决策分析技术与方法_第三章55258.pptx

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1、决策分析技术与方法北京科技大学经济管理学院北京科技大学经济管理学院 武森武森北京科技大学经济管理学院2目录目录目录目录第一章第一章 决策科学概述决策科学概述第二章第二章 确定型、风险型和不确定型决策确定型、风险型和不确定型决策第三章第三章 模糊决策模糊决策第四章第四章 灰色系统预测与决策灰色系统预测与决策第五章第五章 可拓决策可拓决策第六章第六章 其他决策分析方法其他决策分析方法北京科技大学经济管理学院3 3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数第三章第三章 模糊决策模糊决策 3.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 3.4 模糊集合与普通集合的相

2、互转化模糊集合与普通集合的相互转化 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 3.6 模糊综合评判决策模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院43.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 一、模糊数学的产生与发展一、模糊数学的产生与发展 模糊数学是研究模糊领域中事物数学化的一门崭模糊数学是研究模糊领域中事物数学化的一门崭新的数学学科。它始于新的数学学科。它始于19651965年美国著名控制论专家扎年美国著名控制论专家扎德（德（L.A.Zadeh）教授的开创性论文）教授的开创性论文“模糊集合模糊集合”（fuzzy sets）。）。在现实世界中，有些事物之间的关系是确定的，在现实世界中，有些事物之间的关

3、系是确定的，但有些是不确定的，而在不确定中又有随机的和模糊但有些是不确定的，而在不确定中又有随机的和模糊的。事物的精确性、随机性和模糊性这三者是普遍存的。事物的精确性、随机性和模糊性这三者是普遍存在的。在的。北京科技大学经济管理学院53.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 一、模糊数学的产生与发展一、模糊数学的产生与发展 大量的模糊现象使经典数学方法显得无能为力，大量的模糊现象使经典数学方法显得无能为力，而模糊数学的产生与发展则为研究这些模糊现象提供而模糊数学的产生与发展则为研究这些模糊现象提供了有利的数学工具。了有利的数学工具。经典数学的基础可归结为集合论。根据集合论的经典数学的基础可

4、归结为集合论。根据集合论的要求，一个元素要求，一个元素x是否属于集合是否属于集合A是明确的，无法处理是明确的，无法处理实践中大量的不明确的模糊现象与概念。实践中大量的不明确的模糊现象与概念。北京科技大学经济管理学院63.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 二、模糊数学对决策科学的贡献二、模糊数学对决策科学的贡献 利用模糊数学构造数学模型，来编制计算机程序与利用模糊数学构造数学模型，来编制计算机程序与信息决策模型，可以更广泛、更深入的模拟人的思维与全信息决策模型，可以更广泛、更深入的模拟人的思维与全方位深入挖掘各种决策信息，从而可以大大提高电子计算方位深入挖掘各种决策信息，从而可以大大提高

5、电子计算机的机的“智力智力”与信息决策的科学性、准确性。与信息决策的科学性、准确性。模糊数学的主要贡献在于，它将模糊性与数学统一模糊数学的主要贡献在于，它将模糊性与数学统一在一起。它的方法不是让数学放弃严格性去迁就模糊性，在一起。它的方法不是让数学放弃严格性去迁就模糊性，而是要将数学方法深入到具有模糊现象的禁区，从而为解而是要将数学方法深入到具有模糊现象的禁区，从而为解决一些复杂大系统涉及模糊因素的科学决策问题开辟了一决一些复杂大系统涉及模糊因素的科学决策问题开辟了一条新路。条新路。北京科技大学经济管理学院7 3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数第

6、三章第三章 模糊决策模糊决策 3.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 3.6 模糊综合评判决策模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院8一、模糊现象与模糊集合一、模糊现象与模糊集合例例1 1设设X=1,2,3,4把小数子集记为把小数子集记为 ，它的元素仍为，它的元素仍为1，2，3，4，同，同时给出各元素在该小数子集中的隶属程度，即时给出各元素在该小数子集中的隶属程度，即3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 分母位置放的是论域中的元素，分子位置放的是相应分母位置放的是论域中的元素，分

