线性代数和解析几何矩阵PPT课件.ppt

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1、关于线性代数与解析几何矩阵第一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.1 矩矩阵与矩与矩阵的运算的运算一、矩一、矩阵概念的引入概念的引入二、矩二、矩阵的定的定义三、特殊的矩三、特殊的矩阵四、矩四、矩阵的运算的运算第二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月其中其中 表示有表示有航班航班始始发地地ABCD目的地目的地 A B C D例例某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座城市四座城市之之间开辟了若干航开辟了若干航线，四座城市之，四座城市之间的航的航班班图如如图所示，箭所示，箭头从始从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市城市间的航班的航班图情况常用表格来表示情况常用表格

2、来表示:一、矩一、矩阵概念的引入概念的引入第三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月为了便于了便于计算，把表中的算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一，就得到一个数表：个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之个数表反映了四个城市之间交通交通联接的情况接的情况.第四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第送第 j 种种货物的数量物的数量 例例某工厂生某工厂生产四种四种货物，它向三家商店物，它向三家商店发送的送的货物数量可物数量可用数表表示用数表表示为：这四种四种货物的物的单价及价及单

3、件重量也可列成数表：件重量也可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种种货物的物的单价，价，bi 2 表示第表示第 i 种种货物的物的单件重量件重量 第五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月数域数域定义：定义：对于一个至少含有对于一个至少含有0，1的复数集合的子集合的复数集合的子集合F，如，如 果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在仍在F中，那么中，那么F称为一个数域称为一个数域 所有的有理数、实数、复数都分别形成一个数域（有理数域、所有的有理数、实数、复数都分别形成一个数域（有理数域、实数域、复数域），分别记为实数域、复数

4、域），分别记为所有的奇数（偶数）都不能构成数域所有的奇数（偶数）都不能构成数域.第六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月构成一个数域构成一个数域.通常用通常用 表示表示这个数域个数域.例例集合集合证 显然然 包含包含0,1并且并且对于加减法是封于加减法是封闭的的.另外另外因因为a,b,c,d都是有理数，所以都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也是有理数也是有理数.从而从而说明明对乘法也是封乘法也是封闭的的.设 ，则知知对除法也封除法也封闭.第七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月 由由 mn 个数个数排成的排成的 m 行行 n 列的列的数表数表称称为 m 行行 n 列矩列矩

5、阵，简称称 mn 矩矩阵记作作 二、矩二、矩阵的定的定义（定（定义在数域在数域F上）上）第八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月简记为元素是元素是实数的矩数的矩阵称称为实矩矩阵，元素是复数的矩元素是复数的矩阵称称为复矩复矩阵.这 mn 个数称个数称为矩矩阵A的的元素元素，简称称为元元.第九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月n行数不一定等于列数行数不一定等于列数n共有共有mn个元素个元素n本本质上就是一个数表上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩矩阵行列式行列式第十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月同型矩同型矩阵与矩与矩阵相等的概念相等的

6、概念1.两个矩两个矩阵的行数相等、列数相等的行数相等、列数相等时，称，称为同型矩同型矩阵.例如例如为同型矩同型矩阵.2.两个矩两个矩阵 与与 为同型矩同型矩阵，并且，并且对应元元素相等，即素相等，即则称矩称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作作 A=B.第十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月注意：不同型的零矩注意：不同型的零矩阵是不相等的是不相等的.例如例如 第十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月1.只有一行的矩只有一行的矩阵 称称为行矩行矩阵(或或行向量行向量).只有一列的矩只有一列的矩阵 称称为列矩列矩阵(或或列向量列向量).2.元素全是零的矩元素全是零的矩阵称称为零

7、距零距阵可可记作作 O.例如：例如：三、特殊的矩三、特殊的矩阵第十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月3.行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩的矩阵，称，称为 n 阶方方阵可可记作作 .称称为方方阵的主的主对角角线元素，所有主元素，所有主对角角线 元素的和称元素的和称为方方阵的迹，的迹，记为 第十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月4.形如形如 的方的方阵称称为对角角阵 特特别的，方的，方阵 称称为单位矩位矩阵记作作记作作 第十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定定义设，称，称是是A的的负矩矩阵，其中，其中第十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月

