第11章机械振动精选文档.ppt

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1、第11章机械振动本讲稿第一页，共四十三页本章内容本章内容9.1 9.1 简谐振动简谐振动9.9.2 2 旋转矢量法旋转矢量法9.9.3 3 简谐振动的能量简谐振动的能量9.9.4 4 一维简谐振动的合成一维简谐振动的合成 拍现象拍现象本讲稿第二页，共四十三页定义定义：任一物理量在某一定值附近循环往复变化均称为任一物理量在某一定值附近循环往复变化均称为任一物理量在某一定值附近循环往复变化均称为任一物理量在某一定值附近循环往复变化均称为振动振动振动振动.物体围绕一固定位置来回往复运动称为物体围绕一固定位置来回往复运动称为物体围绕一固定位置来回往复运动称为物体围绕一固定位置来回往复运动称为机械振动机

2、械振动机械振动机械振动.其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动.周期和非周期振动周期和非周期振动周期和非周期振动周期和非周期振动 简谐运动简谐运动简谐运动简谐运动：最简单、最基本的振动：最简单、最基本的振动：最简单、最基本的振动：最简单、最基本的振动.谐振子谐振子：作简谐运动的物体：作简谐运动的物体：作简谐运动的物体：作简谐运动的物体.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等

3、及晶体中原子的振动等及晶体中原子的振动等及晶体中原子的振动等.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动复杂振动复杂振动合成合成分解分解11.1 11.1 简谐振动简谐振动振动发声的乐器振动发声的乐器本讲稿第三页，共四十三页11.1.1 简谐振动的特征简谐振动的特征弹性系数为弹性系数为弹性系数为弹性系数为k k的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为mm的物体，的物体，的物体，的物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为这样的弹簧和物体构成的系统称为这样的弹簧和物体构成的系统称为这样的弹簧和物体构成的系统称

4、为弹簧振子弹簧振子弹簧振子弹簧振子。把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在设在设在设在OO点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称OO点为点为点为点为平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置。(1)以弹簧振动系统为例以弹簧振动系统为例以弹簧振动系统为例以弹簧振动系统为例演示演示本讲稿第四页，共四十

5、三页定义定义：弹性力：弹性力：弹性力：弹性力F F的方向始终指向平衡位置，称为的方向始终指向平衡位置，称为的方向始终指向平衡位置，称为的方向始终指向平衡位置，称为回复力回复力回复力回复力。定义定义：物体受力：物体受力：物体受力：物体受力F F与位移与位移与位移与位移x x成正比反向运动称为成正比反向运动称为成正比反向运动称为成正比反向运动称为简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动。(2)动力学特征动力学特征动力学特征动力学特征u u上式反映了弹簧振子振动过程中的动力学特征，它是上式反映了弹簧振子振动过程中的动力学特征，它是上式反映了弹簧振子振动过程中的动力学特征，它是上式反映了弹簧振子振动过程中的动

6、力学特征，它是简谐振动的简谐振动的动力学方程动力学方程。演示演示对于一个给定的弹簧振子，对于一个给定的弹簧振子，对于一个给定的弹簧振子，对于一个给定的弹簧振子，k k和和和和mm都是正值常量，它们都是正值常量，它们都是正值常量，它们都是正值常量，它们的比值可以用一个常量的比值可以用一个常量的比值可以用一个常量的比值可以用一个常量 2 2表示，即表示，即表示，即表示，即本讲稿第五页，共四十三页简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程反映的是简谐振动本质，当任何物理系反映的是简谐振动本质，当任何物理系反映的是简谐振动本质，当任何物理系反映的是简谐振动本质，当任何物理系统作简谐振动时，描述系统的物理

7、量（如电流、电场强度等）统作简谐振动时，描述系统的物理量（如电流、电场强度等）统作简谐振动时，描述系统的物理量（如电流、电场强度等）统作简谐振动时，描述系统的物理量（如电流、电场强度等）都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。(3)3)简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程(4)简谐运动速度、加速