7、子位置放的是相应元素的隶属度。当隶属度为零时，此项也可不写入。元素的隶属度。当隶属度为零时，此项也可不写入。扎德又将其写成扎德又将其写成北京科技大学经济管理学院93.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 一、模糊现象与模糊集合一、模糊现象与模糊集合定义定义 若对论域若对论域X中的每一个元素中的每一个元素x，都规定从，都规定从X到闭到闭 区间区间0,1的一个映射的一个映射 ：则在则在X上定义了一个上定义了一个模糊集合模糊集合 ：称为称为的的隶属函数隶属函数(membership function)，称为元素称为元素x xi i 的的隶属度隶属度（grade of membership）。）。

8、北京科技大学经济管理学院10二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布在例在例1 1中，中，X=1,2,3,4，3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 x123410.80.20 可用分布列表示：可用分布列表示：或者写成或者写成北京科技大学经济管理学院11二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布 如果有人给定如果有人给定3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 进而用线性函数表示：进而用线性函数表示：这样选取隶属函数也是无可非议的。这样选取隶属函数也是无可非议的。北京科技大学经济管理学院12二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布3.2 模糊集合与隶

9、属函数模糊集合与隶属函数 正态型（对称型）正态型（对称型）戒上型（偏小型戒上型（偏小型 ）戒下型（偏大型）戒下型（偏大型）常见的常见的常见的常见的隶属函数隶属函数隶属函数隶属函数北京科技大学经济管理学院13 函数函数 是概率论中很重要的一是概率论中很重要的一种概率分布（正态分布）的概率密度函种概率分布（正态分布）的概率密度函数。式中数。式中a,b 都是给定的常数，在概率都是给定的常数，在概率论中论中a 叫做数学期望，叫做数学期望，（为标准为标准差），差），e 是自然对数的底。这是最常见是自然对数的底。这是最常见的一种分布。的一种分布。二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布（一）正

10、态型（对称型）（一）正态型（对称型）3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 隶属函数隶属函数形如上式形如上式的模糊集合称为的模糊集合称为正态型模糊集正态型模糊集，以上，以上 称为称为正态型隶属函数正态型隶属函数。a正态型隶属函数正态型隶属函数北京科技大学经济管理学院14二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布（二）戒上型（偏小型）（二）戒上型（偏小型）3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 隶属函数隶属函数形如上式形如上式的模糊集合的模糊集合（其中（其中a 0,b 0）称为称为戒上戒上型模糊集型模糊集，以上，以上 称为称为戒上型隶属函数戒上型隶属函数。c戒上型隶属函数戒

11、上型隶属函数北京科技大学经济管理学院15二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布（三）戒下型（偏大型）（三）戒下型（偏大型）3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 隶属函数隶属函数形如上式形如上式的模糊集合的模糊集合（其中（其中a 0,b 0）称为称为戒下戒下型模糊集型模糊集，以上，以上 称为称为戒下型隶属函数戒下型隶属函数。c戒下型隶属函数戒下型隶属函数北京科技大学经济管理学院16其中论域其中论域X=0,200，常数，常数5表示以表示以5岁为一级，是为计算岁为一级，是为计算方便而定的。这里，方便而定的。这里，X是一个连续的实数区间。现计算是一个连续的实数区间。现计算几个年龄

12、的隶属度如下几个年龄的隶属度如下:二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 0.040.10.50.741150403028250 x例例2描述描述“年轻年轻”这一模糊集合，一般认为这一模糊集合，一般认为25岁以下是岁以下是标准的年轻，年过标准的年轻，年过25岁，则年轻的程度将递减。故应属戒岁，则年轻的程度将递减。故应属戒上型。扎德曾给出上型。扎德曾给出“年轻年轻”这个模糊集合的隶属函数为这个模糊集合的隶属函数为北京科技大学经济管理学院17二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数

13、 0.970.940.80.500例例2(续续)扎德给出了模糊集合为扎德给出了模糊集合为“年老年老”的隶属函数为的隶属函数为其隶属度可计算如下表其隶属度可计算如下表:80706055500 x北京科技大学经济管理学院18二、隶属函数的确定及其分布二、隶属函数的确定及其分布 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 同样可以给出红光、蓝光的隶属函数分别为同样可以给出红光、蓝光的隶属函数分别为例例3设波长设波长 的论域的论域U=4000,8000(单位：单位：)，则，则“红光红光”、绿光、绿光”、“蓝光蓝光”等都是论域等都是论域U上的模糊集合。绿光波长上的模糊集合。绿光波长 （单位：（单位：）