8、例例某工厂生某工厂生产四种四种货物，它在上半年和下半年向三家商店物，它在上半年和下半年向三家商店发送送货物的数量可用数表表示：物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向求：工厂在一年内向各商店各商店发送送货物的数量物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店商店发送第送第 j 种种货物的数量物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店商店发送第送第 j 种种货物的数量物的数量第十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解：解：工厂在一年内向工厂在一年内向各商店各商店发送送货物的数量物的数量第十八张，PPT共一百七十页，创作于2

9、022年6月1、矩、矩阵的加法的加法定定义：设有两个有两个 mn 矩矩阵 A=(aij)，B=(bij)，那么矩那么矩阵 A 与与 B 的和的和记作作 AB，规定定为说明：明：只有当两个矩只有当两个矩阵是同型矩是同型矩阵时，才能，才能进行加法运算行加法运算.第十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月知知识点比点比较第二十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月交交换换律律结结合合律律其其他他矩矩阵加法的运算加法的运算规律律设 A、B、C 是同型矩是同型矩阵设矩矩阵 A=(aij)，记A=(aij)（A 的的负矩矩阵）显然然第二十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月设工厂向

10、某家商店工厂向某家商店发送四种送四种货物各物各 l l 件，件，试求：工厂向求：工厂向该商商店店发送第送第 j 种种货物的物的总值及及总重量重量例（例（续）该厂所生厂所生产的的货物的物的单价及价及单件重量可列成数表：件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种种货物的物的单价价，bi 2 表示第表示第 i 种种货物的物的单件重量件重量 第二十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解：解：工厂向工厂向该商店商店发送第送第 j 种种货物的物的总值及及总重量重量其中其中bi 1 表示第表示第 i 种种货物的物的单价价，bi 2 表示第表示第 i 种种货物的物的单件重量件重量 第二

11、十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2、数与矩、数与矩阵相乘相乘定定义：数数 k是复数域中的一个数，它是复数域中的一个数，它与矩与矩阵 A 的乘的乘积记作作 k A 或或 A k，规定定为第二十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩数乘矩阵的运算的运算规律律设 A、B是同型矩是同型矩阵，l l,m m 是数是数矩矩阵相加与数乘矩相加与数乘矩阵合起来，合起来，统称称为矩矩阵的的线性运算性运算.第二十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月知知识点比点比较第二十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月其中其中aij 表示工厂向第

12、表示工厂向第 i 家商店家商店发送第送第 j 种种货物的数量物的数量 例（例（续）某工厂生某工厂生产四种四种货物，它向三家商店物，它向三家商店发送的送的货物物数量可用数表表示数量可用数表表示为：这四种四种货物的物的单价及价及单件重量也可列成数表：件重量也可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种种货物的物的单价，价，bi 2 表示第表示第 i 种种货物的物的单件重量件重量 试求：工厂向三家商店所求：工厂向三家商店所发货物的物的总值及及总重量重量 第二十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解：解：以以 ci1，ci2 分分别表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店所家商店所发货物的

13、物的总值及及总重量，其中重量，其中 i=1,2,3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第送第 j 种种货物的数量物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种种货物的物的单价，价，bi 2 表示第表示第 i 种种货物的物的单件重量件重量 第二十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月可用矩可用矩阵表示表示为一般地，一般地，第二十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月4、矩、矩阵与矩与矩阵相乘相乘定定义：设，那么，那么规定矩定矩阵 A 与矩与矩阵 B 的乘的乘积是一个是一个 mn 矩矩阵，其中，其中并把此乘并把此乘积记作作 C=AB 第三十张，P