8、度简谐运动速度、加速度简谐运动速度、加速度简谐运动速度、加速度本讲稿第六页，共四十三页取取取取(5)振动曲线振动曲线振动曲线振动曲线图图图图图图本讲稿第七页，共四十三页 从受力角度来看从受力角度来看从受力角度来看从受力角度来看动力学特征动力学特征动力学特征动力学特征 从加速度角度来看从加速度角度来看从加速度角度来看从加速度角度来看运动学特征运动学特征运动学特征运动学特征 从位移角度来看从位移角度来看从位移角度来看从位移角度来看运动学特征运动学特征运动学特征运动学特征 要要要要证明一个物体是否作简谐运动证明一个物体是否作简谐运动证明一个物体是否作简谐运动证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三

9、个式子中的，只要证明上面三个式子中的，只要证明上面三个式子中的，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作简谐运动要证明一个物体是否作简谐运动要证明一个物体是否作简谐运动要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法最简单的方法最简单的方法最简单的方法就是受力方析，得就是受力方析，得就是受力方析，得就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。到物体所受的合外力满足回复力的关系。到物体所受的合外力满足回复力的关系。到物体所受的

10、合外力满足回复力的关系。(6)总结、简谐运动的特点总结、简谐运动的特点总结、简谐运动的特点总结、简谐运动的特点本讲稿第八页，共四十三页例例例例1 1：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。解解解解：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：两边取时间的微分：两边取时间的微分：两边取时间的微分：两边取时间的微分：此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的小角度

11、此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的小角度此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的小角度此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的小角度运动为简谐振动。运动为简谐振动。运动为简谐振动。运动为简谐振动。本讲稿第九页，共四十三页例例例例2 2 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为mm的物体。今将物的物体。今将物的物体。今将物的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，体向下拉一段距离后再放开，体向下拉一段距离后再放开，体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。证明物体将作简谐振动。证明物体将作简谐振

12、动。证明物体将作简谐振动。因此因此因此因此 ,此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。以平衡位置以平衡位置以平衡位置以平衡位置OO为原点为原点为原点为原点弹簧原长挂m后伸长某时刻m位置伸 长受弹力平衡位置解：求平衡位置解：求平衡位置解：求平衡位置解：求平衡位置本讲稿第十页，共四十三页11.2 描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量(1)振幅振幅(2)周期、频率与角频率周期、频率与角频率定义定义：物体作一次完全振动所经历的时间为振动的周期：物体作一次完全振动所经历的时间为振动的周期T。定义定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数称为振动的频率：单位时间内物体所作

13、的完全振动的次数称为振动的频率。定义：定义：作简谐运动的物体离开平衡作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振幅。位置的最大位移的绝对值称为振幅。因为每经过一个周期，振动状态就完全重复一次，所以有因为每经过一个周期，振动状态就完全重复一次，所以有由上式得到由上式得到即即本讲稿第十一页，共四十三页周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，因此常称之为周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，因此常称之为固有周期固有周期和和固有频率固有频率。动物的心跳（次动物的心跳（次/分）分）昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz）定义：定义：表示物体在表示物体在2秒时间内所作的完全振动的次数，

14、称为振动的秒时间内所作的完全振动的次数，称为振动的角频率角频率。例如对于弹簧振子例如对于弹簧振子，因此弹簧振子的周期和频率，因此弹簧振子的周期和频率分别为分别为本讲稿第十二页，共四十三页(3)相位和初相相位和初相简谐振动：简谐振动：可见，当振幅可见，当振幅 A 和角频率和角频率 给定时，物体在给定时，物体在 t 时刻的位置和速度时刻的位置和速度完全由完全由t+来确定。来确定。定义定义：t+是确定简谐运动状态的物理量，称之为是确定简谐运动状态的物理量，称之为相位相位。在在t=0时，相位为时，相位为，称为初相位，简称，称为初相位，简称初相初相，它是决定初始时，它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。