14、，），是标准的绿光，其分布图是以是标准的绿光，其分布图是以 为对称的正态分布。实际描出其分布图的幅度为对称的正态分布。实际描出其分布图的幅度 b=300，可以给出其，可以给出其隶属函数为隶属函数为 根据上式可以标出根据上式可以标出 （或（或 5100)时淡绿光的隶属度为时淡绿光的隶属度为北京科技大学经济管理学院19 3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数第三章第三章 模糊决策模糊决策 3.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 3.6 模糊综合评判决

15、策模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院203.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 显然模糊集中的空集就是一个普通集。显然模糊集中的空集就是一个普通集。一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念 模糊集合（简称模糊集）的运算是普通集合（简模糊集合（简称模糊集）的运算是普通集合（简称普通集）运算的拓广。称普通集）运算的拓广。（一）空集（一）空集 设有模糊集设有模糊集 ，当且仅当对于所有元素，当且仅当对于所有元素x它的隶属函数它的隶属函数恒为零，则称恒为零，则称 为空模糊集，记做为空模糊集，记做 ，即，即（二）全集（二）全集 模糊集中的全集，也是普通集，它的隶属函数是模糊集中的全集，也是普通集，

16、它的隶属函数是1，即，即北京科技大学经济管理学院21一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念（三）等集（三）等集两个模糊集两个模糊集 和和 ，当且仅当对于所有元素，当且仅当对于所有元素x它的隶属函数它的隶属函数都相等时，称它们为都相等时，称它们为相等相等，记为，记为 ，则，则3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 （四）子集（四）子集 设有模糊集设有模糊集 和和 ，对于所有元素，对于所有元素x，当且仅当，当且仅当 时，称时，称 包含于包含于 ，此时称，此时称 为为 的的子集子集，记为，记为 ，即，即 当且仅当当且仅当 时，称时，称 真包含于真包含于 ，此时，此时称称 为为 的的真子集真子集，

17、记为，记为 。北京科技大学经济管理学院223.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念（五）补集（五）补集 模糊集模糊集 的的绝对补集绝对补集记为记为 ，定义如下：具有隶属函数，定义如下：具有隶属函数 若若 和和 均为模糊集，则均为模糊集，则 关于关于 的相对补集记为的相对补集记为 ，由下式由下式定义，其中规定定义，其中规定 。的模糊集的模糊集 称为称为 的绝对补集，即的绝对补集，即 的补集的补集北京科技大学经济管理学院23一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念（六）并集（六）并集 设论域设论域X上两上两模糊集模糊集 和和 的隶属函数分别是的隶属函数

18、分别是 和和 ，它们的并是一个模糊集，用，它们的并是一个模糊集，用 来表示，记为来表示，记为 即即3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算，其隶属函数与其隶属函数与 和和 的隶属函数之间有关系的隶属函数之间有关系x1O北京科技大学经济管理学院24一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念（六）并集（六）并集 例如设例如设 为为“胖子胖子”的模糊集，为的模糊集，为“高个子高个子”的模糊集，今的模糊集，今有两人组成的集合有两人组成的集合这时，这时，的并集的并集 表示表示“或胖或高的人或胖或高的人”的模的模糊集，其隶属度为糊集，其隶属度为3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 他们分别属于他们分别属于“

19、胖子胖子”集合集合 和和“高个子高个子”集合集合 的隶属度的隶属度为为其中其中“”称为取大运算。称为取大运算。北京科技大学经济管理学院253.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 上式也可表示为上式也可表示为其中其中“”称为取小运算。称为取小运算。一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念（七）交集（七）交集 ，的交集也是一个模糊集，记为的交集也是一个模糊集，记为 ，其隶属函数，其隶属函数规定为规定为 ，即，即1xO北京科技大学经济管理学院26对于上述的两人集合对于上述的两人集合 ，且，且一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念（七）交集（七）交集 3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 可有