14、PT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：设则第三十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月知知识点比点比较有意有意义.没有意没有意义.只有当第一个矩只有当第一个矩阵的列数的列数等于第二个矩等于第二个矩阵的行数的行数时，两，两个矩个矩阵才能相乘才能相乘.第三十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例P.34例例1.2 结论：1.1.矩矩阵乘法不一定乘法不一定满足交足交换律律.2.2.矩矩阵，却有，却有，从而不能由从而不能由得出得出或或的的结论第三十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月矩矩阵乘法的运算乘法的运算规律律(1)乘法乘法结合律合律证明？明？(3)乘法乘法对

15、加法的分配律加法的分配律(2)数乘和乘法的数乘和乘法的结合律合律（其中（其中 l l 是数）是数）(4)单位矩位矩阵在矩在矩阵乘法中的作用乘法中的作用类似于数似于数1，即，即矩矩阵乘法不一定乘法不一定满足交足交换律律!第三十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(5)设A是一个是一个n阶方方阵，f(x),g(x)为复系数的多复系数的多项式，式，则矩矩阵A的多的多项式式f(A)和和g(A)的乘法的乘法满足交足交换律律,即即 f(A)g(A)=g(A)f(A).第三十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：如果如果AB=BA,我我们就称矩就称矩阵A，B可交可交换.证明和明和对

16、角角矩矩阵可交可交换的只能是的只能是对角矩角矩阵.其中其中证设矩矩阵B可以和可以和A可交可交换.其中其中第三十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月则第三十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月即即依次比依次比较两两边矩矩阵的第一行，第二行，的第一行，第二行，.,可以得到可以得到故故结论成立成立第三十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(5)矩矩阵的的幂 若若 A 是是 n 阶方方阵，定定义显然然 ,定定义思考：思考：下列等式在什么下列等式在什么时候成立？候成立？A、B可交可交换时成立成立第三十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月5、矩、矩阵的的转置置定定义

17、：把矩把矩阵 A 的行的行换成同序数的列得到的新矩成同序数的列得到的新矩阵，叫做，叫做的的转置矩置矩阵，记作作AT.例例第四十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月转置矩置矩阵的运算性的运算性质第四十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：已知已知解法解法1第四十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解法解法2第四十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定定义：设 A 为 n 阶方方阵，如果，如果满足足 ，即，即那么那么 A 称称为对称称阵.如果如果满足足 A=AT，那么，那么 A 称称为反反对称称阵.对称称阵 反反对称称阵 第四十四张，PPT共一百七十页，

18、创作于2022年6月例：例：设列矩列矩阵 X=(x1,x2,xn)T 满足足 X T X=1，E 为 n 阶单位位阵，H=E2XXT，试证明明 H 是是对称称阵，且，且 HHT=E.证明：明：从而从而 H 是是对称称阵 第四十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月6、共、共轭矩矩阵当当 为复矩复矩阵时，用，用 表示表示 的共的共轭复数，复数，记，称称为 的的共共轭矩矩阵.显然然 ，复矩，复矩阵A是是实矩矩阵当且当且仅当当 .第四十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例第四十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月（设A，B 为复矩复矩阵，l l 为复数，且运算都是可行

19、的）：复数，且运算都是可行的）：性性质第四十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月作作业习题二二1(3)(4)，5,7,11第四十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.2 矩矩阵的分的分块第五十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月前言前言n由于某些条件的限制，我由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决的情况，如何解决这个个问题呢呢?n这时我我们可以借助可以借助WINRAR把文件分把文件分块，依次上，依次上传.n家具的拆卸与装配家具的拆卸与装配问题一：一：什么是矩什么是矩阵分分块法？法？问题二：二：为什么提出矩什么提出矩

