b连续函数的局部性质及其初等函数在其定义域区间上的连续性.pptx

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1、第四节 函数的连续性一、函数连续的概念二、连续函数的局部性质三、闭区间上连续函数的性质四、初等函数在其定义域上的连续性 第1页/共26页二、二、连续函数的局部性质连续函数的局部性质局部有界性局部有界性局部保号性局部保号性不等式性质不等式性质第2页/共26页1、连续函数的四则运算定理定理1 1例如例如,因此，三角函数在其定义域内连续。因此，三角函数在其定义域内连续。第3页/共26页2、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内连续反三角函数在其定义域内连续.第4页/共26页定理定理

2、3 3证证第5页/共26页将上两步合起来将上两步合起来:第6页/共26页意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例解解第7页/共26页定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,第8页/共26页例例解解同理可得同理可得第9页/共26页例例解解例例解解第10页/共26页三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.第11页/共26页定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等

3、函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.第12页/共26页例例解解第13页/共26页例例例例解解解解注意注意:初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第14页/共26页所以在其上是连续的所以在其上是连续的.例：例：解：解：,1lim)(2212+=+nnnxbxaxxxf设设.),()(,上连续上连续在在取何值时取何值时问问+-xfba第16页/共26页处连续即可处连续即可.即应有即应有解此方程组得所求解此方程组得所求:第17页/共26页第18页/共26页 也可再用等价无穷小替代也可再用等价无穷小替代例：例：解：解：第19页/共26页例：例：解：解：第2

4、0页/共26页小结：极限求法举例一、初等函数在有意义的点一、初等函数在有意义的点第21页/共26页五五 第一个重要极限。第一个重要极限。：=(设设y=arcsinx)第22页/共26页 六六 第二个重要极限。第二个重要极限。=e七七 有界量与无穷小量的乘积是无穷小量有界量与无穷小量的乘积是无穷小量第23页/共26页九九 对于无穷小可用等价的量代替。对于无穷小可用等价的量代替。因因 时，时，sin3x3x，sin2x2x，所以，所以 y=ex-1 这说明这说明 时，时，ln（1+x）xex-1x x。八八 型极限，先运算再求极限。型极限，先运算再求极限。第24页/共26页十十 分段函数在分界点求极限，要用单侧极限。分段函数在分界点求极限，要用单侧极限。例：例：例：例：第25页/共26页