20、可有这里，交集这里，交集 表示表示“又胖又高的人又胖又高的人”所组成的模糊集。所组成的模糊集。北京科技大学经济管理学院27一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念定理定理1 1 模糊集的运算通过它的隶属函数实现：模糊集的运算通过它的隶属函数实现：3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 北京科技大学经济管理学院28一、模糊集合运算的概念一、模糊集合运算的概念例例1 1 设设X=1,2,3,4，则，则3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 小数集小数集大数集大数集较小数集较小数集不较小数集不较小数集小或较小数集小或较小数集既小又大数集既小又大数集本例提供了将模糊语言数学化的范例。本例提供了将模糊语

21、言数学化的范例。北京科技大学经济管理学院29二、模糊集合的运算性质二、模糊集合的运算性质 普通集中的各种运算性质除互补律外对于模糊集也都成立，普通集中的各种运算性质除互补律外对于模糊集也都成立，但其证明不能用文氏图或真值表，而必须利用表示模糊集特征但其证明不能用文氏图或真值表，而必须利用表示模糊集特征的隶属函数来证明。的隶属函数来证明。定理定理2 2 模糊集具有以下的运算性质：模糊集具有以下的运算性质：3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算（1）幂等律）幂等律（2）交换律）交换律（3）结合律）结合律（4）吸收律）吸收律北京科技大学经济管理学院30二、模糊集合的运算性质二、模糊集合的运算性质3.3

22、 模糊集合的运算模糊集合的运算（5）分配律）分配律（6）复原律）复原律（7）对偶律）对偶律（8）定常律）定常律 设设 是论域是论域X上的模糊集合，则上的模糊集合，则北京科技大学经济管理学院31二、模糊集合的运算性质二、模糊集合的运算性质例例2 2 证明吸收律：证明吸收律：3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 证证所以所以北京科技大学经济管理学院32二、模糊集合的运算性质二、模糊集合的运算性质例例3 3 证明对偶律（德证明对偶律（德摩根律）：摩根律）：3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 证证从而从而当当时，时，当当时，时，所以所以北京科技大学经济管理学院33二、模糊集合的运算性质二、模糊集合的

23、运算性质例例4 验证普通集中互补律在模糊集中不成立（举例）：验证普通集中互补律在模糊集中不成立（举例）：3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 即即解解 例如例如，则，则，而，而北京科技大学经济管理学院34 3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数第三章第三章 模糊决策模糊决策 3.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 3.6 模糊综合评判决策模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院35一、一、水平截集水平截集定义定义1 1 设给定模糊集设给定模糊集

24、，对于任意实数，对于任意实数 ，称普通集，称普通集 为为 的的 水平截集水平截集，简称，简称 截集截集（cut sets）。）。所谓取一个模糊集的截集所谓取一个模糊集的截集 ，也就是将隶属函数按下式转，也就是将隶属函数按下式转化成特征函数：化成特征函数：3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 1xO的特征函数的特征函数其直观意义是：当其直观意义是：当x对对 的隶的隶属度达到或超过属度达到或超过 时，就算时，就算是是 的元素。称的元素。称 为置信为置信水平（水平（belivable level），又可），又可通俗的解释为通俗的解释为“门槛门槛”或或“阈值阈值”。北京科技

25、大学经济管理学院36性质性质2 2 若若 且且 ，则，则一、一、水平截集水平截集 截集具有以下性质：截集具有以下性质：3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 性质性质1 1 当当 时，时，最小。若最小。若 时，则称它是时，则称它是 的的“核核”。定义定义2 2 如果一个模糊集如果一个模糊集 的核是非空的，的核是非空的，则称则称 为为正规模糊集，正规模糊集，否则称为否则称为非正规模糊集。非正规模糊集。北京科技大学经济管理学院37supp supp 有时也记做有时也记做 ，表示表示 的支集是论域的支集是论域U中中 为正的点的集为正的点的集合，并称合，并称supp supp

26、 为为 的的边界边界。一、一、水平截集水平截集定义定义3 3 模糊集模糊集 的的支集支集supp supp 为：为：3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 截集与支集截集与支集北京科技大学经济管理学院38二、分解定理和扩张原理二、分解定理和扩张原理 分解定理（分解定理（decomposition theorem）把模糊集合论的问）把模糊集合论的问题化为普通集合论的问题来解；题化为普通集合论的问题来解；扩张原理（扩张原理（expansion principle）把普通集合论的方法）把普通集合论的方法扩展到模糊集合中去。扩展到模糊集合中去。分解定理分解定理 设设 为论域为