20、阵分分块法？法？第五十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月问题一：一：什么是矩什么是矩阵分分块法？法？定定义：用一些水平用一些水平线和垂直和垂直线将矩将矩阵分成若干个小分成若干个小块，这种种操作称操作称为对矩矩阵进行分行分块；每一个小每一个小块称称为矩矩阵的子的子块；矩矩阵分分块后，以子后，以子块为元素的形式上的矩元素的形式上的矩阵称称为分分块矩矩阵.这是是2阶方方阵吗？第五十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例分分块矩矩阵第五十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月把把矩矩阵A用水平用水平线和垂直和垂直线分割成若干个小矩分割成若干个小矩阵.如下如下图第五十四张

21、，PPT共一百七十页，创作于2022年6月问题二：二：为什么提出矩什么提出矩阵分分块法？法？答：答：对于行数和列数于行数和列数较高的矩高的矩阵 A，运算，运算时采用分采用分块法，法，可以使大矩可以使大矩阵的运算化成小矩的运算化成小矩阵的运算，的运算，体体现了了化整化整为零零的思想的思想.第五十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分分块矩矩阵的加法的加法第五十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月若矩若矩阵A、B是同型矩是同型矩阵，且采用相同的分，且采用相同的分块法，即法，即则有有形式上形式上看成是看成是普通矩普通矩阵的加的加法！法！第五十七张，PPT共一百七十页，创作于202

22、2年6月分分块矩矩阵的数乘的数乘第五十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月若若l l 是数，且是数，且 则有有形式上形式上看成是看成是普通的普通的数乘运数乘运算！算！第五十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分分块矩矩阵的乘法的乘法一般地，一般地，设 A为m l 矩矩阵，B为l n矩矩阵，把，把 A、B 分分块如下：如下：第六十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分分块矩矩阵的的转置置若若 ，则例如：例如：分分块矩矩阵不不仅形形式上式上进行行转置，置，而且每一个子而且每一个子块也也进行行转置置第六十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分分块对角矩角矩阵（补

23、充）充）定定义：设 A 是是 n 阶矩矩阵，若，若1.A 的分的分块矩矩阵只有在只有在对角角线上有非零子上有非零子块，2.其余子其余子块都都为零矩零矩阵，3.对角角线上的子上的子块都是方都是方阵，那么称那么称 A 为分分块对角矩角矩阵例如：例如：第六十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月方方阵的行列式的行列式定定义：由由 n 阶方方阵的元素所构成的行列式，叫做的元素所构成的行列式，叫做方方阵 A 的行列式的行列式，记作作|A|或或detA.运算性运算性质第六十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月证明：明：要使得要使得|AB|=|A|B|有意有意义，A、B 必必为同同阶方方阵

24、，假假设 A=(aij)nn，B=(bij)nn.我我们以以 n=3 为例，构例，构造一个造一个6阶行列式行列式第六十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第六十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第六十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月令令 ，则 C=(cij)=AB 第六十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月从而从而 第六十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.3 矩矩阵的秩的秩一、矩一、矩阵的初等的初等变换二、矩二、矩阵的秩的秩第六十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月引例：引例：求解求解线性方程性方程组一、矩阵的初等变换第七

25、十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2第七十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月23 第七十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月 253第七十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2 第七十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月取取 x3 为自由自由变量，量，则 令令 x3 =c，则 恒等式第七十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月三种三种变换：n交交换方程的次序，方程的次序，记作作 ；n以非零常数以非零常数 k 乘某个方程，乘某个方程，记作作 ；n一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍，倍，记作作 .其逆其逆变换是：是

26、：结论：1.由于由于对原原线性方程性方程组施行的施行的变换是是可逆可逆变换，因此，因此变换前后的方程前后的方程组同解同解.2.2.在上述在上述变换过程中，程中，实际上只上只对方方程程组的系数和常数的系数和常数进行运算，未知行运算，未知数并未参与运算数并未参与运算iji k i k jiji k i+k jijik ik j第七十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定定义：下列三种下列三种变换称称为矩矩阵的的初等行初等行变换：n交交换矩矩阵中的两行，中的两行，记作作 ；n以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，乘某一行的所有元素，记作作 ；n某一行加上另一行的某一行加上另一行的

