的极化（取向极化）两种。2、极化强度、极化强度 极化强度P是一个矢量，用来表征电介质的极化性质。其表达式本讲稿第三十七页，共九十三页2.5.2 极化介质产生的电位极化介质产生的电位 设极化介质的体积为V，表面积是S，极化强度是P，现在计算介质外部任一点的电位。在介质中r处取一个体积元V，因|r-r|远大于V的线度，故可将V中介质当成一偶极子，

12、其偶极矩为p=PV，它在r处产生的电位是 1、极化介质在空间任意点的电位、极化介质在空间任意点的电位本讲稿第三十八页，共九十三页整个极化介质产生的电位是上式的积分：对上式进行变换，利用 变换为 本讲稿第三十九页，共九十三页再利用矢量恒等式：令 体电荷密度体电荷密度面电荷密度面电荷密度极化电荷本讲稿第四十页，共九十三页 例例2-7 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是P0ez，求极化电荷分布及介质球的电偶极矩。解解：取球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷面密度为 xyz-+a极化电荷体密度为本讲稿第四十一页，共九十三页分布电荷对于原点的偶极矩由下式计算：积分区域S是极化电荷分布的介质球面区

13、域。因此 则 由 本讲稿第四十二页，共九十三页 2.5.3 介质中的场方程介质中的场方程 将P=-P代入，得 这表明，矢量（0E+P）的散度为自由电荷密度。1、高斯定理的微分形式、高斯定理的微分形式在真空中在电介质中自由电荷密度，P极化电荷密度2、电位移矢量、电位移矢量本讲稿第四十三页，共九十三页 称此矢量为电位移矢量(或电感应强度矢量)，并记为D，即 于是，介质中高斯定理的微分形式变为 微分形式：3、介质中静电场的方程、介质中静电场的方程积分形式：本讲稿第四十四页，共九十三页2.5.4 介质的介电常数介质的介电常数 式中e为极化率，是一个无量纲常数。称r为介质的相对介电常数，称为介质的介电常

14、数。1、极化强度、极化强度P与电场强度与电场强度E的关系的关系2、介质的介电常数、介质的介电常数由3、均匀介质中电位的泊松方程、均匀介质中电位的泊松方程本讲稿第四十五页，共九十三页 例例 2-8 一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，如图所示。求空间任一点的D、E、P以及束缚电荷密度。本讲稿第四十六页，共九十三页 解：解：导体球外(ra)介质内(arb)：本讲稿第四十七页，共九十三页介质外(ba，求两个导体球之间的电容。解：解：先设一个导体球带电荷为q1，另一个带电荷为零，可得则 同理得所以 q1本讲稿第六十八页，共九十三页 例例 2-12 一同

15、轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b,内、外导体之间填充两种绝缘材料，arr0的介电常数为1，r0rb的介电常数为2，如图 所示，求单位长度的电容。例 2-12 用图 本讲稿第六十九页，共九十三页 解解：设内、外导体单位长度带电分别为l、-l，内、外导体间的场分布具有轴对称性。由高斯定理可求出内、外导体间的电位移为 各区域的电场强度为本讲稿第七十页，共九十三页内、外导体间的电压为 因此，单位长度的电容为 本讲稿第七十一页，共九十三页2.8 电场能量与能量密度电场能量与能量密度 2.8.1 电场能量电场能量 设每个带电体的最终电位为1、2、n，最终电荷为q1、q2、qn。带电系统的能量与建立

16、系统的过程无关，仅仅与系统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带电体的电量均是各自终值的倍(1)，即带电量为qi，电位为i，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(qi)，外源对它所作的功为id(qi)。外源对n个带电体作功为 1、n个带电体组成的系统的电场能量个带电体组成的系统的电场能量本讲稿第七十二页，共九十三页因而，电场能量的增量为 在整个过程中，电场的储能为 用电容系数表示用电位系数表示本讲稿第七十三页，共九十三页3、面电荷分布的电场能量、面电荷分布的电场能量4、线电荷分布的电场能量、线电荷分布的电场能量2、体电荷分布的电场能量、体电荷分布的电场能量5、电容器的电量为、电