27、论域U的一个模糊集，的一个模糊集，是是 的的 截集，截集，为为 的特征函数，则的特征函数，则3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 北京科技大学经济管理学院39所以所以 。解解 取取5 5个个 截集截集：二、分解定理和扩张原理二、分解定理和扩张原理 例例1 1 设设 ，求，求 。3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 则则北京科技大学经济管理学院40而在而在0,10,1内遍取内遍取 ，可以将，可以将 分为两类：分为两类：二、分解定理和扩张原理二、分解定理和扩张原理分解定理的证明分解定理的证明 因为因为 是是 的特征函数，即的特征函数，即3.4

28、 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 于是于是北京科技大学经济管理学院41二、分解定理和扩张原理二、分解定理和扩张原理3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 但但所以所以分解定理的证明（续）分解定理的证明（续）北京科技大学经济管理学院42则由映射则由映射f产生的产生的 的像为的像为 这就是说，这就是说，经过映射经过映射f后，映射成后，映射成 时，其隶属函数时，其隶属函数可以无保留的传递下去，亦即经过映射后，模糊集可以无保留的传递下去，亦即经过映射后，模糊集 和和 在论域中的相应元素的隶属度保持不变。在论域中的相应元素的隶属度保持不变。如果不是单值

29、映射时，则规定像的隶属度取最大值。如果不是单值映射时，则规定像的隶属度取最大值。二、分解定理和扩张原理二、分解定理和扩张原理 扩张原理扩张原理 设设f是从是从X到到Y的一个映射，的一个映射，是是X上的一个模糊集：上的一个模糊集：3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 北京科技大学经济管理学院43因因f是平方运算，即是平方运算，即 ，则有，则有二、分解定理和扩张原理二、分解定理和扩张原理 例例2 2 设设X=0,1,2,3,9，并令，并令f是平方运算，令是平方运算，令小的小的是是X上的一个上的一个模糊集，其定义为模糊集，其定义为3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集

30、合与普通集合的相互转化 北京科技大学经济管理学院44 3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数第三章第三章 模糊决策模糊决策 3.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 3.6 模糊综合评判决策模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院45定义定义2 2 集合集合A，B的直积的直积 的一个子集的一个子集R称为从称为从A到到B的一的一个二元关系，简称关系，记做个二元关系，简称关系，记做一、直积、关系、模糊关系一、直积、关系、模糊关系 定义定义1 1 集合集

31、合A和和B的的直积直积（descartes product）规定为序对规定为序对(a,ba,b)的集合：的集合：3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 又称又称笛卡尔乘积笛卡尔乘积。当当A=B时，时，R称为称为A上的关系。上的关系。北京科技大学经济管理学院46A=张三张三,李四李四,王五王五，B=优优,良良,中中,差差，就是张三、李四、王五这三人在考试中可能出现的就是张三、李四、王五这三人在考试中可能出现的情况，它共有情况，它共有 种搭配方式。设在某次考试中，张种搭配方式。设在某次考试中，张三得三得“优优”，李四、王五得，李四、王五得“中中”，则构成一个从，则构成一个从A到到B的的关系，即关系，即一

32、、直积、关系、模糊关系一、直积、关系、模糊关系 例例1 13.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 R R=(=(张三张三,优优),(),(李四李四,中中),(),(王五王五,中中).).显然，显然，R R是是 的一个子集。的一个子集。北京科技大学经济管理学院47(1)(1)用列表表示关系用列表表示关系R R 若用若用“1 1”表示表示 ，用，用“0 0”表示表示 ，则有则有一、直积、关系、模糊关系一、直积、关系、模糊关系 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 A=张三张三,李四李四,王五王五，B=优优,良良,中中,差差，R R=(=(张三张三,优优),(),(李四李四,中中),(),(王五王五,中中)R