27、k 倍，倍，记作作 .其逆其逆变换是：是：把定把定义中的中的“行行”换成成“列列”，就得到矩，就得到矩阵的的初等列初等列变换的定的定义 矩矩阵的初等行的初等行变换与初等列与初等列变换统称称为初等初等变换 初等初等变换初等行初等行变换初等列初等列变换第七十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月有限次初等有限次初等变换矩矩阵 A 与矩与矩阵 B 等价等价，记作作矩矩阵之之间的等价关系具有下列性的等价关系具有下列性质：反身性反身性；对称性称性若若，则；传递性性若若，则第七十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月阶梯形矩梯形矩阵：1.可画出一条可画出一条阶梯梯线，线的下方的下方全全为零

28、；零；2.每个台每个台阶只有一行；只有一行；3.阶梯梯线的的竖线后面是非零行的后面是非零行的第一个非零元素第一个非零元素.阶梯形矩阵阶梯形矩阵1.若某行中每个元素都若某行中每个元素都为0，则位于位于该行下面各行元素也全行下面各行元素也全为0.2.若有非零元素且非零元素出若有非零元素且非零元素出现于前于前r行，而行，而对于于i=1,2,r,第第i行行中左起第中左起第1个非零元素个非零元素为 ,则 .第七十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例是是阶梯形矩梯形矩阵，而，而不是不是阶梯形矩梯形矩阵.第八十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月证设mn 矩阵矩阵 A 若所有的若所有的

29、均均为0，则显然然A是是阶梯形矩梯形矩阵.定理定理任意一个矩任意一个矩阵都可都可经过一系列初等行一系列初等行变换化化为阶梯梯形矩形矩阵.第八十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月否否则，设A的第的第列的元素均列的元素均为0，而第，而第列有非零元素列有非零元素.利用矩利用矩阵的初等的初等变换其中其中.依次依次类推推.第八十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例把把化成化成阶梯形矩梯形矩阵.第八十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解解第八十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月（续）考考虑列初等列初等变换第八十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月

30、定理定理任意一个任意一个mn 矩矩阵A都可与一个形如都可与一个形如的矩的矩阵等价等价.为A的等价的等价标准形准形.第八十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月任何矩任何矩阵阶梯形矩梯形矩阵等价等价标准形矩准形矩阵一系列初等行一系列初等行变换 一一系系列列初初等等列列变换 一系列初等一系列初等变换 结论第八十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月二、矩二、矩阵的秩的概念的秩的概念定定义：在在 mn 矩矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列(k m，kn)，位于位于这些行列交叉些行列交叉处的的 k2 个元素按原来的个元素按原来的顺序序组成的成的k 阶行行列式，称列式，称为矩

31、矩阵 A 的的 k 阶子式子式显然，然，mn 矩矩阵 A 的的 k 阶子式共有子式共有 个个概念辨析：概念辨析：k 阶子式、矩子式、矩阵的子的子块、余子式、代数余子式、余子式、代数余子式第八十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月与元素与元素a12相相对应的的余子式余子式相相应的的代数余子式代数余子式矩矩阵 A 的一个的一个 2 阶子子块矩矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式子式第八十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月矩矩阵 A 的一个的一个 3 阶子式子式矩矩阵 A 的的 2 阶子式子式 如果矩如果矩阵 A 中所有中所有 2 阶子式都等于零，那么子式都等于零，那么这个个 3

32、 阶子式也等于零子式也等于零 第九十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定定义：设矩矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式子式 D，且所有，且所有r+1 阶子式（如果存在的子式（如果存在的话）全等于零，那么）全等于零，那么 数数 r 称称为矩矩阵 A 的秩的秩，记作作 r(A)n根据行列式按行（列）展开法根据行列式按行（列）展开法则可知，矩可知，矩阵 A 中任何一个中任何一个 r+2 阶子式（如果存在的子式（如果存在的话）都可以用）都可以用 r+1 阶子式来表示子式来表示n如果矩如果矩阵 A 中所有中所有 r+1 阶子式都等于零，那么所有子式都等于零，那么所有 r+