15、刻物体运动状态的物理量。txOA-A=2 相位概念的重要性体现在相位能充分体现简谐振动的周期性。相位概念的重要性体现在相位能充分体现简谐振动的周期性。本讲稿第十三页，共四十三页txvw t+j0A00T/40-w Ap/2T/2-A0pTA02p(4)振动过程中物体的状态与相位关系振动过程中物体的状态与相位关系在一次全振动中，不同的运动状态在一次全振动中，不同的运动状态都对应着一个在都对应着一个在02 内的相位值。内的相位值。设有两个简谐振动设有两个简谐振动相位差为相位差为(5)相位差相位差 t xOA1-A1A2-A2x1x2 ，x2比比x1早早 达到正最达到正最大大,称第二个简谐振动比第一

16、个称第二个简谐振动比第一个简谐振动超前简谐振动超前;同理，同理，则称第二个简谐振动比第一个则称第二个简谐振动比第一个简谐振动落后。简谐振动落后。本讲稿第十四页，共四十三页可见，相位概念的重要性还在于可见，相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在比较两个简谐振动之间在“步步调调”上的差异上的差异。两个简谐振动两个简谐振动同相同相两个简谐振动两个简谐振动反向反向txoA1-A1A2-A2x1x2T同相同相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相反相-A1本讲稿第十五页，共四十三页(6)振幅和初相的确定振幅和初相的确定初相初相:所在的象限可以由所在的象限可以由x0和和v0的方向来决定的方向来决定

17、:取值在第取值在第象限象限取值在第取值在第象限象限取值在第取值在第象限象限取值在第取值在第象限象限本讲稿第十六页，共四十三页比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？讨论：讨论：讨论：讨论：本讲稿第十七页，共四十三页11.2 旋转矢量法旋转矢量法11.2.1 旋转矢量图示法旋转矢量图示法 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量A，使它，使它的模等于振动的振幅的模等于振动的振幅A，并使矢量，并使矢量 A在在 Oxy 平面内绕点平面内绕点O作逆时针作逆时针方向的

18、匀角速转动，其角速度方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫与振动频率相等，这个矢量就叫做做旋转矢量旋转矢量.Rotation Vector 本讲稿第十八页，共四十三页11.2.2 旋转矢量与简谐运动的关系旋转矢量与简谐运动的关系本讲稿第十九页，共四十三页M点运动在点运动在x轴投影，为简谐振动的轴投影，为简谐振动的运动方程。运动方程。M点速度在点速度在x轴投影，为轴投影，为简简谐振动的速度。谐振动的速度。M点加速度在点加速度在x轴投影，为轴投影，为简简谐振动的加谐振动的加速度。速度。结论：结论：这种以一个匀速旋转的矢量这种以一个匀速旋转的矢量 A，在，在ox轴上的投影来表示简谐振

19、动轴上的投影来表示简谐振动的方法，称为旋转矢量法。的方法，称为旋转矢量法。本讲稿第二十页，共四十三页 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）11.2.3 旋转矢量的应用旋转矢量的应用(1)用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图本讲稿第二十一页，共四十三页(2)旋转矢量法确定初位相。旋转矢量法确定初位相。在第在第象限象限在第在第象限象限在第在第象限象限在第在第象限象限本讲稿第二十二页，共四十三页几种特殊位置初位相。几种特殊位置初位相。本讲稿第二十三页，共四十三页oxotxa/4a b T/8b cc dd ee T/29T/8T旋转矢量法的优点旋转矢量法的优

20、点把变速直线运动转化为匀速圆周运动把变速直线运动转化为匀速圆周运动利用该方法可方便地画出利用该方法可方便地画出x-t,v-t,a-t 图图可方便地比较两个振动的相位可方便地比较两个振动的相位,方便地求初相位方便地求初相位方便地进行两个振动的合成方便地进行两个振动的合成例例3 试画出试画出x=Acos(t+/4)的的x-t 图线图线本讲稿第二十四页，共四十三页例例例例4 4：简谐振动的：简谐振动的：简谐振动的：简谐振动的x-tx-t曲线如右图所示，求振动方程。曲线如右图所示，求振动方程。曲线如右图所示，求振动方程。曲线如右图所示，求振动方程。解解解解:当当当当t=0t=0时：时：时：时：设振动方