33、优优良良中中差差张三张三1000李四李四0010王五王五0010例例1(续续)北京科技大学经济管理学院48(2)(2)用矩阵表示关系用矩阵表示关系R R 若用若用“1 1”表示表示 ，用，用“0 0”表示表示 ，则有则有一、直积、关系、模糊关系一、直积、关系、模糊关系 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 R R=(=(张三张三,优优),(),(李四李四,中中),(),(王五王五,中中)A=张三张三,李四李四,王五王五，B=优优,良良,中中,差差，例例1(续续)北京科技大学经济管理学院49(3)(3)用关系图表示关系用关系图表示关系R R 若若 ，则从，则从a a到到b b连一条直线，即连一条直线

34、，即一、直积、关系、模糊关系一、直积、关系、模糊关系 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 R R=(=(张三张三,优优),(),(李四李四,中中),(),(王五王五,中中)A=张三张三,李四李四,王五王五，B=优优,良良,中中,差差，集合集合A集合集合B张三张三李四李四王五王五优优良良中中差差关系图关系图例例1(续续)北京科技大学经济管理学院50所刻画。所刻画。叫做叫做 据有关系据有关系 的程度。的程度。一、直积、关系、模糊关系一、直积、关系、模糊关系 定义定义3 3 称直积空间称直积空间 上的一个模糊上的一个模糊集集 为从为从X到到Y的一个的一个模糊关系模糊关系(fuzzy relation)

35、，记做，记做3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 模糊关系模糊关系 由其隶属函数由其隶属函数北京科技大学经济管理学院513.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 R4050607080合计合计140201642042150801008020102901603012015012030450170153012015012043518001281021合计合计1452673563001701238405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81 表中第二行身高表中第二行身高140cm140

36、cm的学生中的学生中40kg40kg的人最多，其权数定为的人最多，其权数定为1 1，其余依比例定为，其余依比例定为0.8,0.2,0.10.8,0.2,0.1和和0 0，其他各行同理可得，则身高，其他各行同理可得，则身高-体重的模糊关系如下：体重的模糊关系如下：一、直积、关系、模糊关系一、直积、关系、模糊关系 例例2 2 某中学对某中学对12381238名学生就身高论域名学生就身高论域X=140,150,160,170,180=140,150,160,170,180(单位：单位：cm),cm),体重论域体重论域Y=40,50,60,70,80(=40,50,60,70,80(单位：单位：kg)

37、kg)的统计如下表：的统计如下表：北京科技大学经济管理学院52 模糊向量可以看成一元模糊集的另一种表达形式。模糊向量与模糊向量可以看成一元模糊集的另一种表达形式。模糊向量与普通向量的区别在于前者的诸分量普通向量的区别在于前者的诸分量 。如果分量仅取。如果分量仅取0,10,1二值，二值，即即 ，则称为，则称为布尔向量布尔向量(boole vector)。称称 为为n维模糊向量维模糊向量(fuzzy vector)，记为，记为二、模糊矩阵二、模糊矩阵 （一）模糊矩阵和关系图（一）模糊矩阵和关系图 设设X=x1 1,x2 2,xn n，X上的模糊集上的模糊集3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 它的它的

38、n个分量个分量北京科技大学经济管理学院53例例3 3 设有一组同学为设有一组同学为X：X=张三张三,李四李四,王五王五,他们可以选学英语、法语、德语、日语四种外语中的任意几门。他们可以选学英语、法语、德语、日语四种外语中的任意几门。令令Y Y表示这四门外语课所组成的集合：表示这四门外语课所组成的集合：Y=英语英语,法语法语,德语德语,日语日语。设他们的结业成绩如下：设他们的结业成绩如下：二、模糊矩阵二、模糊矩阵 （一）模糊矩阵和关系图（一）模糊矩阵和关系图 可以用模糊矩阵和关系图表示模糊关系。可以用模糊矩阵和关系图表示模糊关系。3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 姓名姓名语种语种成绩成绩张三张三

39、英语英语8686张三张三法语法语8484李四李四德语德语9696王五王五日语日语6666王五王五英语英语7878北京科技大学经济管理学院54 若用考分来描述掌握的程度，则把他们的成绩都除以若用考分来描述掌握的程度，则把他们的成绩都除以100100而折合成隶属度，而折合成隶属度，由上表可以构造出一个模糊矩阵由上表可以构造出一个模糊矩阵 ，用它来表示，用它来表示“掌握掌握”的模糊关系的模糊关系 ：例例3 3（续）（续）二、模糊矩阵二、模糊矩阵 （一）模糊矩阵和关系图（一）模糊矩阵和关系图3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 姓名姓名语种语种成绩成绩张三张三英语英语8686张三张三法语法语8484李四李