33、2阶子式子式也都等于零也都等于零 n事事实上，所有高于上，所有高于 r+1 阶的子式（如果存在的的子式（如果存在的话）也都等于零）也都等于零 因此矩因此矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高中非零子式的最高阶数数规定：定：零矩零矩阵的秩等于零的秩等于零第九十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月矩矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高中非零子式的最高阶数数 显然，然，n若矩若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，子式不等于零，则 r(A)s；若矩若矩阵 A 中所有中所有 t 阶子式等于零，子式等于零，则 r(A)t n若若 A 为 n 阶矩矩阵，则 A 的

34、的 n 阶子式只有一个，即子式只有一个，即|A|当当|A|0 时，r(A)=n;（非奇异矩（非奇异矩阵）又称）又称为满秩矩秩矩阵当当|A|=0 时，r(A)r)阶子式子式 D全全为零，零，为此此对A 按列分按列分块，设经过初等初等变换后后变为 取取B的任意一个的任意一个k(kr)阶子式子式D,记 是是D中分中分别对应于于 的列的列.则D有三种情形有三种情形.第九十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(1)D中不含中不含B的第的第i列，列，这时D就是就是A的子式的子式.则D=0.(2)D中含中含B的第的第i列，但不列，但不含含B的第的第j列列,这时(3)D同同时含含B的第的第i列和第列

35、和第j列列,第九十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月B中高于中高于r阶的子式都的子式都为0，所以，所以 ，同理可得，同理可得 .结论成立成立.第一百张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分析分析 比比较矩矩阵A、B的的等价等价标准形准形.性性质1 两个矩两个矩阵A、B等价的条件是当且等价的条件是当且仅当它当它们有相同的有相同的 秩秩.性性质2 阶梯形矩梯形矩阵的秩等于它非零行的数目的秩等于它非零行的数目.第一百零一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：求求矩矩阵 A 的秩，其中的秩，其中 分析：分析：在在 A 中，中，2 阶子式子式 A 的的 3 阶子式共有子式

36、共有 (个个)，要从要从40个子式中找出一个非零子式是比个子式中找出一个非零子式是比较麻麻烦的的第一百零二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月一般的矩一般的矩阵，当行数和列数，当行数和列数较高高时，按定，按定义求秩是很麻求秩是很麻烦的的.阶梯形矩梯形矩阵的秩就等于非零行的行数的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等一个自然的想法是用初等变换将一般的矩将一般的矩阵化化为阶梯形矩梯形矩阵.两个等价的矩两个等价的矩阵的秩是否相等？的秩是否相等？第一百零三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：求求矩矩阵 的秩。的秩。第一百零四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解：

37、解：第一步先用初等行第一步先用初等行变换把矩把矩阵化成化成阶梯形矩梯形矩阵阶梯形矩梯形矩阵有有 3 个非零行，故个非零行，故r(A)=3 第一百零五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分析：分析：对 B 作初等行作初等行变换变为阶梯形矩梯形矩阵，设 B 的的阶梯梯形矩形矩阵为 ，则 就是就是 A 的的阶梯形矩梯形矩阵，因此可从，因此可从中同中同时看出看出r(A)及及 r(B)例：例：设 ，求矩，求矩阵 A 及矩及矩阵B=(A,b)的秩的秩解：解：r(A)=2r(B)=3第一百零六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.4 矩矩阵的逆的逆第一百零七张，PPT共一百七十页，创作于2

38、022年6月n矩矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算与复数相仿，有加、减、乘三种运算.n矩矩阵的乘法是否也和复数一的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？有逆运算呢？n这就是本就是本节所要所要讨论的的问题.n这一一节所所讨论的矩的矩阵，如不特，如不特别说明，所指的都是明，所指的都是 n 阶方方阵.从乘法的角度来看，从乘法的角度来看，n 阶单位矩位矩阵 E 在同在同阶方方阵中的地位中的地位类似似于于 1 在复数中的地位在复数中的地位 一个复数一个复数 a 0的倒数的倒数 a1可以用等式可以用等式 a a1=1 来刻划来刻划.类似地，我似地，我们引入引入对于于 n 阶单位矩位矩阵 E 以及同以及同阶的方