21、程为：设振动方程为：设振动方程为：设振动方程为：由振动曲线知：由振动曲线知：由振动曲线知：由振动曲线知：.初始条件法：初始条件法：初始条件法：初始条件法：当当当当t=2t=2时：时：时：时：.旋转矢量法：旋转矢量法：旋转矢量法：旋转矢量法：本讲稿第二十五页，共四十三页ox解解（1）先求角频率先求角频率、振幅、振幅A、初相位、初相位由旋转矢量图知由旋转矢量图知=0所以运动方程为：所以运动方程为：A例题例题5：一轻弹簧的右端连着一物体：一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为k=0.72N/m,物体的质量物体的质量m=20g.(1)把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到

22、x=0.05m 处停下处停下后再释放后再释放,求简谐运动方程求简谐运动方程;(2)求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率处时的速率;(3)如果物体在如果物体在x=0.05m处时速度不等于零处时速度不等于零,而是具有而是具有向右的初速度向右的初速度v0=0.30m/s,求其运动方程求其运动方程.本讲稿第二十六页，共四十三页(2)求求A/2处的速度处的速度由运动方程由运动方程由旋转矢量图知第一次经过由旋转矢量图知第一次经过A/2oxAA/2/3A(3)因因x0=0.05m,v0=0.3m/s又又 v0=Asin 0设设 x=A cos(6 t+)t=0 时时x

23、0=A cos 即：即：0.05=0.07cos所以所以 取取/4oxA-/4本讲稿第二十七页，共四十三页11.3 简谐振动的能量简谐振动的能量(1)动能动能(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)O x X11.3.1 简谐振动的能量简谐振动的能量(2)势能势能(3)机械能机械能简谐振动的能量与振幅的二次方成正比，这一点对于任一简谐运简谐振动的能量与振幅的二次方成正比，这一点对于任一简谐运动系统都是成立的。振幅不仅描述了简谐振动的振动范围，也表动系统都是成立的。振幅不仅描述了简谐振动的振动范围，也表征了振动系统总能量的大小。征了振动系统总能量的大小。The energy simple harmoni

24、c vibration 本讲稿第二十八页，共四十三页11.3.2 简谐运动能量曲线简谐运动能量曲线4T2T43T能量能量本讲稿第二十九页，共四十三页简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变从势能曲线上看出从势能曲线上看出,势能曲线为一抛物势能曲线为一抛物线；系统的总能量守恒，为一水平直线；系统的总能量守恒，为一水平直线；系统的动能为总能量与势能之差。线；系统的动能为总能量与势能之差。能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导(3)应用应用本讲稿第三十页，共四十三页例例6：如图：如图,弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数k=25N/m，物块，物块m1=0.6kg，物块，物块 m2=0.

25、4kg，m1与与m2间最大静摩擦系数为间最大静摩擦系数为=0.5，m1与地面间是光与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，任其自由振动，使在振动中滑的。现将物块拉离平衡位置，任其自由振动，使在振动中m2不致不致从从m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：若解：若m2不从不从m1上滑落，则上滑落，则m1 与与 m2要具有相同的加速度。其最要具有相同的加速度。其最大加速度可表示为大加速度可表示为 amax=A2 (1)同时同时m2不从不从m1上落下应满足上落下应满足由上式可得最大加速度应为由上式可得最大加速度应为 amax=g (2)联立联立

26、(1)及及(2)两式，可得两式，可得把把A代入简谐振动能量表达式代入简谐振动能量表达式本讲稿第三十一页，共四十三页1.4.1 同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成(1)解析法解析法分振动分振动:合振动合振动:结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动演示演示11.4 一维简谐振动的合成一维简谐振动的合成 拍现象拍现象本讲稿第三十二页，共四十三页(2)旋转矢量合成法旋转矢量合成法讨论讨论:则则 A=A1+A2,两分振动两分振动相互加强相互加强，当，当 A1=A2 时时,A=2A1则则A=|A1-A2|,两分振动两分振动相互减弱相互减弱，当，当 A1=A2 时时,A=0若两