40、四德语德语9696王五王五日语日语6666王五王五英语英语7878北京科技大学经济管理学院55 还可以用相应的图来表示，此图称为关系图。还可以用相应的图来表示，此图称为关系图。例例3 3（续）（续）二、模糊矩阵二、模糊矩阵 （一）模糊矩阵和关系图（一）模糊矩阵和关系图3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 姓名姓名语种语种成绩成绩张三张三英语英语8686张三张三法语法语8484李四李四德语德语9696王五王五日语日语6666王五王五英语英语7878XY张三张三李四李四王五王五英英法法德德日日0.860.840.780.960.66北京科技大学经济管理学院563 3、并并：设：设 ，则称，则称 为为

41、的并，的并，记为记为 1 1、相等相等：若：若 ，则称，则称 二、模糊矩阵二、模糊矩阵 （二）模糊矩阵的运算（二）模糊矩阵的运算设模糊矩阵设模糊矩阵3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 2 2、包含包含：若：若 ，则称，则称 ,例如：例如：4 4、交交：设：设 ，则称，则称 为为 的交，的交，记为记为 5 5、补（余）补（余）：称：称 为为 的补矩阵的补矩阵北京科技大学经济管理学院57例例4 4 设模糊矩阵设模糊矩阵 ，则，则二、模糊矩阵二、模糊矩阵 （二）模糊矩阵的运算（二）模糊矩阵的运算3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院58二、模糊矩阵二、模糊矩阵 其中其中x,y,z分

42、别表示论域分别表示论域X,Y,Z中的元素，中的元素，叫做矩阵叫做矩阵 与与 的合成，也称为的合成，也称为 与与 的的模糊乘积模糊乘积。定义定义4 4 设矩阵设矩阵 表示表示X到到Y的模糊关系，矩阵的模糊关系，矩阵 表示表示Y到到Z的模糊关系，则的模糊关系，则 与与 的合成的合成3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 定义为定义为X到到Z的模糊关系，的模糊关系，（二）模糊矩阵的运算（二）模糊矩阵的运算6 6、合成合成(composition)：北京科技大学经济管理学院59例例5 5 设模糊矩阵设模糊矩阵二、模糊矩阵二、模糊矩阵 （二）模糊矩阵的运算（二）模糊矩阵的运算3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析

43、其中其中如此等等。如此等等。北京科技大学经济管理学院60若若 则则7 7、转置转置(transpose)：二、模糊矩阵二、模糊矩阵 设模糊矩阵设模糊矩阵 ，称，称 为为 的转置矩阵，记为的转置矩阵，记为3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 模糊矩阵的转置，具有以下性质：模糊矩阵的转置，具有以下性质：（二）模糊矩阵的运算（二）模糊矩阵的运算北京科技大学经济管理学院61显然指数法则成立，即显然指数法则成立，即m,n为整数时有为整数时有8 8、模糊矩阵的幂模糊矩阵的幂：二、模糊矩阵二、模糊矩阵 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 （二）模糊矩阵的运算（二）模糊矩阵的运算北京科技大学经济管理学院62 若若

44、，则，则 则称则称 为为 的的 截矩阵截矩阵，其对应关系叫做，其对应关系叫做 的的截关系截关系，并称并称 为置信水平。显然为置信水平。显然 是布尔矩阵。是布尔矩阵。三、三、截矩阵截矩阵 定义定义5 5 设给定模糊矩阵设给定模糊矩阵 ，对于任意，对于任意 ，记记3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 其中其中 截矩阵的截矩阵的性质性质：北京科技大学经济管理学院63（3 3）传递性：）传递性：，即，即（2 2）对称性：）对称性：，即，即 为对称方阵；为对称方阵；以上传递关系是指：以上传递关系是指：包含它与它自身的合成。则称包含它与它自身的合成。则称 是是X上的一个上的一个模糊等价矩阵模糊等价矩阵(fuz