39、的方阵 A，都有，都有第一百零八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定定义：n 阶方方阵 A 称称为可逆的可逆的，如果有，如果有 n 阶方方阵 B，使得，使得这里里 E 是是 n 阶单位矩位矩阵.n根据矩根据矩阵的乘法法的乘法法则，只有方，只有方阵才能才能满足上述等式足上述等式.n对于任意的于任意的 n 阶方方阵 A，适合上述等式的矩，适合上述等式的矩阵 B 是唯是唯一的（如果有的一的（如果有的话）.定定义：如果矩如果矩阵 B 满足上述等式，那么足上述等式，那么 B 就称就称为 A 的的逆矩逆矩阵，记作作 A1.第一百零九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：已知已知 ,

40、则例：例：已知已知 ,求其逆矩求其逆矩阵.第一百一十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月性性质：如果如果 n 阶方方阵A、B可逆，那么可逆，那么 、与与AB也可逆，且也可逆，且第一百一十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月下面要解决的下面要解决的问题是：是：n在什么条件下，方在什么条件下，方阵 A 是可逆的？是可逆的？n如果如果 A 可逆，怎可逆，怎样求求 A1？第一百一十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：已知已知 ,则A不存在逆矩不存在逆矩阵.假假设存在逆矩存在逆矩阵 则而而 ,矛盾矛盾.第一百一十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定定义 设

41、矩矩阵 称矩称矩阵为矩矩阵A的伴随矩的伴随矩阵。元素元素 的代数的代数余子式余子式 位于位于第第 i行第行第 j 列列第一百一十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定理定理 矩阵可逆的充要条件是矩阵可逆的充要条件是 ，且当可，且当可逆时，有：逆时，有：证明证明若若 可逆，可逆，第一百一十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月由定义得由定义得第一百一十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：求二求二阶矩矩阵 的逆矩的逆矩阵.第一百一十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：例：求求3阶方方阵 的逆矩的逆矩阵.解解：|A|=52，则第一百一十八张，PPT共

42、一百七十页，创作于2022年6月例：例：设方方阵A满足足 ,证明明A,A+2E都可逆都可逆.第一百一十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月方方阵A可逆可逆 此此时，称矩，称矩阵A为非奇异矩非奇异矩阵容易看出：容易看出：对于于n 阶方方阵A、B，如果，如果 那么那么A、B都是可逆矩都是可逆矩阵，并且它，并且它们互互为逆矩逆矩阵.第一百二十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例 的系数矩的系数矩阵是一个是一个n 阶方方阵 A，若，若A可逆可逆,则线性方程性方程组有唯一有唯一的解的解.第一百二十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月证明：明：记则上述上述线性性变换可可记作

43、作 AX=b(1)存在性存在性:由于由于A可逆可逆,则 ，于是，于是(2)唯一性唯一性:假假设有另一解有另一解 ,则 第一百二十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例 设其中其中 为 可逆矩可逆矩阵,为可逆矩可逆矩阵，求，求A的逆的逆.第一百二十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.5 初等矩初等矩阵第一百二十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定定义：由由单位矩位矩阵 E 经过一次初等一次初等变换得到的矩得到的矩阵称称为初等矩初等矩阵.三种初等三种初等变换对应着三种初等矩着三种初等矩阵.(1)(1)互互换单位矩位矩阵的两行（列）；的两行（列）；(2)以常数以