17、容器的电量为q的电场能量的电场能量本讲稿第七十四页，共九十三页2.8.2 能量密度能量密度 1、电场能量的分析、电场能量的分析将D=和Dn=S代入上式，有 利用矢量恒等式 本讲稿第七十五页，共九十三页则 并且注意在导体表面S上 n=-n，得 本讲稿第七十六页，共九十三页将式中V扩展到无穷大，故S在无穷远处。对于分布在有限区域的电荷，1/R，D1/R2,SR2,因此当R时，上式中的面积分为零，于是 对于各向同性介质：2、能量密度的定义、能量密度的定义 本讲稿第七十七页，共九十三页 例例2-13 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。(ra)所以 解：解：用高斯定理可以得到电场为

18、 本讲稿第七十八页，共九十三页 例例2-14 若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，之间填充介电常数为的介质，当内、外导体间的电压为U(外导体的单位为零)时，求单位长度的电场能量。解解：设内、外导体间电压为U时，内导体单位长度带电量为l，则导体间的电场强度为 两导体间的电压为 本讲稿第七十九页，共九十三页即 单位长度的电场能量为 本讲稿第八十页，共九十三页2.9 电电 场场 力的计算力的计算 虚位移法求带电导体所受电场力的思路是：假设在电场力F的作用下，受力导体有一个位移dr，从而电场力作功Fdr；因这个位移会引起电场强度的改变，这样电场能量就要产生一个增量dWe；再根据能量守恒定律

19、，电场力作功及场能增量之和应该等于外源供给带电系统的能量dWb，即 1、虚位移法、虚位移法本讲稿第八十一页，共九十三页 （1）在电荷不变的条件下在电荷不变的条件下 如果虚位移过程中，各个导体的电荷量不变，就意味着各导体都不连接外源，此时外源对系统作功dWb为零，即 因此，在位移的方向上，电场力电场力为 本讲稿第八十二页，共九十三页 （2）在电位不变的条件下）在电位不变的条件下 如果在虚位移的过程中，各个导体的电位不变，就意味着每个导体都和恒压电源相连接。此时，当导体的相对位置改变时，每个电源因要向导体输送电荷而作功。设各导体的电位分别为1、2、n，各导体的电荷增量分别为dq1、dq2、dqn，

20、则电源作功为系统的电场能量为 本讲稿第八十三页，共九十三页系统能量的增量为 本讲稿第八十四页，共九十三页 例例 2-15 若平板电容器极板面积为A，间距为x，电极之间的电压为U，求极板间的作用力。解解：设一个极板在yoz平面，第二个极板的坐标为x，此时，电容器储能为 当电位不变时，第二个极板受力为 Ox本讲稿第八十五页，共九十三页当电荷不变时，考虑到 将能量表达式改写为 本讲稿第八十六页，共九十三页 若假设某一导体绕z轴有一个角位移d，则其所受力矩的z分量Tz作功为Tzd，这时，力矩计算式为 2、虚位移法分析导体受到的力矩、虚位移法分析导体受到的力矩本讲稿第八十七页，共九十三页小结：小结：1、

21、均匀介质中点电荷及分布电荷在场点、均匀介质中点电荷及分布电荷在场点r处的电场和电位处的电场和电位点电荷点电荷体电荷体电荷本讲稿第八十八页，共九十三页面电荷面电荷线电荷线电荷电场和电位的关系电场和电位的关系本讲稿第八十九页，共九十三页2、真空中电场的基本方程、真空中电场的基本方程积分形式积分形式微分形式微分形式3、电位的微分方程、电位的微分方程本讲稿第九十页，共九十三页4、电介质中电场的基本方程、电介质中电场的基本方程电位移矢量(或电感应强度矢量)各向同性介质积分形式微分形式5、不同介质界面上的边界条件、不同介质界面上的边界条件本讲稿第九十一页，共九十三页6、多导体系统的电位系数、电容系数和部分电容的定义。、多导体系统的电位系数、电容系数和部分电容的定义。电位系数电位系数电容系数电容系数本讲稿第九十二页，共九十三页部分电容部分电容7、电场能和电场力、电场能和电场力电场能量电场能量电场能量密度电场能量密度电场力电场力或本讲稿第九十三页，共九十三页