45、zy equivalent matrix)。四、模糊等价矩阵与相似矩阵四、模糊等价矩阵与相似矩阵 定义定义6 6 设设X X上的一个模糊矩阵上的一个模糊矩阵 ，满足：，满足：3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析（1 1）自反性：）自反性：，即主对角线上元素都是，即主对角线上元素都是1 1；满足自反性和对称性而不满足传递性的模糊矩阵称为满足自反性和对称性而不满足传递性的模糊矩阵称为模糊相模糊相似矩阵似矩阵(fuzzy similar matrix)。北京科技大学经济管理学院64五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（一）（一）截矩阵法截矩阵法 定理定理1 1 模糊矩阵是模糊等价矩阵的充要条件是对于任意模糊

46、矩阵是模糊等价矩阵的充要条件是对于任意的的 ，截矩阵截矩阵 均为等价布尔矩阵。均为等价布尔矩阵。3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院65故故 都是等价布尔矩阵。都是等价布尔矩阵。由于由于 故故 为模糊等价矩阵。为模糊等价矩阵。五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（一）（一）截矩阵法截矩阵法 例例6 6 设设3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院66它们只能各成一类，即它们只能各成一类，即x1，x2，x3。五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（一）（一）截矩阵法截矩阵法 例例6(6(续续)可以看成反映可以看成反映X=x1,x2,x3的如下关系：的如下关系：3.5

47、 模糊聚类分析模糊聚类分析 R1x1x2x3x1100 x2010 x3001北京科技大学经济管理学院67易见，易见，x2,x3归并为一类归并为一类x2,x3，x1仍独自成为一类仍独自成为一类x1，。五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（一）（一）截矩阵法截矩阵法 例例6(6(续续)可以看成另一种关系：可以看成另一种关系：3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 R0.5x1x2x3x1100 x2011x3011北京科技大学经济管理学院68五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（二）（二）模糊相似矩阵的聚类分析模糊相似矩阵的聚类分析 例例7 7 设有设有X X上的模糊关系：上的模糊关系：3.5 模糊聚类分析模

48、糊聚类分析 x1x2x3x4x5x110.10.80.20.3x20.1100.31x30.8010.70 x40.20.30.710.6x50.3100.61试将试将X=x1，x2，x3，x4，x5进行聚类。进行聚类。定理定理2 2 如果给定一个模糊相似矩阵，可以用合成运算寻求模如果给定一个模糊相似矩阵，可以用合成运算寻求模糊等价矩阵糊等价矩阵 ，然后再对，然后再对 进行聚类分析。进行聚类分析。北京科技大学经济管理学院69显然显然 满足自反性与对称性满足自反性与对称性。又。又故故 不满足传递性，是模糊相似矩阵。不满足传递性，是模糊相似矩阵。五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（二）（二）模糊相似

49、矩阵的聚类分析模糊相似矩阵的聚类分析 例例7(7(续续)3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 解解 将模糊关系表写成矩阵形式：将模糊关系表写成矩阵形式：北京科技大学经济管理学院70现求现求 ：故可选定故可选定 为模糊等价矩阵，对为模糊等价矩阵，对X进行聚类。进行聚类。五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（二）（二）模糊相似矩阵的聚类分析模糊相似矩阵的聚类分析 例例7(7(续续)3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院71取取 ，五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（二）（二）模糊相似矩阵的聚类分析模糊相似矩阵的聚类分析 取取 ，X可分为四类：可分为四类：例例7(7(续续)3.5 模糊聚类

50、分析模糊聚类分析 X可分为三类：可分为三类：北京科技大学经济管理学院72取取 ，X只有一类：只有一类：五、模糊聚类分析五、模糊聚类分析（二）（二）模糊相似矩阵的聚类分析模糊相似矩阵的聚类分析 取取 ，X可分为两类：可分为两类：例例7(7(续续)3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院73 3.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 3.2 模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数第三章第三章 模糊决策模糊决策 3.1 模糊数学与信息革命模糊数学与信息革命 3.4 模糊集合与普通集合的相互转化模糊集合与普通集合的相互转化 3.5 模糊聚类分析模糊聚类分析 3.6 模糊综合评判决策模糊综合