44、常数 k0 乘乘单位矩位矩阵的某一的某一 行（列）；行（列）；(3)以以 k 乘乘单位矩位矩阵的某一的某一 行（列）加到另一行（列）加到另一 行（列）行（列）一、初等变换与矩阵乘法的关系第一百二十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(1)(第第I种种类型的初等矩型的初等矩阵)n阶单位矩位矩阵的第的第 i,j 行（行（ij）(2)(2)互互换，记为P(i,j).第i行第行第一百二十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月记作作 P(3,5)第一百二十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百二十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百二十九张，PPT共一百七

45、十页，创作于2022年6月(2)(第第II种种类型的初等矩型的初等矩阵)以常数以常数 k0 乘乘单位矩位矩阵第第 i 行行,记为P(i(k).第i行第一百三十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月记作作 P(3(k)第一百三十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百三十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(3)(第第III种种类型的初等矩型的初等矩阵)以以 k 乘乘单位矩位矩阵第第 j 行行加到加到第第 i 行行,记作作 P(i,j(k)第i行第行第一百三十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月记作作 P(3,5(k)第一百三十四张，PPT共一百七十页，创作

46、于2022年6月第一百三十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月结论把矩把矩阵A的第的第 i 行与第行与第 j 行行对换，即，即 .把矩把矩阵A的第的第 i 列与第列与第 j 列列对换，即，即 .以非零常数以非零常数 k 乘矩乘矩阵A的第的第 i 行，即行，即 .以非零常数以非零常数 k 乘矩乘矩阵A的第的第 i 列，即列，即 .把矩把矩阵A第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行，即行，即 .把矩把矩阵A第第 i 列的列的 k 倍加到第倍加到第 j 列，即列，即 .第一百三十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定理定理(定理定理5.1)设A是一个是一个 mn 矩矩阵

47、，n对 A 施行一次施行一次初等行初等行变换，相当于在，相当于在 A 的左的左边乘以相乘以相应的的 m 阶初等矩初等矩阵；n对 A 施行一次施行一次初等列初等列变换，相当于在，相当于在 A 的右的右边乘以相乘以相应的的 n 阶初等矩初等矩阵.口口诀：左行右列：左行右列.第一百三十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例 已知已知求求P(3,1(2)A,AP(2,3).P(3(3)A.第一百三十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月初等初等变换 初等初等变换的逆的逆变换 初等矩初等矩阵?第一百三十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月所以所以 一般地，一般地，第一百四十

48、张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月所以所以 一般地，一般地，?第一百四十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月所以所以 一般地，一般地，?第一百四十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月初等初等变换 初等初等变换的逆的逆变换 初等矩初等矩阵 初等矩初等矩阵的逆矩的逆矩阵初等矩初等矩阵的逆矩的逆矩阵是：是：?第一百四十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定理定理 任意一个任意一个矩阵矩阵A都和一形如都和一形如 的矩阵等价。（的矩阵等价。（P45）第一百四十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月由上述定理可得由上述定理可得定理定理 对任意矩阵对任意矩阵,

49、r(A)=r,存在一系列存在一系列和和n阶初等矩阵阶初等矩阵使得使得第一百四十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月推推论1 若若矩矩阵A为n阶可逆矩可逆矩阵，则存在存在n阶初等初等阵 ，使，使从而从而推推论2 若若矩矩阵A为n阶可逆矩可逆矩阵，则存在存在n阶初等矩初等矩阵Q1,Q2,Ql，使，使 AQ1 Q2,Ql=E从而从而第一百四十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月初等初等变换的的应用用若若矩阵矩阵A为为n阶可逆矩阵，则存在阶可逆矩阵，则存在n阶初矩阵阶初矩阵 使使 ，从而，从而即对即对 矩阵矩阵(A E)执行初等行变换执行初等行变换,当把当把A变成变成E时，原来的时

50、，原来的E变成变成 .第一百四十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月 解解例例第一百四十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百四十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月即即初等行变换初等行变换第一百五十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例例解解第一百五十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百五十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百五十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月列变换列变换行变换行变换第一百五十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月作作业习题二二16,20,24第一百五十五张，PPT共一百七十页，