27、分振动同相若两分振动同相,即即 2 1=2k (k=0,1,2,)若两分振动反相若两分振动反相,即即 2 1=(2k+1)(k=0,1,2,)本讲稿第三十三页，共四十三页若两分振动同相，即若两分振动同相，即当当 A1=A2 时时,A=2A1(3)讨论讨论:本讲稿第三十四页，共四十三页若两分振动反相若两分振动反相当当 A1=A2 时时,A=0本讲稿第三十五页，共四十三页加强加强减弱减弱小结小结本讲稿第三十六页，共四十三页例例例例7 7：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的振动方：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的振动方：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的振动方：两个同

28、方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的振动方程。程。程。程。解解解解:设合振动方程为：设合振动方程为：设合振动方程为：设合振动方程为：由图可知两个分振动反相，则由图可知两个分振动反相，则由图可知两个分振动反相，则由图可知两个分振动反相，则由于由于由于由于 ，则则则则本讲稿第三十七页，共四十三页分振动分振动11.4.2 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成 拍拍合振动合振动 合矢量合矢量A的大小也随时间而变化，并且以不恒定的角速度旋转，的大小也随时间而变化，并且以不恒定的角速度旋转，所以合矢量所以合矢量A在在x轴上的投影轴上的投影x=x1+x2不是做简谐运动不是做简谐运动.本

29、讲稿第三十八页，共四十三页为了简化起见，假定为了简化起见，假定且两个简谐振动的频率相差很小且两个简谐振动的频率相差很小令令 则则随随 t 缓变缓变随随 t 快变快变其中其中 ，结论：结论：合振动合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动可看作是振幅缓变的简谐振动。本讲稿第三十九页，共四十三页振幅振幅 的变化从的变化从 2A0 0,可见合振动的振幅随时间发生周期性的变化，我们把这种可见合振动的振幅随时间发生周期性的变化，我们把这种现象称为现象称为拍拍。由由 知知拍发生的角频率为拍发生的角频率为又因为又因为 ，所以拍频为，所以拍频为拍频的数值等于两分振动频拍频的数值等于两分振动频率之差。率之差。本讲稿

30、第四十页，共四十三页例例例例6 6 6 6：两个完全相同的音叉，频率为两个完全相同的音叉，频率为两个完全相同的音叉，频率为两个完全相同的音叉，频率为512Hz512Hz512Hz512Hz。其中一个缠上一圈。其中一个缠上一圈。其中一个缠上一圈。其中一个缠上一圈铁丝，同时敲击两音叉，听到时大时小的嗡嗡声，这就是拍。若铁丝，同时敲击两音叉，听到时大时小的嗡嗡声，这就是拍。若铁丝，同时敲击两音叉，听到时大时小的嗡嗡声，这就是拍。若铁丝，同时敲击两音叉，听到时大时小的嗡嗡声，这就是拍。若测的拍频为测的拍频为测的拍频为测的拍频为8Hz8Hz8Hz8Hz，求缠有铁丝的音叉的频率。，求缠有铁丝的音叉的频率。

31、，求缠有铁丝的音叉的频率。，求缠有铁丝的音叉的频率。解解解解:音叉缠上铁丝，质量增大，惯性变大，音叉缠上铁丝，质量增大，惯性变大，音叉缠上铁丝，质量增大，惯性变大，音叉缠上铁丝，质量增大，惯性变大，振动的变化就慢，所以音叉的频率变振动的变化就慢，所以音叉的频率变振动的变化就慢，所以音叉的频率变振动的变化就慢，所以音叉的频率变小。小。小。小。设标准音叉的频率为设标准音叉的频率为设标准音叉的频率为设标准音叉的频率为 2 2 2 2 ，缠有铁丝的音叉的频率缠有铁丝的音叉的频率缠有铁丝的音叉的频率缠有铁丝的音叉的频率为为为为 1 1 1 1 ，则，则，则，则有：有：有：有：本讲稿第四十一页，共四十三页两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图本讲稿第四十二页，共四十三页补充：弹簧的串并联补充：弹簧的串并联1.1.弹簧的串联弹簧的串联弹簧的串联弹簧的串联k为系统的劲度系数，为系统的劲度系数，2.2.弹簧的并联弹簧的并联弹簧的并联弹簧的并联本讲稿第四十三页，共四十三页